辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷A
一、单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D C C A A C
二、多选题：
9 10 11 12
AD ACD AD BCD
三、填空题：
13 14 15 16
四、解答题：
17．解：（1）∵（，，），且， 1分
根据条件①可知这个函数的周期是，
根据条件②可知，最小，最大，且，
根据条件③可知，函数在上单调递增，且，∴， 2分
根据上述分析可得：，∴，且，解得， 4分
又当时，取最小值，当时，取最大值，
∴且，∴，，
又∵，∴， 5分
∴入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为，且；6分
（2）令，化简得， 7分
即，，解得，， 8分
∵且，∴可取、、、、， 9分
即在月、月、月、月、月个月份要准备不少于份的食物。 10分
18．解：（1）； 2分
（2）∵，
由（）得：（）， 4分
∴的递增区间为，， 5分
∵在上是增函数，∴当时，有， 6分
∴，解得，∴的取值范围是； 8分
（3）方程，即为，
从而问题转化为方程有解， 9分
只需在函数的值域范围内，∵，
当时，当时， 11分
∴实数的取值范围为。 12分
19．解：（1）∵的定义域为，，∴为偶函数且在区间内单调递减， 2分
又，∴，解得或，
综上所述，原不等式的解集是； 5分
（2）设，则，若原方程有个不等实根，
则方程有个不等实根、，其中、， 7分
∴，即，解得，
∴， 10分
∴当，即时有最小值，最小值为。 12分
20．解：（1）由得，而，依题意，∴， 2分
∴，，
， 3分
∵，∴，∴在区间上为凸函数； 4分
（2）证明：由（1）知在区间内单调递减，又、，
∴存在唯一一个使得， 6分
当时，，∴在内单调递增， 7分
当时，，∴在内单调递减， 8分
∵，，，
∴在及内各有一个零点，即在内有两个不同的零点。 12分
21．解：（1）函数的定义域为，， 1分
可得，又，∴在点处的切线方程为， 3分
整理得：； 4分
（2）证明：要证明，只需证明，
∵，∴不等式等价于， 5分
设，定义域为，， 6分
令，解得，当时，，当时，，
∴在内单调递减，在单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，， 8分
设，定义域为，， 9分
令，解得，当时，，当时，，
∴在处取得极大值也是最大值，， 11分
∵且两个函数的最值点不相同，
∴有，∴原不等式得证。 12分
22．解：（1）证明：的定义域为，，令，解得， 1分
当时，，∴在区间内单调递减， 2分
当时，，∴在区间内单调递增， 3分
∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴恒成立； 4分
（2）①当时，取，则，即不符合题意， 5分
②当时，取，则，即不符合题意， 6分
③当时，由，∴，即对恒成立，
令，，且，
∴对恒成立， 8分
设，，
则，设，
则，
由（1）知，∴，
同理，由可推出，
∴，即在上单调递增，又，
∴在内单调递减，在内单调递增，∴成立， 11分
综上所述，实数的取值范围为。 12分绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷A
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】任取，则，其中，∴，∴，∴，故选C。
2．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】把的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）可得，
把的图像向右平移个单位可得，故选B。
3．已知，若命题：，命题：，则命题是命题的（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由不等式可得，解得或，
即命题为真命题时，构成集合，
又由，根据指数函数的图像与性质，可得，
即命题为真命题时，构成集合
∴是的既不充分也不必要条件，故选D。
4．函数在区间上可找到个不同数、、…、，使得，则的最大值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】设，
则条件等价为的根的个数，
作出函数和的图像，
由图像可知与函数最多有个交点，即的最大值为，故选C。
5．已知、、，则、、大小关系为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵、、，
又∵且函数在上为增函数，∴，故选C。
6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵在区间上是增函数，∴，
∴，即，，，
∴，令，则，∴在递减，
∴，故选A。
7．已知函数，，若对于，，使得，则实数的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由题意可知：，
，设，
∵，∴，在单调递减，在单调递增，
当时，当时，∴，
又在的最大值是或，∴，解得，故选A。
8．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵函数满足，∴函数的图像关于直线对称，∴，
又是上奇函数，∴，∴，∴函数的周期为，
考虑一个周期，由函数在区间上单调递减，
又由是上奇函数，且关于直线对称，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∵、，
∴当时，，当，，
当时，，当时，，
∵方程在区间有实数根，则这实根是唯一的，
又∵函数的图像关于直线对称，则方程在区间有唯一实数根，
方程在区间和区间上没有实根，
∴方程在一个周期内有且只有个实数根，根据对称性可知这两根之和为，
∵函数在区间上恰好个周期，
∴根据函数周期性和对称性可知方程在区间上所有实数根之和为，
故选C。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．定义：角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”。已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】AD
【解析】∵，∴，∵，∴，
A选项，，可能符合条件，对，
B选项，，不符合条件，错，
C选项，，即，又，∴，不符合条件，错，
D选项，，即，又，∴，可能符合条件，对，
故选AD。
10．已知函数的导函数为，则（ ）。
A、若为奇函数，则为偶函数 B、若，则为奇函数
C、若的最小值为，则 D、若为偶函数，则为奇函数
【答案】ACD
【解析】A选项，若为奇函数，则，则，解得，
又，，∴是偶函数，对，
B选项，若，又，则，∴，，
当时，，是奇函数，
当时，，不是奇函数，
∴不一定是奇函数，错，
C选项，若的最小值为，，，
则，对，
D选项，若为偶函数，，，∴，
解得，∴，∴，∴为奇函数，对，
故选ACD。
11．下列能使式子（，）最小值为的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】AD
【解析】A选项，当，则，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，对，
B选项，由得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，∴最小值为，错，
C选项，假设，则，错，
D选项，∵，，∴且，即，∴，
由得，
设、，即、，
∵，∴，即，
则
，
∵，∴，∴，
当，即、时，取得最小值，对，
故选AD。
12．已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则（ ）。
A、函数的图像关于直线对称 B、
C、函数的图像关于点对称 D、
【答案】BCD
【解析】A选项，是偶函数，图像关于对称，
的图像，横坐标放大为原来的两倍，得到的图像，
则是偶函数，图像关于对称，
的图像，向左平移个单位，得到的图像，
则的图像关于对称，错，
B选项，由，以替换得，
由得，
令得，∴，
∵的图像关于对称，∴，对，
C选项，由，以替换得，
由得，
令得，∴，∴的图像关于点对称，对，
D选项，的图像关于对称，∴，∴，
由得，
以替换得，∴，
∴，∴的周期为，
又∵的图像关于对称，∴、、，
∴，
∴，对，
故选BCD。
【点睛】本题主要由函数的奇偶性研究函数的对称性，包括对抽象函数对称性、奇偶性的研究。主要解题方法有两点，一点是函数图像变换，另一点是赋值法。求解和年份有关的函数求值问题，首先是找到题目中蕴含的规律，再由此进行求值。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知函数，则曲线在点（）处的切线方程为 。
【答案】
【解析】，∴，，∴切线方程为，即。
14．已知函数，若对任意正数、满足，则的最小值为 。
【答案】
【解析】∵的定义域为，，∴为奇函数，且在上单调递减，
∵，∴，∴，即，
∴，
当且仅当，即、时等号成立，∴的最小值为。
15．已知函数（，）的最小正周期为，且函数的图像关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】由题意可知，∴，
又为的一条对称轴，∴，，∴，，
又，∴，∴，
设，则原函数可化为，若，∴，
做函数的图像如图所示，
∴或，解得或。
16．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】∵，∴中，由可得，
设，，则与互为反函数，
∴转化为，则只需的图像在上，的图像在下，
∴，即，令（），则只需，
∴，令，解得，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
∴为的极小值也是最小值，∴，
即，又，∴。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入。为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；
②入住宾馆的游客人数在月份最少，在月份最多，相差约人；
③月份入住宾馆的游客约为人，随后逐月增加直到月份达到最多．
（1）若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为（，，）。试求出函数的解析式；
（2）请问哪几个月份要准备不少于份的食物？
【解析】（1）∵（，，），且， 1分
根据条件①可知这个函数的周期是，
根据条件②可知，最小，最大，且，
根据条件③可知，函数在上单调递增，且，∴， 2分
根据上述分析可得：，∴，且，解得， 4分
又当时，取最小值，当时，取最大值，
∴且，∴，，
又∵，∴， 5分
∴入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为：
，且； 6分
（2）令，化简得， 7分
即，，解得，， 8分
∵且，∴可取、、、、， 9分
即在月、月、月、月、月个月份要准备不少于份的食物。 10分
18．（本小题满分分）已知函数。
（1）化简函数；
（2）已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）若方程有解，求实数的取值范围。
【解析】（1）； 2分
（2）∵，
由（）得：（）， 4分
∴的递增区间为，， 5分
∵在上是增函数，∴当时，有， 6分
∴，解得，∴的取值范围是； 8分
（3）方程，即为，
从而问题转化为方程有解， 9分
只需在函数的值域范围内，∵，
当时，当时， 11分
∴实数的取值范围为。 12分
19．（本小题满分分）已知函数。
（1）求不等式的解集；
（2）若方程在区间内有个不等实根，求的最小值。
【解析】（1）∵的定义域为，，∴为偶函数且在区间内单调递减，2分
又，∴，解得或，
综上所述，原不等式的解集是； 5分
（2）设，则，若原方程有个不等实根，
则方程有个不等实根、，其中、， 7分
∴，即，解得，
∴， 10分
∴当，即时有最小值，最小值为。 12分
20．（本小题满分分）设函数在区间上的导函数为，且函数在上存在导函数（其中）。定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数。
已知函数的图像过点，且在点处的切线斜率为。
（1）判断在区间上是否为凸函数，说明理由；
（2）求证：当时，函数有两个不同的零点。
【解析】（1）由得，而，依题意，∴， 2分
∴，，
， 3分
∵，∴，∴在区间上为凸函数； 4分
（2）证明：由（1）知在区间内单调递减，又、，
∴存在唯一一个使得， 6分
当时，，∴在内单调递增， 7分
当时，，∴在内单调递减， 8分
∵，，，
∴在及内各有一个零点，即在内有两个不同的零点。 12分
【点睛】（1）根据凸函数的定义，对函数二次求导，结合三角函数性质判断导数正负即可；
（2）证明时，函数有个零点，利用函数的单调性结合零点存在定理即可判断。
21．（本小题满分分）已知函数。
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
可得，又，∴在点处的切线方程为， 3分
即； 4分
（2）证明：要证明，只需证明，
∵，∴不等式等价于， 5分
设，定义域为，， 6分
令，解得，当时，，当时，，
∴在内单调递减，在单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，， 8分
设，定义域为，， 9分
令，解得，当时，，当时，，
∴在处取得极大值也是最大值，， 11分
∵且两个函数的最值点不相同，
∴有，∴原不等式得证。 12分
22．（本小题满分分）设且，函数，。
（1）证明：恒成立；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）证明：的定义域为，，令，解得， 1分
当时，，∴在区间内单调递减， 2分
当时，，∴在区间内单调递增， 3分
∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴恒成立； 4分
（2）①当时，取，则，即不符合题意， 5分
②当时，取，则，即不符合题意， 6分
③当时，由，∴，
即对恒成立，
令，，且，
∴对恒成立， 8分
设，，
则，设，
则，
由（1）知，∴，
同理，由可推出，
∴，即在上单调递增，又，
∴在内单调递减，在内单调递增，∴成立， 11分
综上所述，实数的取值范围为。 12分
【点睛】关键点点睛：第二问是本题的重点和难点，关键是分情况讨论，当和两个区间，合理选择定义域，说明不等式不成立，当时，由分析法入手，通过两边取对数，换元等方法，将不等式变形为
，是本题的难点。绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分
辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷A
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．已知，若命题：，命题：，则命题是命题的（ ）。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4．函数在区间上可找到个不同数、、…、，使得，则的最大值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．已知、、，则、、大小关系为（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．已知函数，，若对于，，使得，则实数的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．定义：角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”。已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
10．已知函数的导函数为，则（ ）。
A、若为奇函数，则为偶函数 B、若，则为奇函数
C、若的最小值为，则 D、若为偶函数，则为奇函数
11．下列能使式子（，）最小值为的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
12．已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则（ ）。
A、函数的图像关于直线对称 B、
C、函数的图像关于点对称 D、
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知函数，则曲线在点（）处的切线方程为 。
14．已知函数，若对任意正数、满足，则的最小值为 。
15．已知函数（，）的最小正周期为，且函数的图像关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数的取值范围为 。
16．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入。为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；
②入住宾馆的游客人数在月份最少，在月份最多，相差约人；
③月份入住宾馆的游客约为人，随后逐月增加直到月份达到最多．
（1）若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为（，，）。试求出函数的解析式；
（2）请问哪几个月份要准备不少于份的食物？
18．（本小题满分分）已知函数。
（1）化简函数；
（2）已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）若方程有解，求实数的取值范围。
19．（本小题满分分）已知函数。
（1）求不等式的解集；
（2）若方程在区间内有个不等实根，求的最小值。
20．（本小题满分分）设函数在区间上的导函数为，且函数在上存在导函数（其中）。定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数。
已知函数的图像过点，且在点处的切线斜率为。
（1）判断在区间上是否为凸函数，说明理由；
（2）求证：当时，函数有两个不同的零点。
21．（本小题满分分）已知函数。
（1）求在点处的切线方程；
（2）求证：。
22．（本小题满分分）设且，函数，。
（1）证明：恒成立；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围。
