北师大版数学八年级上册第1章勾股定理 知识点分类复习题（含解析）

北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》知识点分类复习题（附答案）
一．勾股定理
1．在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，要使∠B是直角，则BC的长度是（　　）
A．1 B． C． D．
2．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，AC边上中线BE交AD于点O，则△BCE的面积为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∠CAB的平分线交BC于点D，则S△ABD为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（　　）
A．5 B．6或 C．5或 D．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
6．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝10，BC＝24，分别以它的三边为直径作三个半圆，则阴影部分面积为 　 　．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于点D，BC＝5，AC＝10，则AE的值是　 　．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝12，△ABD的面积为60，求CD长度．
二．勾股定理的证明
9．如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（　　）
A．23 B．24 C．25 D．26
10．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式　 　；
（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
三．勾股定理的逆定理
11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
12．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝　 　．
四．勾股数
13．下列数据不是勾股数的是（　　）
A．7，14，16 B．5，12，13 C．3，4，5 D．9，40，41
五．勾股定理的应用
14．将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（　　）
A．12≤h≤13 B．11≤h≤12 C．11≤h≤13 D．10≤h≤12
15．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）
A．8m B．10m C．16m D．18m
16．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
17．如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
18．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（　　）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
19．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝　 　米．
六．平面展开-最短路径问题
20．如图，有一个正方体盒子，棱长为1cm，一只蚂蚁要从盒底点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是（　　）
A．cm B．3cm C．cm D．2cm
21．如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（　　）
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
22．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　）
A．18 B．15 C．20 D．25
23．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是　 　．
24．如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷，若绳子的长度为5.5米，固定点C到帐篷支撑杆底部B的距离是4.5米，现有一根高为3.2米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由．
25．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
参考答案
一．勾股定理
1．解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，
∴BC＝＝．
故选：D．
2．解：∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BC＝6，AD⊥BC，
∴CD＝BC＝3，
∴AD＝，
∴S△ABC＝＝12，
∵AC边上中线BE交AD于点O，
∴S△BCE＝S△ABC＝6．
故选：C．
3．解：过点D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，
则BC＝＝8，
∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，
∴＝＝＝，
∵S△ABC＝×6×8＝24，
∴S△ABD＝24×＝15，
故选：D．
4．解：当x为斜边时，x＝＝5；
当4为斜边时，x＝．
∴x的值为5或；
故选：C．
5．解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴ab＝24．
故选：A．
6．解：∵∠ACB＝90°．AC＝10，BC＝24，
∴AB＝＝26，
∴S阴影＝π×（）2+π×（）2+×BC×AC﹣π×（）2＝π×（）2++×24×10﹣π（）2＝120，
故答案为：120．
7．解：∵ED垂直平分AB于点D，
∴AE＝BE，
设AE＝x，则BE＝x，
故在Rt△ECB中，
EC2+BC2＝EB2，
（10﹣x）2+52＝x2，
解得：x＝．
故答案为：．
8．解：∵∠C＝90°，DA＝12，△ABD的面积为60，
∴S△DAB＝DA BC＝60，即×12×BC＝60．
∴BC＝10．
在Rt△BCD中，CD2+BC2＝BD2，即CD2+102＝122，
解得CD＝2（负值舍去）．
二．勾股定理的证明
9．解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，
∴m2+n2＝13，2mn＝13﹣2＝11，
∴（m+n）2＝13+11＝24，
故选：B．
10．（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积＝（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得：a2+b2＝c2．
三．勾股定理的逆定理
11．解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
12．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，
此时∠DAE＝∠FCG，
∵CF∥BD，
∴∠BAC＝∠FCA，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，
∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，
∴∠CAG＝90°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案为：45°．
四．勾股数
13．解：A、72+142≠162，不能构成直角三角形，不是正整数，故符合题意；
B、52+122＝132，能构成直角三角形，是整数，故不符合题意；
C、32+42＝52，三边是整数，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，故不符合题意．
故选：A．
五．勾股定理的应用
14．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝25﹣12＝13cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，
故h＝25﹣13＝12cm．
故h的取值范围是12cm≤h≤13cm．
故选：A．
15．解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：C．
16．解：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2＝32海里，12×2＝24海里，
根据勾股定理得：＝40（海里）．
故选：D．
17．解：设直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，
则c＝13，a＝5，
∴b＝＝＝12，
∴小正方形的边长为b﹣a＝12﹣5＝7（cm），
故选：D．
18．解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C＝90°，由勾股定理得，AB＝25米，
计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7＝31米，而AB＝25米，则少走31﹣25＝6米．
故选：D．
19．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝8（米），
∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米），
在Rt△DCE中，CE＝＝＝8（米），
∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米），
故答案为：2．
六．平面展开-最短路径问题
20．解：如图，将正方体展开，
则线段AB即为最短的路线，
∵这个正方体的棱长为1cm，
∴AB＝＝（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程是cm．
故选：A．
21．解：将长方体展开，连接A、B′，
则AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．
故选：C．
22．解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝20（cm）．
故蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm．
故选：C．
23．解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25．
故答案为25．
24．解：∵△ABC中，AC＝5.5米，BC＝4.5米，AB＝3.2米；
∴AC2＝30.25，BC2＝20.25，AB2＝10.24；
∵30.25≠20.25+10.24，
∴不能做帐篷的支撑竿．
25．解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．