5.6.1匀速圆周运动的数学模型 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
第 5 章 三角函数
人教A版2019必修第一册
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
01.
02.
摩天轮
目录
筒车
学习目标
1. 经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系.
2. 掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质.
3. 依托现实情境，发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养.
Topic. 01
01 复习导入
复习导入
我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数刻画.
思考：对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？
下面来看一个生活中的实际问题.
Topic. 02
02 匀速圆周运动的数学模型
匀速圆周运动的数学模型
筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．
如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？
探究：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？
匀速圆周运动的数学模型
首先我们将实际问题转化为数学问题
匀速圆周运动的数学模型
如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M从点P0运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：
筒车转轮的中心O到水面的距离h，
筒车的半径r，
筒转动的角速度ω，
盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t．
下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型．
匀速圆周运动的数学模型
以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
设t=0时，盛水筒M位于P0，
以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x,y)
所以 H=r sin(ωx+φ)+h ②
则OP为终边的角为ωx+φ
则 y = r sin(ωx+φ) ①
匀速圆周运动的数学模型
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周
的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值（精确到0.1）．
思考：选择什么函数模型来刻画这个实际问题？为什么？
匀速圆周运动的数学模型
首先我们将实际问题转化为数学问题
最高点高度120m
转盘直径110m
最低处
P(0,-55)
匀速圆周运动的数学模型
最高点高度120m
转盘直径110m
最低处
P(0,-55)
解：（1）设t＝0 min时，游客甲位于点P（0，－55），以OP为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得：
如图，设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系
（2）当t＝5时，．
匀速圆周运动的数学模型
思考：用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？
实际问题
数学问题
三角函数模型
求解三角函数问题
实际问题的解
抽象
转化
引入
构建
Topic. 03
03 课堂小结
课堂小结
总结：
1.研究筒车模型。
2.研究摩天轮模型。
感谢观看