2022-2023学年山东省烟台市福山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市福山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
2. 下列结论中，错误的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则，
D. 若，
3. 如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为：，则与的周长之比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上若线段，则线段的长是( )
A. B. C. D.
5. 下列一元二次方程无实数根的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是( )
A. 四边形是矩形
B. 四边形的面积等于四边形面积的
C. 四边形的内角和小于四边形的内角和
D. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
7. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
8. 在我国古代数学名著算法统宗里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它往前推送尺水平距离时，秋千的踏板就和身高为尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为尺，则所列方程为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则楼高是( )
A. B. C. D.
10. 如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
11. 如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
12. 如图，在四边形中，，，，平分设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
14. 已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
15. 如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，直尺宽的长为，则的长为______ ．
16. 如图，一块三角形余料，它的边，高现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为______．
17. 如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为______ ．
18. 如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
用适当的方法解方程：
；
．
21. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的倍，求的值．
22. 本小题分
已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形．
请画出点的位置，并写出点的坐标______；
以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为：，若点为内一点，则点在内的对应点的坐标为______．
23. 本小题分
如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交延长线于点．
求证：；
若，求的长．
24. 本小题分
如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为，宽为．
求通道的宽度；
某公司希望用万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
25. 本小题分
如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点．
求证：四边形是矩形；
连接，交于点，若，，求四边形的面积．
26. 本小题分
如图，已知直线：与反比例函数的图象交于点，直线经过点，且与关于直线对称．
求反比例函数的解析式；
求图中阴影部分的面积．
27. 本小题分
已知，矩形，点是上一点，将矩形沿折叠，点恰好落在上点处．
如图，若，，求的长；
如图，若点恰好是的中点，点是上一点，过点作交于点，连接，若平分，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
选项的运算正确，符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意．
故选：．
利用二次根式的性质，算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的运算，算术平方根的意义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、若，则，
所以，不合题意；
B、若，则，
故，则，不合题意；
C、若，无法得出，的值，符合题意．
D、若，则，不符合题意．
故选：．
分别利用比例的基本性质分析得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确应用内项之积等于外项之积是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：与位似，点是它们的位似中心，且相似比为：，
与的周长之比是：，
故选：．
根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．
本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，周长比等于相似比是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在平行横线于，
，
五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
，
，
解得，
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在平行横线于，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解．
此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根判断即可．
此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
在四边形中，
点，，，分别是，，，边上的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，故A选项错误；
B.四边形的面积不等于四边形的面积的，故B选项错误；
C.四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故C选项错误；
D.点，，，分别是，，，边上的中点，
，，
，
同理：，
四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故D选项正确．
故选：．
根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可．
本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
根据题意可知的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙校的优秀人数最多．
【解答】
解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数，
描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，
乙、丁两所学校的优秀人数相同，
点丙在反比例函数图象上面，
丙校的的值最大，即优秀人数最多，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为：
，
故选：．
设秋千的绳索长为尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
9.【答案】
【解析】解：，
∽，
，即，
米．
故选：．
先证明∽，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
10.【答案】
【解析】解：设点的坐标为，
，且，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故选：．
设点的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：设小长方形的长为，宽为则图中的三角形的三边长分别为：，，，
图中的三角形的三边长分别为：，，，
图中的三角形的三边长分别为：，，
图中的三角形的边长分别为：，，，
只有的三角形的三边成比例，
故选：．
设小长方形的长为，宽为利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．
本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：过点作于点．
，
，
平分，
，
，则，即为等腰三角形，
则垂直平分，
，，
，，
∽，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
先证明，过点作于点，证明∽，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明∽是解本题的关键．
13.【答案】且
【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式，以及分母不为可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式，以及分母不为是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：令菱形的对角线分别为：，，
一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，
，，
菱形的对角线互相垂直平分，
菱形的边长为：
，
则菱形的周长为：．
故答案为：．
令菱形的对角线分别为：，，由根与系数的关系可得，，再由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求得菱形的边长，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，菱形的性质，解答的关键是熟记根与系数的关系及菱形的性质：对角线互相垂直平分．
15.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
，
∽，
，
直尺宽的长为，
，
解得：，
故答案为：．
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设正方形零件的边长为，
在正方形中，，
∽，
是高，
，即，
，
答：正方形的边长为．
故答案为：．
根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即∽，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答．
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
17.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，点的坐标为，
，，
点的横坐标为，
，
矩形与矩形是位似图形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
点的坐标为，
故答案为：．
根据位似图形的概念得到，求出，再证明，得到，即可求出，得到答案．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：点是的中点，
，，
，
点是双曲线上一点，，
，
的面积是，
故答案为：．
根据中线与三角形的面积关系，结合反比例函数的几何意义计算即可．
本题考查了反比例函数的几何意义，三角形中线的性质，熟练掌握的几何意义，三角形中线的性质是解题的关键．
19.【答案】解：．
．
【解析】先化简各项，再合并即可；
先算乘除，再算加减即可．
本题考查二次根式混合运算，掌握运算法则是解题关键．
20.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
或，
．
【解析】利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21.【答案】证明：
，
该方程总有两个实数根；
解：．
，
或，
，，
方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的倍，
为整数，或，
解得或舍去，
的值为．
【解析】计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
利用因式分解法解方程得到，，根据题意得为整数，或，然后解一次方程得到的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
22.【答案】
【解析】解：如图所示：点；
如图所示：即为所求，点对应点的坐标为：．
故答案为：；．
直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；
直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
23.【答案】证明：四边形是正方形，，
，，，
，，
；
解：四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
解得：，
，
．
【解析】根据正方形的性质和得出，，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定即可得证；
根据正方形的性质得出，，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可求得的长．
本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
24.【答案】解：设通道宽度为，
依题意得，即
解得，舍去
答：通道的宽度为．
设每次降价的百分率为，
依题意得
解得，舍去
答：每次降价的百分率为．
【解析】设通道的宽度为米．由题意，解方程即可；
可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金额的代数式，然后令它等于即可列出方程．
本题考查一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：，，
四边形是平行四边形，
，是边上的中线，
，即，
四边形是矩形．
，是边上的中线，
．
由知，四边形是矩形，
．
在中，．
．
【解析】只要证明四边形是平行四边形，且即可；
利用矩形的性质求出，，进而即可求出面积．
本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
26.【答案】解：点在直线：上，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
直线：
直线与、轴的交点分别为，，
直线经过点，且与关于直线对称，
直线与轴的交点为，
设直线：，则，
解得：，
直线：，
与轴的交点为，
阴影部分的面积的面积的面积．
【解析】将点坐标代入直线解析式，求出的值，确定点坐标，再代入反比例函数解析式即可；
通过已知条件求出直线解析式，用的面积的面积解答即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
27.【答案】解：矩形中，，，，
．
由折叠的性质得，，
．
．
，
∽，
，
设，则，
，
解得，
；
证明：为的中点，，
，
，
，
，
平分，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】先利用勾股定理求得的长，证明∽，设，则，利用相似三角形的性质即可求解；
证明∽，利用相似三角形的性质即可证明．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
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