辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷B
一、单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
A B A D D B D C
二、多选题：
9 10 11 12
ABD BD ABC BCD
三、填空题：
13 14 15 16
或
四、解答题：
17．解：（1）的定义域为，， 1分
由题意可知，则，解得， 2分
∴，令，即，解得或， 4分
极小值
∴在上的最小值是，最大值是； 6分
（2）由题意得：在区间上恒成立，∴， 7分
又当时，是增函数，其最小值为，∴， 9分
即实数的取值范围为。 10分
18．解：（1）依题意，解得，又，∴， 2分
令，，解得，，
∴函数的单调递增区间为，； 4分
（2）∵，∴， 5分
令，则，，解得，， 6分
令，则或，，
解得或，， 9分
∵当函数的定义域为（）时，其值域为，
令，则，此时，，此时。 12分
19．解：（1）∵，
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
∴； 6分
（2）若，由所求的解析式知只能是或，
由解得或（舍），由解得（舍），
此时，得，
∴，∴有，此时的最大值为。 12分
20．解：（1）的定义域为，
， 1分
令，得或，
当时，恒成立，在上单调递增， 2分
当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 3分
当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减； 4分
（2）由（1）得，或为函数的两个极点，，
，， 5分
∵，∴， 6分
， 7分
∴，∴不是最值，舍去， 8分
，∴，为最大值， 9分
， 10分
当时，为最小值，当 时，为最小值， 11分
∴最大值为，当时，最小值为，当时，最小值为。 12分
21．解：（1）∵的定义域为，，∴，
若时，有解，只需， 1分
设，定义域为，，令，解得， 2分
当时，∴在区间内单调递增，
当时，∴在区间内单调递减，
∴在处取得极大值也是最大值，， 4分
∴，∴； 5分
（2）的定义域为，， 6分
若，即时，恒成立，∴在区间内单调递减，
又时，与题意不符合，舍去， 7分
若，即时，令，解得，
当时，∴在区间内单调递减，
当时，∴在区间内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，
∴， 9分
∴，∴，
设，定义域为， 10分
∴，
令，解得，又，∴在内单调递增，
∴在内单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，，
∴当、时，有最大值为。 12分
22．解：（1）定义域为，， 1分
若函数存在单调减区间，则有解， 2分
而恒成立，即有解， 3分
∴，又，∴； 4分
（2）证明：当时，，， 5分
，
由，有，从而，
要证原不等式成立，只要证， 7分
即证，对恒成立，
首先令，则， 8分
当时单调递增，当时单调递减，
∴，有（当且仅当时等号成立）， 9分
构造函数，，
∵，
当时，，即在上是减函数，
当时，，即在上是增函数，
∴在上，，∴，
∴当且仅当时，，等号成立， 11分
综上所述，，由于取等条件不同，
∴，即，∴原不等式成立。 12分绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷B
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，集合，定义，则中元素的个数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵，，∴，
则，共个元素，故选A。
2．函数（）的图像大致可以为（ ）。
A、B、C、D、
【答案】B
【解析】易得为奇函数，图像关于原点对称，故排除A，C，
，
显然存在，使得当时，，时，，
即在上先增后减，排除D，故选B。
3．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数点后面第七位，“割圆术”是用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，圆的内接正多边形边数越多误差越小。利用“割圆术”求圆周率，当圆的内接正多边形的边数为时，圆周率的近似值可表示为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】设圆的半径为，正多边形的圆心角为，边长为，
∴，即，故选A。
4．已知函数（）的导函数为，若使得成立的，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，，，，∴，
又∵，∴可得，即，∴，故选D。
5．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】设，则，则，
则的值域为，即的值域为，
由对于一切恒成立可得：，
即，即实数的取值范围为，故选D。
6．已知不等式成立，则的最小值是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵，∴，即，
又当时，，，当时，，
令，∵在上单调递增，，∴，
即，故选B。
7．已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，根据题意可知在内有个变号零点，
当时，显然不合题意，
当时，方程等价于，
令，则，
令，∵，解得，可得在单调递减，在单调递增，
又∵，，，要使直线与的图像有个不同的交点，
需要满足，解得，故选D。
8．已知、、，则、、的大小关系为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】、、，
构造函数，定义域为，，，
当时，，∴在内单调递减，∴，
∴在内单调递增，∴，即，∴，
构造函数，定义域为，，
∴在上单调递减，∴，即，∴，
∴，故选C。
【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中、，将化为的目的就是出现， 以便与中的一致，从而只需比较与这两个函数大小关系即可。在构造函数后比较大小还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．设，，则下列不等式中，成立的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】ABD
【解析】A选项，，对，
B选项，∵，，∴，对，
C选项，由对数函数的单调性可得，错，
D选项，∵、，，∴，对，
故选ABD。
10．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】BD
【解析】A选项，函数的最小正周期为，错，
B选项，函数 的最小正周期为，当时，，
∵在上单调递增，∴在上单调递增，对，
C选项，函数最小正周期为，当时，，
∵在上单调道减，∴在上单调递减，错，
D选项，作出函数的大致图像如图所示，
函数的最小正周期为，
且在区间上单调递增，对，
故选BD。
11．已知定义在上的函数图像连续，满足，且时，恒成立，则不等式中的可以是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】ABC
【解析】由整理得，
设，则有，∴为偶函数，
∵时，恒成立，∴时，恒成立，
∴在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又不等式等价于，
即，根据的单调性和奇偶性可知，解得，故选ABC。
12．已知函数，则以下结论正确的是（ ）。
A、函数为增函数
B、、，
C、若在上恒成立，则自然数的最小值为
D、若关于的方程（）有三个不同的实根，则
【答案】BCD
【解析】设时，则，∴，
又，∴当时，，
当时，则，∴，
又，∴当时，，
当时，则，∴，
又，∴当时，，
推测时，，作出的图像，由图像可知不是增函数，A选项错，
由图像可知，，∴、，，B选项对，
在同一坐标系中作出函数和函数的图像，如图所示，
∴当时，恒成立，∴的最小值为，C选项对，
令，则，
则方程（）等价于（），
即，∴（可取）或（舍去），
在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图像，
由图像可知，当时， 即时，
关于的方程（）有三个不同的实根，D选项对，
故选BCD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知，则 。
【答案】或
【解析】原式转化为，则，
∴，则或，
当时，
∴，
当时，，
填或。
14．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 。
【答案】
【解析】构造函数，定义域为，，则在上单调递减，
又函数是定义在上的奇函数，则是定义在上的偶函数，则在上单调递增，
做草图，则的解集为，
又由函数性质可知当时与的解集相同，
即。
15．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】作出与的图像，
①当时，与的图像有唯一一个交点，不符合题意，
②当时，与的图像有唯一一个交点，不符合题意，
③当时，当时，，当为的切线时，
即有唯一一个解，则中，即，即时，
与的图像有唯一一个交点，
由图像可知，当时，与的图像有三个交点，
∴。
模板：函数的零点：
①解方程的根；
②做函数的图像与轴交点的横坐标；
③做函数与的图像的交点的横坐标。
16．定义在上的函数满足：、，若，则
， 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】
【解析】由可得：，
即，即，∴，
∴，∴，∴函数的一个周期为，
∵，∴，
在中，令，则，∴，
在中，令，∴，∴，
∵，∴，∴函数的图像关于直线轴对称，
∵函数的一个周期为，∴，∴，
∴，∴函数的图像关于直线轴对称，
∵，∴，，
由知，∴，∴，
∵的一个周期为，
∴
。
（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：即。
（2）函数的图像关于直线对称的充要条件是：即。
特殊的：函数与的图像关于直线成轴对称。
互为反函数的两个函数关于直线对称。
（3）若（）是周期函数，是它的一个周期。
若，则是周期函数，是它的一个周期。
①若对任何都有，则是以为周期的函数；
②若对任何都有（），则是以为周期的函数；
③若函数有两条对称轴，，则是以为周期的函数，
若偶函数的图像关于直线（）对称，则是以为周期的函数；
④若函数的图像关于点和点（）对称，则是以为周期的函数，
若奇函数的图像关于点 （）对称，则是以为周期的函数；
⑤函数的图像关于直线和点（）对称，则是以为周期的函数，
若奇函数的图像关于直线（）对称，则是以为周期的函数；
⑥若函数满足（），则是以为周期的函数；
⑦若奇函数满足（），则。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
由题意可知，则，解得， 2分
∴，令，即，解得或，4分
极小值
∴在上的最小值是，最大值是； 6分
（2）由题意得：在区间上恒成立，∴， 7分
又当时，是增函数，其最小值为，∴， 9分
即实数的取值范围为。 10分
18．（本小题满分分）已知函数（，，）。在用五点法作出函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表所示：
（1）求函数的解析式，并直接写出函数的单调递增区间；
（2）已知函数满足，若当函数的定义域为（）时，其值域为，求的最大值与最小值。
【解析】（1）依题意，解得，又，∴， 2分
令，，解得，，
∴函数的单调递增区间为，； 4分
（2）∵，∴， 5分
令，则，，解得，， 6分
令，则或，，
解得或，， 9分
∵当函数的定义域为（）时，其值域为，
令，则，此时，，此时。 12分
19．（本小题满分分）函数的最小值为，，
（1）求；
（2）若，求实数及此时的最大值。
【解析】（1）∵，
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
若，即，则当时，有最小值，
∴； 6分
（2）若，由所求的解析式知只能是或，
由解得或（舍），由解得（舍），
此时，得，
∴，∴有，此时的最大值为。 12分
20．（本小题满分分）已知函数，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求函数在上的最大值和最小值。
【解析】（1）的定义域为，
， 1分
令，得或，
当时，恒成立，在上单调递增， 2分
当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 3分
当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减； 4分
（2）由（1）得，或为函数的两个极点，，
，， 5分
∵，∴， 6分
， 7分
∴，∴不是最值，舍去， 8分
，∴，为最大值， 9分
， 10分
当时，为最小值，当 时，为最小值， 11分
∴最大值为，当时，最小值为，当时，最小值为。 12分
21．（本小题满分分）已知实数（）。
（1）若时，有解，求实数的取值范围；
（2）若恒成立，求的最大值。
【解析】（1）∵的定义域为，，∴，
若时，有解，只需， 1分
设，定义域为，，令，解得， 2分
当时，∴在区间内单调递增，
当时，∴在区间内单调递减，
∴在处取得极大值也是最大值，， 4分
∴，∴； 5分
（2）∵的定义域为，， 6分
若，即时，恒成立，∴在区间内单调递减，
又时，与题意不符合，舍去， 7分
若，即时，令，解得，
当时，∴在区间内单调递减，
当时，∴在区间内单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，
∴， 9分
∴，∴，
设，定义域为， 10分
∴，
令，解得，又，∴在内单调递增，
∴在内单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，，
∴当、时，有最大值为。 12分
22．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）若，证明：，总有。
【解析】（1）定义域为，， 1分
若函数存在单调减区间，则有解， 2分
而恒成立，即有解， 3分
∴，又，∴； 4分
（2）证明：当时，，， 5分
，
由，有，从而，
要证原不等式成立，只要证， 7分
即证，对恒成立，
首先令，则， 8分
当时单调递增，当时单调递减，
∴，
有（当且仅当时等号成立）， 9分
构造函数，，
∵，
当时，，即在上是减函数，
当时，，即在上是增函数，
∴在上，，∴，
∴当且仅当时，，等号成立， 11分
综上所述，，由于取等条件不同，
∴，即，∴原不等式成立。 12分绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷B
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，集合，定义，则中元素的个数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．函数（）的图像大致可以为（ ）。
A、B、C、D、
3．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数点后面第七位，“割圆术”是用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，圆的内接正多边形边数越多误差越小。利用“割圆术”求圆周率，当圆的内接正多边形的边数为时，圆周率的近似值可表示为（ ）。
A、 B、
C、 D、
4．已知函数（）的导函数为，若使得成立的，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．已知不等式成立，则的最小值是（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．已知、、，则、、的大小关系为（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．设，，则下列不等式中，成立的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
10．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
11．已知定义在上的函数图像连续，满足，且时，恒成立，则不等式中的可以是（ ）。
A、 B、 C、 D、
12．已知函数，则以下结论正确的是（ ）。
A、函数为增函数
B、、，
C、若在上恒成立，则自然数的最小值为
D、若关于的方程（）有三个不同的实根，则
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知，则 。
14．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 。
15．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 。
16．定义在上的函数满足：、，若，则
， 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。
18．（本小题满分分）已知函数（，，）。在用五点法作出函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表所示：
（1）求函数的解析式，并直接写出函数的单调递增区间；
（2）已知函数满足，若当函数的定义域为（）时，其值域为，求的最大值与最小值。
19．（本小题满分分）函数的最小值为，，
（1）求；
（2）若，求实数及此时的最大值。
20．（本小题满分分）已知函数，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求函数在上的最大值和最小值。
21．（本小题满分分）已知实数（）。
（1）若时，有解，求实数的取值范围；
（2）若恒成立，求的最大值。
22．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）若，证明：，总有。
