必修2 第7章 万有引力定律 知识问答式 学案（附章末测试）（有解析）

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必修二 第七章、万有引力定律
问题1、以前的两种对立的学说是什么？
答1．地心说：地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕地球运动．（大多数人）
2．日心说：日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动．（哥白尼）
问题2、什么是开普勒行星运动定律？内容有哪些？
一、开普勒三定律的内容、公式
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律 (周期定律) 行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
问题3、中学阶段对天体运动的处理方法是什么？
(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动；
(3)所有行星的轨道的半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k.
练习1　(多选)两颗小行星都绕太阳做圆周运动，其周期分别是T、3T，则(　　)
A．它们轨道半径之比为1∶3 B．它们轨道半径之比为1∶
C．它们运动的速度之比为 ∶1 D．以上选项都不对
练习1、答案　BC 由题知周期比T1∶T2＝1∶3，根据＝，可得＝.又因为v＝，所以＝＝.
问题3、什么是万有引力定律？万有引力定律的公式是什么？
答：任何两个物体间都存在相互吸引的力，这种力叫做万有引力，大小与质量成正比与距离的平方成反比。
(1)公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。(2)适用条件：适用于质点 间的相互作用。
问题4、万有引力与重力的关系是什么
答：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
（4）越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
（5）两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力
（6）地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
问题5、怎么求解星球上空的重力加速度g′？
答：星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，
问题6、万有引力的=“两个推论”是什么？
答：①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.（由于物体受球壳各个方向的力平衡）
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即
F＝G. 而且半径为r的同心球体(M′=ρV=ρ)，所以Fr=（即等效于受到集中在圆心处的质点万有引力）。
练习2．某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到实心匀质球的万有引力大小为(　　) A．G B． C．G D．G
问题7、怎么样求解天体质量和密度？有哪些方法？用到哪些数学知识？球体体积公式是什么？
答：设r代表卫星运行半径，R表示中心天体半径。解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
(1)根据“地上跑的”： 由于G＝mg，故天体质量M＝，根据球体公式天体密度ρ＝＝＝ .
（2）或根据“天上飞的”：根据天体的卫星的轨道半径和周期： G＝mr，得M＝
进而根据密度ρ＝，V＝πR3，得ρ＝ ； 当r＝R时， 密度ρ＝
练习5已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(　　)
A．月球的质量 B．地球的质量 C．地球的半径 D．地球的密度
练习5答案　B解析　由天体运动规律知G＝mR可得地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确．
问题8、什么是黄金代换式？
答：忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式被称为“黄金代换式”．
练习6.设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g,，则g/g,为( )A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。
练习6选择D 因为F=GMm/R =m（g0）所以（g0）=GM/R2 同理 g=GM/(4R)2 ∴g/(g0)=1：16
问题9、．人造卫星绕地球的有哪些运动规律？同步卫星有什么运动特点和规律？
答：根据天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G＝man＝m＝mω2r＝m得
练习7．如图2，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
7 8
A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大
练习7．答案　A 解析　由万有引力提供向心力得G＝m＝mω2r＝ma＝mr，变形得：a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，只有周期T和M成减函数关系，而a、v、ω和M成增函数关系，故选A.
练习8．如图若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则(　　)A.＝ B.＝ C.＝()2 D.＝()2
练习8.答案　A 解析　由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据G＝m，得v＝ ，所以＝，故A正确，B、C、D错误．
问题10、卫星运动还有哪些规律？
答：任何卫星规律：运行轨道越高，运动速度越慢。即“高规低速长周期”，即半径越大，线、角加速度均变小，周期变大。
①.赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种.
②.极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星.
③.其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道.所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
问题11、地球同步卫星有哪些规律？
答：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星.同步卫星有以下“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.(3)角速度一定：与地球的角速度相同.
(4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝－R ≈3.6×107 m.
(5)速率一定：v＝≈3.1×103 m/s.
(6)向心加速度一定：由G＝man得an＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度.
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致.
②距离地面高度大则速度小 、周期大 、加速度小 。同一轨道上各卫星速度、周期、加速度相同。
问题12 、同步卫星和赤道上物体有什么相同点和不同点？
答：同步卫星和赤道上物体的相同点：周期和角速度相同；同步卫星和赤道上物体的不同点：向心力来源不同
对于同步卫星，有＝man＝mω2r 对于赤道上物体，有＝mg＋mω2r，
因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小．
问题13．同步卫星和近地卫星有什么相同点和不同点？
答：同步卫星和近地卫星相同点：都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man.
同步卫星和近地卫星不同点：轨道半径不同．近地卫星的轨道半径约等于地球的半径，同步卫星的轨道半径约等于地球半径的7倍．
练习12．若已知地球半径为R，同步卫星离地高度为h，同步卫星的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，地球赤道上物体的线速度大小为v2，向心加速度大小为a2，求v1与v2及a1与a2的比值．
练习12．答案　v1∶v2＝(R＋h)∶R； a1∶a2＝(R＋h)∶R
练习13．若近地卫星的线速度大小为v3，向心加速度大小为a3，求v1与v3及a1与a3的比值．
练习13答案　
图2
练习14、如图2所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星．三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度大小分别为aA、aB、aC，则(　　)
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TCaB
练习14、答案　A解析　同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及an＝ω2r得 vC>vA，aC>aA，
对同步卫星和近地卫星，根据＝m＝mω2r＝mr＝man，知vB>vC，ωB>ωC ，TBaC.
故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TBaC>aA.选项A正确，B、C、D错误．
问题14、什么是宇宙速度？他们都有什么意义？
(1)第一宇宙速度，v＝7.9 km/s，最小发射速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大绕行速度。
(2)第二宇宙速度，v＝11.2 km/s，物体绕太阳运行的最小发射速度。
(3)第三宇宙速度，v＝16.7 km/s，物体能够脱离太阳 系的最小发射速度。
问题15、卫星变轨问题怎么解决？各轨道对应的物理量有什么关系？
答：卫星的发射利用了离心运动原理，当地球引力无法提供所需向心力时，便做离心运动，进入新的轨道。
在某点点火加速，从而进入新的椭圆轨道，当道最高点时，再次加速，进入行的轨道运行。
1）.卫星的发射：当卫星的速度突然增大时，G2）.卫星的回收：当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小.当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小.
结论：椭圆轨道近日点Q速度vQ大于轨道1环绕速度v1（因为在Q点进行了点火加速vQ>v1）,
轨道1环绕速度v1且大于轨道3运行速度v3,（利用高轨低速原理3轨道运行半径大，
故速度小，v1>v3）
轨道3运行速度v3大于轨道2远日点P速度vP 。（因为在P点点火加速离心运动才运行到3轨道，故v3>vP）。
综上所述：四点速度为 vQ>v1>v3>vP.（高效记忆技巧：椭圆包住了两个大小同心圆）
⑤．卫星因受阻力损失机械能速度减小做近心运动，重力做正功，速度又变大：高度下降、速度反而增加、周期减小。
③对于相同质量的卫星，高度越大动能越小、重力势能越大、机械能越大（变轨时燃料内能转化为动能）。
例1发射地球同步卫星，简化后的基本过程如下，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后在轨道1上Q点处点火，使其进入椭圆轨道2，之后在椭圆轨道上P点处再次点火，将卫星送入同步轨道3，卫星在1、2轨道相切于Q点，2、3轨道相切于P点，现卫星分别在1、2、3轨道上正常运行，下列说法正确的是（ ）
卫星在轨道3上运行的速率大于在轨道1上运行的速率
B．卫星在轨道2上运行时经过P点的速率大于在轨道2上经过Q点的速率
C．卫星在轨道2上运动时经过P点的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度
D．卫星在轨道2上经过Q点的加速度大于在轨道1上经过Q点的加速度
E、由于轨道3上运动速度较小，所以轨道3机械能小于轨道1机械能。
例2解析C【详解】A．根据高轨低速大周期可判断知，卫星在轨道3上运行的速率小于在轨道1上运行的速率，故A错误；B．根据开普勒第二定律可知，近地点的速度大于远地点的速度，故卫星在轨道2上运行时经过P点的速率小于在轨道2上经过Q点的速率，故B错误；C．加速度由力决定，万有引力大小相同，故卫星在轨道2上运动时经过P点的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度，故C正确；D．加速度由力决定，万有引力大小相同，卫星在轨道2上经过Q点的加速度等于在轨道1上经过Q点的加速度，故D错误。
E选项不对，因在由轨道2到轨道3过渡时，进行了点火加速，轨道2是轨道1点火加速所致，故E3问题16、什么是双星？双星问题有什么规律？宇宙中有两个星体互为引力，互为圆心，做圆周运动，这就是双星。
答：1.双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图7所示.
(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2，由于是同轴转动，故速度之比等于半径之比即V1：V2=R1：R2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π ⑥双星的总质量m1＋m2＝
练习16填空　如图5所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常量为G，求(其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期)．
练习16解：设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB.则rA＋rB＝L ①
对星球A： G＝mArA ② 对星球B：G＝mBrB ③
①式带入三式求得＝.
[思维深化]1．若在双星模型中，图8中L、m1、m2、G为已知量，双星运动的周期T＝2π
2．若双星运动的周期为T，双星之间的距离为L，G已知，双星的总质量　m1＋m2＝
问题17、三星、四星、多星等问题怎么解决？
答：(1)特点：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外各星体的角速度或周期相同.
(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图8甲所示).
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).
图7 图8
(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示).②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示).故：多星问题与双星问题原理相似，不同之处就是多星的中星体的向心力是由其他星体对它引力的合力提供，即F合＝m1ω2r1 运算方法是：先算其他星体对它的合力，再利用合力提供向心力，对各个星体分别列式，从而利用解方程的方法，求解其他物理量，解题过程和上面一样。
问题18、天体的追及问题怎么原理与解题方法？
答1)．相距最近:两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)．
2)．相距最远:当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)．
练习18　(多选)(2019·山西省太原市质检)如图12，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有(　　)
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
练习18　答案　AD 解析　根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对；设图示位置夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：Tb－Tb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D对．
问题19、怎么运用“填补法”解题的问题？
答：关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补，后运算．运用“填补法”解题的过程主要体现了等效的思想．即先把挖去的部分“补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力定律，分别计算出半径为R的球体和补上的球体对小球的万有引力，最后两引力相减即可得到答案．
例1　如图1所示，在半径为R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R且与铅球相切，并通过铅球的球心．在未挖出空穴前铅球质量为M.求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力大小．
练习19解析　设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体(由球体的体积公式易知质量为，这里不再具体计算)与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1＝F＋F2
根据万有引力定律可得F1＝G，F2＝G
故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为F＝F1－F2＝G－G＝.
第七章、万有引力定律 章末检测 (时间：90分钟　满分：100分)
一、单项选择题(共6小题，每小题4分，共24分)
1．在物理学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献．关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是(　)
A．开普勒进行了“月—地检验”，得出天上和地下的物体都遵从万有引力定律的结论
B．哥白尼提出“日心说”，发现了太阳系中行星沿椭圆轨道运动的规律
C．第谷通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律
D．牛顿发现了万有引力定律
不可回收的航天器在使用后，将成为太空垃圾．如图1所示是漂浮在地球附近的太空垃圾示意图，对此有如下说法，正确的是 (　　)
A．离地越低的太空垃圾运行周期越大
B．离地越高的太空垃圾运行角速度越小
C．由公式v＝得，离地越高的太空垃圾运行速率越大
D．太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞
3．星球上的物体脱离该星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的.不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为 (　　)A. B. C. D.
4．已知引力常量G，在下列给出的情景中，能根据测量数据求出月球密度的是(　　)
A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T
C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期T
D．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T
5．在中国航天骄人的业绩中有这些记载：“天宫一号”在离地面343 km的圆形轨道上飞行；“嫦娥一号”在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上飞行；“北斗”卫星导航系统由“同步卫星”(地球静止轨道卫星，在赤道平面，距赤道的高度约为36 000千米)和“倾斜同步卫星”(周期与地球自转周期相等，但不定点于某地上空)等组成．则以下分析正确的是(　)
A．设“天宫一号”绕地球运动的周期为T，用G表示引力常量，则用表达式求得的地球平均密度比真实值要大
B．“天宫一号”的飞行速度比“同步卫星”的飞行速度要小
C．“同步卫星”和“倾斜同步卫星”同周期、同轨道半径，但两者的轨道平面不在同一平面内
D．“嫦娥一号”与地球的距离比“同步卫星”与地球的距离小
6.“嫦娥”一号探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图2所示．之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下面说法正确的是(　　)
A．T1>T2>T3 B．T1a2>a3 D．a1二、不定项选择题(共4小题，每小题5分，共20分)
7. 如图3所示，圆a、b、c的圆心均在地球的自转轴线上，对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言(　　)
A．卫星的轨道可能是a B．卫星的轨道可能是b
C．卫星的轨道可能是c D．同步卫星的轨道只可能是b
8．“嫦娥二号”探月卫星在月球上方100 km的圆形轨道上运行．已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、月球半径、月球表面重力加速度、万有引力常量G.根据以上信息可求出(　　)
A．卫星所在处的加速度 B．月球的平均密度 C．卫星线速度大小 D．卫星所需向心力
9．我国发射的第一颗探月卫星“嫦娥一号”，进入距月面高度h的圆形轨道正常运行．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则(　　)
A．嫦娥一号绕月球运行的周期为2π B．嫦娥一号绕行的速度为
C．嫦娥一号绕月球运行的角速度为 D．嫦娥一号轨道处的重力加速度g
10．有一宇宙飞船到了某行星附近(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星表面匀速环绕，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得 (　　)
A．该行星的半径为 B．该行星的平均密度为 C．无法求出该行星的质量 D．该行星表面的重力加速度为
三、填空题(共2小题，共12分)
11．(4分)我国的北斗导航卫星系统包含多颗地球同步卫星．北斗导航卫星系统建成以后，有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为R1和R2，则R1∶R2＝________．(可用根式表示)
12．(8分)火星的球半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，忽略火星的自转，在火星表面由于火星的引力产生的加速度是________m/s；如果地球上质量为60 kg的人到火星上去，则此人在火星表面的质量是________kg，所受的重力是________N；在地球表面上可举起60 kg杠铃的人，到火星上用同样的力，可以举起质量________ kg的物体．(g取10 m/s2)
四、计算题(共4小题，共44分)
13．(7分)有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，
求该星球的质量是地球质量的多少倍？
14．(10分)“嫦娥三号”探测器于2013年12月2日凌晨在西昌发射中心发射成功进入绕月轨道.设“嫦娥三号”探测器环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球表面的重力加速度为g、月球半径为R，引力常量为G，则
(1)探测器绕月球运动的向心加速度为多大；
探测器绕月球运动的周期为多大．
15．(12分)我国“嫦娥一号”月球探测器在绕月球成功运行之后，为进一步探测月球的详细情况，又发射了一颗绕月球表面飞行的科学实验卫星．假设该卫星绕月球做圆周运动，月球绕地球也做圆周运动，且轨道都在同一平面内．已知卫星绕月球运动的周期T0，地球表面处的重力加速度g，地球半径R0，月心与地心间的距离r，引力常量G，试求：
(1)月球的平均密度ρ；
(2)月球绕地球运动的周期T.
第七章、万有引力定律 章末检测 章末检测 答案
一、单项选择题(共6小题，每小题4分，共24分)
1．答案　D解析　为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力,遵守同样的规律,牛顿做过著名的“月—地” 检验;牛顿得出万有引力定律，A错误，D正确；开普勒发现行星运动三定律，B、C错误．
2. 答案　B解析　设地球质量为M，垃圾质量为m，垃圾的轨道半径为r.
由牛顿第二定律可得：G＝mr，垃圾的运行周期：T＝2π，由于π、G、M是常数，所以离地越低的太空垃圾运行周期越小，故A错误；由牛顿第二定律可得：G＝mω2r，垃圾运行的角速度ω＝，由于G、M是常数，所以离地越高的垃圾的角速度越小，故B正确；由牛顿第二定律可得：G＝m，垃圾运行的线速度v＝，由于G、M是常数，所以离地越高的垃圾线速度越小，故C错误；由线速度公式v＝可知，在同一轨道上的航天器与太空垃圾线速度相同，如果它们绕地球飞行的运转方向相同，它们不会碰撞，故D错误．
3．答案　A解析　该星球的第一宇宙速度：G＝m 在该星球表面处万有引力等于重力：G＝m
由以上两式得v1＝，则第二宇宙速度v2＝v1＝×＝，故A正确．
4．答案　B解析:由G＝ｍ得：M＝．① 由ρ＝，Ｖ＝πＲ３得： ．②
R为中心天体的星体半径。 特殊:当ｒ＝Ｒ时，即卫星绕天体M表面运行时，，由此可以测量天体的密度.
5．答案　C 解析　设地球轨道半径为R，“天宫一号”的轨道半径为r，运行周期为T，地球密度为ρ，则有＝mr，M＝ρ×，解得ρ＝，A错误；轨道半径小，运动速度大，B错误；“同步卫星”和“倾斜同步卫星”周期相同，则轨道半径相同，轨道平面不同，C正确；“嫦娥一号”绕月球运动，与地球距离大于同步卫星与地球距离，D错误．
6. 答案　A解析　卫星沿椭圆轨道运动时，周期的平方与半长轴的立方成正比，故T1>T2>T3，A项正确，B项错误；不管沿哪一轨道运动到P点，卫星所受月球的引力都相等，由牛顿第二定律得a1＝a2＝a3，故C、D错误．
二、不定项选择题(共4小题，每小题5分，共20分)
7.答案　BCD解析　若卫星在a轨道上，则万有引力可分解为两个分力，一个是向心力，一个是指向赤道平面的力，卫星不稳定，故A错误；对b、c轨道，其圆心是地心，万有引力无分力，故B、C正确；同步卫星一定在赤道正上方，故D正确．
8．答案　ABC 解析　由黄金代换式＝mg可求出月球的质量，代入密度公式可求出月球的密度，
由＝m＝ma可求出卫星所在处的加速度和卫星的线速度，因为嫦娥二号卫星的质量未知，因为F=ma,故没法求卫星所需的向心力．
9．答案　CD解析　设月球质量为M，卫星质量为m，在月球表面上，万有引力约等于其重力有：＝mg，卫星在高为h的轨道上运行时，万有引力提供向心力有：＝mg′＝m＝mω2(R＋h)＝m(R＋h)，由上二式算出g′、v、ω、T可知A、B错，C、D正确．所以本题选择C、D.
10．答案　AB 解析　由T＝可得：R＝①，A正确；由＝m可得：M ＝②，C错误；
由M＝πR3ρ得：ρ＝，B正确；由G＝mg=mr③ 由①②③得：g＝，D错误．
三、填空题(共2小题，共12分)
11．答案　　由牛顿第二定律可得：G＝mr，垃圾的运行周期：T＝2π . 半径与周期平方三次方根成正比.
12．答案　4　60　240　150 解析　根据mg＝，则g＝，所以＝＝×22＝0.4，所以g火＝0.4g=0.4 ×10m/s2＝4 m/s2，人到火星上去后质量不变，仍为60 kg；人的重力为mg火＝60×4 N＝240 N，在地球表面上可举起60 kg杠铃的人，到火星上用同样的力，可以举起质量为 m′＝＝60×2.5 kg＝150 kg.
四、计算题(共4小题，共44分)
13．答案　64解析　设将质量为m的物体分别放在星球和地球表面上，重力近似等于万有引力且M=ρV=ρ③
mg星＝G ① mg地＝G ② 由得＝， 则由③式得 ＝＝＝＝64，所以M星＝64M地．
14．答案　(1)a＝　(2)T＝2π
解析　(1)对于月球表面附近的物体有＝mg 根据牛顿第二定律有＝m′a 解得a＝
(2)万有引力提供探测器做匀速圆周运动的向心力有 ＝m′(R＋h) 解得T＝2π
15．答案　(1)　(2) 解析　(1)设月球质量为m，卫星质量为m′，月球的半径为Rm，对于绕月球表面飞行的卫星，由万有引力提供向心力有＝m′Rm，解得m＝ 又根据ρ＝解得ρ＝.
(2)设地球的质量为M，对于在地球表面的物体m表 有＝m表g，即GM＝Rg
月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力 即＝mr，解得T＝.