河南省郑州市基石中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题（含解析）

高三开学入学考试数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（8小题，每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数（为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知向量，，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列函数中，在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中，项的系数为（ ）
A．2 B．14 C．48 D．
6．椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在定义域上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（4小题，每题5分，共20分）
9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
10．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A． B．
C．的最小值为0 D．的最大值为36
11．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（ ）
A．若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种
B．若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种
C．若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种
D．若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种
12．已知O为坐标原点，抛物线的焦点F为，过点的直线交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（ ）
A．的最小值为3
B．的准线方程为
C．
D．当时，点到直线的距离的最大值为
三、填空题（4小题，每题5分，共20分）
13．______．
14．已知，且，则的值是______．
15．直线与圆相交，所得的弦的长为______．
16．2022年北京冬奥会期间，出现一“墩”难求的现象，现有甲、乙、丙3个好朋友商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲购买到的概率为，乙购买到的概率为，丙购买到的概率为，则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到的概率为______．
四、解答题（6小题，共70分）
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A的大小；
（2）若，，求边上的高．
18．已知等差数列满足：①，②，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19．某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如下表：
一等品 二等品 合计
设备改造前 120 80 200
设备改造后 150 50 200
合计 270 130 400
（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；
（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品．现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及均值．
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20．如图，在直三棱柱中，，，E，F依次为，的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
21．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过椭圆C的左焦点，倾斜角为60°的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．
22．已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数a的值；
（2）若函数的图象与的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
高三入学考试数学答案
参考答案：
1．C
【分析】先利用一次不等式的求解化简集合，再利用集合的交集运算即可得解．
【详解】因为，
所以．故选：C．
2．C
【分析】根据虚部的概念可得结果．
【详解】，
的虚部为2．故选：C
3．C
【分析】根据，两边平方后可得，求出m的值，进而求出
【详解】∵，两边平方得，
展开整理得∴．
∴，解得．
∴，故选：C
4．D
【分析】对四个选项，直接根据函数解析式判断单调性可得答案．
【详解】对于A，在和上为单调递减函数，故A不正确；
对于B，在上为减函数，故B不正确；
对于C，在上为减函数，故C不正确；
对于D，在上为单调递增函数，故D正确．故选：D
5．B
【分析】项由的项与的积和的项和的积组成，再结合二项式定理得出系数．
【详解】展开式的通项为，在中，项由的项与x的积和的项和的积组成，
故可得的系数为．故选：B．
6．B
【分析】先把椭圆方程化为标准方程，得到a，b，结合得到结果．
【详解】先将椭圆化为标准方程，
则，，．
故焦距为．故选：B．
7．B
【分析】根据函数的图象，依次求得A，和的值．
【详解】由图可知，，，，
则，
则当时，，
由于，所以，．故选：B
8．A
【分析】转化为，即在上恒成立可求出结果．
【详解】的定义域为，，
因为在上单调递增，所以，即在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以．故选：A
9．CD
【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可．
【点睛】对选项A，圆柱的侧面积为，故A错误；
对选项B，圆锥的母线为，
圆锥的侧面积为，故B错误．
对选项C，球的表面积为，故C正确．
对选项D，圆柱的体积，
圆锥的体积，球的体积，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确．
故选：CD
10．ABD
【分析】设等差数列的公差为d，根据已知条件求出的值，利用等差数列的求和公式可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；求出的最小值，可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项．
【详解】设等差数列的公差为d，则，解得．
对于A选项，，A对：
对于B选项，，B对；
对于C选项，，故当或6时，取最小值1，C错；
对于D选项，，
故当时，取得最大值36，D对．
故选：ABD．
11．ACD
【分析】对于A：先排甲同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于B：先排甲、丙、丁同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于C：利用揷空法运算求解；对于选项D：利用间接法运算求解．
【详解】对于选项A：因为甲不在正中间，则甲的不同的排列方式有种，
剩余的四人全排列，不同的排列方式有种，
所以不同的排列方式共有种，故A正确；
对于选项B：若甲、乙、丙三人互不相邻，则甲、乙、丙三人在首位、中间和末位，
则不同的排列方式有种，
剩余的2人全排列，不同的排列方式有种，
所以不同的排列方式共有种，故B错误；
对于选项C：若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则有四个间隔空位，
若乙、戊不相邻，把乙、戊安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有种；
若乙、成相邻，把两人看成整体安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有种；
所以不同的排列方式共有种，故C正确；
对于选项D：若丙和丁相邻，不同的排列方式共有种，
若甲在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种，
所以甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种，故D正确；故选：ACD．
12．ABD
【分析】根据焦点坐标求出准线方程即可判断B，利用图形根据抛物线的定义结合三点一线即可判断A，设直线的方程为，将其与抛物线方程联立得到关于y的一元二次方程，则得到韦达定理式，计算得，则可判断C，因为可知P到直线的距离等于F到直线的距离，则点F到直线的距离，利用导数即可求出最大值即可判断D．
【详解】如图：对于A，B，由抛物线的焦点F为，
则，即，其准线方程为，设点到准线的距离为，
则，设点到准线的距离为，
易知，故选项A正确，B正确；
由题意可知，过点的直线的方程可设为
，代入抛物线，可得，
，则直线始终与抛物线图象有两个交点，
设，，则，，
，当时，取到最小值，故选项C错误；
由C可得直线的方程为，由，可知到直线的距离等于到直线的距离，
点到直线的距离，
令，则，
当，时，，单调递减；
当时，，单调递增，由当时，，当时，，
则当时，，所以，故选项D正确．故选：ABD．
【点睛】对于较难的CD选项，采用设线法，设直线的方程可设为，将其与抛物线方程联立得到一元二次方程，则得到韦达定理式，再计算，
对D，根据平行，将其转化为点到直线的距离，再利用导数求出其最值即可．
13．5
【分析】根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得．
【详解】．
故答案为：5
14．/
【分析】先利用平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正切公式即可得解．
【详解】因为，且，
所以，则，
所以．故答案为：．
15．
【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得．
【详解】因为圆即：，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得弦长为：．故答案为：．
16．/0.75
【分析】利用对立事件概率求法，和相互独立事件概率公式求解．
【详解】设事件“甲购买到”，事件“乙购买到”，事件“丙购买到”，
由于A、B、C相互独立，所以、、相互独立，
事件“甲、乙、丙3人中至少有1人购买到”，
则“甲、乙、丙3人都没买到”，
则
故答案为：
17．（1） （2）
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可得解；
（2）由余弦定理求出，再由面积等积法求解即可．
【详解】（1）由正弦定理
得，
∴，
∴，
∵，∴
因为，所以，所以，
因为，所以．
（2）在中，因为，
所以，
所以．解得，或（舍），
设边上的高为，因为，
所以．
18．（1） （2）
【分析】（1）由已知条件列方程组求出数列的首项与公差，可求通项公式；
（2）由数列的通项，利用裂项相消法求前n项和．
【详解】（1）设等差数列公差为d，依题意有，
解得，所以．
（2），
．
19．（1）能 （2）分布列见解析，
【分析】（1）先计算，再根据独立性检验思想即可判断；
（2）根据超几何分布即可求解分布列，再根据期望公式即可求解期望．
【详解】（1）零假设：产品的质量与设备改造无关，
根据小概率值0.01的独立性检验，推断不成立，即认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关．
（2）依题意，X的可能值为1，2，3，
， ，
所以X的分布列为：
1 2 3
数学期望．
20．（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）由直棱柱的性质可得平面，则，而，则由线面垂直的判定可得平面，则，而，则平面，再由线面垂直的性质可得结论；
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解．
【详解】（1）证明：连接，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，则，
因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，则．
（2）因为直三棱柱中，，
所以，，两两垂直，
所以以A为原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
令可得．
设与平面所成角为，
所以，
即与平面成角的正弦值为．
21．（1） （2）
【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出a，b可得椭圆C的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，求出，再根据可求出结果．
【详解】（1）依题意得，，所以，，
所以椭圆C的方程为．
（2）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率为，
又直线过点，所以直线，
联立，消去x并整理得，，
设，，则，，
所以，
所以．
22．（1）；（2）．
【分析】（1）利用导数的几何意义和两直线平行即可求解；
（2）所求转化为直线与函数的图象有两个交点，利用导数画出的草图，利用图像即可求解．
【详解】（1），
依题意得，即，解得．
故，，
在点处的切线方程为，即；
而在点处的切线方程为，这两条切线平行，故．
（2）函数的图象与的图象有两个公共点，
方程有两个不等实根
方程有两个不等实根
方程有两个不等实根
直线与函数的图象有两个交点．
∵
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
∴有极大值，也是最大值为．
∵当时，；当时，
∴可以画出的草图（如图）：
由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点，
即函数的图象与的图象有两个公共点，故．