2022-2023学年河北省沧州市青县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省沧州市青县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 在 中，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3. 消防云梯的长度是米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼米远的地方云梯底端离地面高度忽略不计，则云梯可以达到建筑物的高度是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4. 上表记录了甲、乙、丙、丁四名学生最近三级跳远成绩的平均数与方差，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选( )
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 已知一次函数，且随着的增大而减小，则在直角坐标系内它的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，菱形的对角线相交于点，点是的中点，且，则菱形的周长为( )
A. B. C. D.
7. 下面的计算和推导过程中，
，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
其中首先错误的一步是( )
A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步
8. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为，短的直角边长为，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
10. 在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板不同高度的下滑时间，得到如表所示的数据下列结论不正确的是( )
木板的支撑物高
下滑时间
A. 这个问题中，木板的支撑物高是自变量
B. 当时，约为秒
C. 随高度增加，下滑时间越来越短
D. 高度每增加，时间就会减少秒
11. 如图，在平行四边形中，用尺规作图得到点和点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
12. 根据学校卫生要求，小宁同学连续天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温
天数天
这天中，小宁体温的众数和中位数单位：分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
13. 如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
14. 如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
15. 如图，矩形中，，，动点从点出发，沿运动至点停止，设运动的路程为，的面积为，则与的函数关系用图象表示正确的是( )
A. B.
C. D.
16. 如图，在中，，，，为边上一动点不与，重合，于，于，为中点，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）
17. 已知一组数据，，，，的平均数是，则 ______ ．
18. 如图在四边形中，，，，，；
的长为______ ；
点从点出发，以每秒个单位的速度在射线上运动，连接，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
列表：
此时的值是______ ．
在平面直角坐标系中描点并画出该函数的图象．
观察函数图象，若已知直线与函数的图象相交，则当时的取值范围是______ ．
20. 本小题分
计算：
；
；
．
21. 本小题分
如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
22. 本小题分
如图，在 中，，，，分别为垂足．
求证：四边形是平行四边形；
如果，，求、所在直线的距离．
23. 本小题分
表格是嘉琪一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题．
嘉琪次成绩的众数是______ 分；中位数是______ 分；
计算嘉琪平时成绩的方差；
按照学校规定，本学期综合成绩的权重如图所示，请你求出嘉琪本学期的综合成绩，要写出解题过程注意：平时成绩用四次成绩的平均数；每次考试满分都是分
考试类别 平时 期中考试 期末考试
第一单元 第二单元 第三单元 第四单元
成绩
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与一次函数的图象相交于点；
求，的值；
求点的坐标；
设点在直线上，且，求点的坐标．
25. 本小题分
已知边长为的正方形中，是对角线上的一个动点与点，不重合，过点作，交于点，过点作，垂足为点．
求证：；
在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
26. 本小题分
某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果质量
单位：千克 乙种水果质量
单位：千克 总费用
单位：元
第一次
第二次
求甲、乙两种水果的进价；
销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共千克，且投入的资金不超过元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克元、乙种水果以每千克元的价格销售．若第三次购进的千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于元，求正整数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、；
它不是最简二次根式．
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
最简二次根式应该根号里没分母或小数，分母里没根式，被开方数中不含开得尽方的因式或因数．
2.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故选：．
由在平行四边形中，，根据平行四边形的邻角互补，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
3.【答案】
【解析】解：如图所示，米，米，，
由勾股定理可得，米．
答：云梯可以达到该建筑物的最大高度为米．
故选：．
由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度．
此题考查了勾股定理的应用；利用题目信息构成直角三角形是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：甲和丙的平均数较大，所以在甲和丙两人中选一人参加比赛，
由于甲的方差比丙小，所以甲更稳定，故选甲参加比赛．
故选：．
此题有两个要求：平均成绩较高，状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的运动员参赛．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】
【解析】解：一次函数，随着的增大而减小，
，
函数图象经过第一、二、四象限．
故选：．
先根据一次函数，随着的增大而减小判断出的符号，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与的关系是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：菱形的对角线相交于点，
，
点是的中点，
，
，
所以菱形的周长为：
．
故选：．
根据三角形中位线定理可得的长，进而可求菱形的周长．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
7.【答案】
【解析】解：，
首先错误的一步是第三步．
故选：．
根据二次根式的乘法的法则进行分析即可求解．
本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对二次根式的乘法的法则的掌握．
8.【答案】
【解析】解：直角三角形斜边长为，最短的边长为，
较长的直角边长为：，
阴影部分图形的边长为：，
阴影部分的面积是：，
故选：．
根据勾股定理可以求得直角三角形较长直角边的长，然后根据图形可知，阴影部分是正方形，边长为长直角边与短直角边的差，再根据正方形的面积计算即可．
本题考查勾股定理、正方形的面积，解答本题的关键是求出阴影部分图形的边长．
9.【答案】
【解析】解：点，在一次函数的图象上，
，，
，
，
故选：．
根据点，在一次函数的图象上，可以求得、的值，然后即可比较出、的大小，本题得以解决．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出、的值．
10.【答案】
【解析】解：根据表格可知，木板的支撑物高是自变量，下滑时间是因变量，
选项正确；
从表中的对应值可以看到当时，，
选项正确；
当时，，
选项正确；
从表中数据看到：当由逐渐增大到时，的值由逐渐减小到，
随高度增加，下滑时间越来越短．
选项正确；
因为时间的减少是不均匀的，
选项错误．
综上，只有选项错误，
故选：．
根据列表法表示的函数，通过表格反映的规律，对每一个选项进行验证可得结论．
本题主要考查了函数的表示方法，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意可知，是的角平分线，，，
是的垂直平分线，如图所示，设与交于点，连接，
四边形是平行四边形，
根据对角线相互垂直且平分的四边形是菱形可得，四边形是菱形，
，，
，
在中，，
，
故选：．
根据尺规作图可知是的角平分线，且，可得四边形是菱形，在中，求出的长度，根据，由此即可求解．
本题主要考查平行四边形，菱形，勾股定理的综合，掌握平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据表格可知，数据出现了次最多为众数，
位于最中间的两个数是第位和第位，
中位数为：，
所以本题这组数据的中位数是，众数是．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是关键．
13.【答案】
【解析】解：是等边三角形，四边形是正方形，
，，，
，
在中，，
故选：．
先根据等边三角形的性质得到，再利用正方形的性质得到等腰三角形，再利用三角形的内角和即可解答．
本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由图象可得，当时，，
即不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
15.【答案】
【解析】解：当点在上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积；
当点在上运动时，三角形的面积为定值．
当点在上运动时三角形的面积不断减小，当点与点重合时，面积为．
故选：．
当点在上运动时，三角形的面积不断增大，当点在上运动时，三角形的面积不变，当点在上运动时三角形的面积不断减小，然后计算出三角形的最大面积即可得出答案．
本题主要考查的是动点问题的函数图象，分别得出点在、、上运动时的图象是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，
在中，，，，
，
于，于，
，
四边形是矩形，
，与互相平分，
为中点，
为的中点，
，
当时，，
此时有最小值为，
，
，
，
，
故选：．
证明四边形是矩形，得，与互相平分，则，再求出的最小值可得的最小值，然后由，即可求得的取值范围．
此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：依题意有，
解得．
故答案为：．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．
18.【答案】 或
【解析】解：如图，过点作于点，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：；
，
时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
点从点出发，以每秒个单位的速度在射线上运动，
，
如图，当点在线段上时，
，
，
解得：；
如图，当点在线段的延长线上时，
，
，
解得：；
综上所述，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值是或，
故答案为：或．
如图，过点作于点，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，得，，，然后由勾股定理求出即可；
分两种情况，当点在线段上时，，则，解得；
当点在线段的延长线上时，，则，解得；即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】 或
【解析】解：把代入得；
故答案为：；
该函数的图象如图所示，
如图，
由函数的图象得，当时的取值范围为或．
故答案为：或．
把代入即可得到结论；
根据题意画出函数图象即可；
根据函数的图象即可得到结论．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：
；
；
．
【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
先根据二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可；
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
21.【答案】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是．
【解析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
22.【答案】证明：，，
，
，
在 中，，
，
在和中，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形为平行四边形，
，
设、所在直线的距离为，
，
，
，
，
，
、所在直线的距离是．
【解析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，关键是证明四边形是平行四边形．
根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
设、所在直线的距离为，由垂直的定义得到，根据勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
23.【答案】
【解析】解：出现了次，其余分数只有次，
次成绩的众数为分，
成绩从小到大排列如下：，，，，，，
，
次成绩的中位数为分；
故答案为：，；
分，
；
答：嘉琪平时成绩的方差为；
根据题意得：
分，
答：嘉琪本学期的综合成绩为分．
找出小明次成绩中出现次数最多的分数即为众数，把次考试成绩按照从小到大排列，找出中间两个除以，即可得到中位数；
求出小明平时次考试平均分，利用方差公式计算即可得到结果；
用小明平时次考试的平均成绩，以及期中与期末考试成绩，各自乘权重，计算即可得到综合成绩．
此题考查了方差，加权平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
24.【答案】解：将点，点代入中，得，
解得：；
由可得直线的函数解析式为，
由，
解得：，
；
在中，令，得，
解得：，
，
，
，
，
，
，
点在直线上，
可设，
，
解得：或，
点的坐标为或．
【解析】将点、的坐标代入中，可得关于，的二元一次方程组，求解即可；
联立两直线解析式，求解即可；
先求出，则，根据三角形面积公式可得，由得，设，利用三角形面积公式得，代入计算求解即可．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、两直线相交问题、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法正确求出一次函数的解析式，并熟知一次函数的性质是解题关键．
25.【答案】证明：过点作于，过点作于，如图．
四边形是正方形，，，
．
，．
，即，
．
在和中，
，
≌，
．
解：的长度不变．
连接，如图．
四边形是正方形，
，
，即，
，
，即，
，
在和中，
，
≌，
．
四边形是正方形，
，，
．
，
，
．
点在运动过程中，的长度不变，值为．
【解析】过点作于，过点作于，如图要证，只需证到≌即可；
连接，如图易证≌，则有，只需求出的长即可；
本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．
26.【答案】解：设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元．
由题意，得，解得，
答：甲两种水果的进价为每千克元，乙两种水果的进价为每千克元．
设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．
由题意，得，解得．
设获得的利润为元，
由题意，得，
，
随的增大而减小，
时，的值最大，最大值为，
由题意，得，
解得，
的最大整数值为．
【解析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组和不等式的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元．构建方程组求解；
设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．由题意，得，解得设获得的利润为元，由题意，得，利用一次函数的性质求解．
第1页，共1页