人教版高中数学必修第二册 第六章平面向量及其应用 单元测试卷（含解析）

人教版高中数学必修第二册 第六章平面向量及其应用 单元测试卷
　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法中正确的是 (　　)
A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D.若|a|>|b|,则a>b
2.设{e1,e2}为基底,已知向量=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三点共线,则k的值是 (　　)
A.2 B.-3 C.-2 D.3
3.已知=(2,8),=(-7,2),则= (　　)
A.(3,2) B.
C.(-3,-2) D.
4.如图C1-1所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则= (　　)
图C1-1
A.+ B.+
C.+ D.+
5.已知a=(sin 15°,sin 75°),b=(cos 30°,sin 30°),则a·b= (　　)
A. B.-
C. D.-
6.在△ABC中,已知a=,b=,A=30°,则c= (　　)
A.2 B.
C.2或 D.以上都不对
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,b=5,c=,则最大角与最小角的和为 (　　)
A.90° B.120°
C.135° D.150°
8.已知|a|=1,|b|=2,a·b=0,c=a+b,|d-c|=1,则|d|的取值范围是 (　　)
A.[0,3] B.[2,3]
C.[2,4] D.[3,4]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)
9.已知正方形ABCD的边长为2,向量a,b满足=2a,=2a+b,则 (　　)
A.|b|=2 B.a⊥b
C.a·b=2 D.(4a+b)⊥b
10.关于平面向量a,b,c,下列说法中错误的是 (　　)
A.若a∥b,a≠0,则存在λ∈R,使得b=λa
B.若a,b为非零向量且a·b=0,则a,b的夹角为直角
C.若a·b=a·c,则b=c
D.(a·b)·c=a·(b·c)
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,c=2,则角C的大小可能是 (　　)
A. B.
C. D.
12.如图C1-2,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为AE的中点,则 (　　)
图C1-2
A.=-+
B.=+
C.=-+
D.=-
请将选择题答案填入下表:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 总分
答案
题号 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知单位向量e满足|a-e|=|a+2e|,则向量a在e上的投影向量为　　　　.
14.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为BC的中点,若=x+y,则x+y=　　　　.
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B,c分别为　　　　.
16.已知a,b为平面内两个不共线的向量,给出以下4个论断:
①|a-b|=|a|;②=;③|a|=1,|b|=2;④a⊥(a-b).请以其中两个为条件,一个为结论,写出一个真命题:　　　　.(写序号即可)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).
(1)求a·b,|a+b|;
(2)求a与b的夹角的余弦值.
18.(12分)甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向上,距A处9海里的B处,并以20海里/小时的速度沿南偏西15°方向行驶,假设甲船以28海里/小时的速度行驶,那么最快用多少小时能追上乙船
19.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,cos B=,b=3,求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
20.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求a,c;
(2)求sin(A-B)的值.
21.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2=b2+ac.
(1)求cos B的值;
(2)若cos A=,a=8,求b以及S△ABC的值.
22.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,已知+=0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.
答案全解全析
1.C　[解析] 向量是既有大小又有方向的量,大小相等,但方向不一定相同或相反,故A不正确;当b=0时,a与c不一定平行,故B不正确;尽管两个向量的模有大小之分,但两个向量是不能比较大小的,故D不正确;由平行向量的定义知C正确.
2.A　[解析] 易知=-=-e1+2e2=-(e1-2e2),∵A,B,D三点共线,∴∥,则k=2,故选A.
3.C　[解析] ∵=-=(-7,2)-(2,8)=(-9,-6),∴=(-9,-6)=(-3,-2).
4.D　[解析] 根据题意得=+=+(+)=+×+=+.故选D.
5.A　[解析] a·b=sin 15°cos 30°+sin 75°sin 30°=sin 15°cos 30°+cos 15°sin 30°=sin(15°+30°)=sin 45°=.故选A.
6.C　[解析] ∵a2=b2+c2-2bccos A,∴5=15+c2-2×c×,化简得c2-3c+10=0,即(c-2)(c-)=0,∴c=2或c=.
7.B　[解析] 在△ABC中,∵a=3,b=5,c=,∴最大角为B,最小角为A,∴cos C===,又0°8.C　[解析] ∵|a|=1,|b|=2,a·b=0,c=a+b,|d-c|=1,∴c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=1+8=9,∴|c|=3.设c,d的夹角为α,由|d-c|=1得|d|2-2c·d+|c|2=1,∴|d|2-6|d|cos α+9=1,∴cos α=,设|d|=x,则x>0,由-1≤cos α≤1得-1≤≤1,解得2≤x≤4,故选C.
9.AD　[解析] 由条件可得b=-=,所以|b|=||=2,A正确;a=,与不垂直,B错误;a·b=·=-2,C错误;4a+b=+=,根据正方形的性质知AC⊥BD,所以(4a+b)⊥b,D正确.故选AD.
10.CD　[解析] 由向量共线的定理可知选项A中说法正确;因为a,b为非零向量,故当a·b=0时,它们的夹角为,所以选项B中说法正确;设a与b的夹角为θ,a与c的夹角为α,因为a·b=a·c,所以|b|cos θ=|c|cos α,所以选项C中说法错误;对于非零向量a,b,c,当a与c不共线,且a·b≠0,b·c≠0时,(a·b)·c≠a·(b·c),所以选项D中说法错误.故选CD.
11.BD　[解析] 由正弦定理可得=,∴ sin C=sin A=,而a12.ABC　[解析] ∵ AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,∴=++=-++=-+,A正确;∵=3,∴==-+,∴=+=+-+=+,又F为AE的中点,∴==+,B正确;=+=-++=-+,C正确;=-=-+--+=--,D错误.故选ABC.
13.-e　[解析] 由|a-e|=|a+2e|得(a-e)2=(a+2e)2,所以|a|2-2a·e+1=|a|2+4a·e+4,解得a·e=-,于是向量a在e上的投影向量为e=-e.
14.　[解析] 如图,连接AC.因为E为BC的中点,所以=(+),又=+,且AB=2CD,所以=+,所以=++=+,所以由=x+y,得x=,y=,所以x+y=.
15.,3　[解析] 由=,得sin B=sin A=.∵a2=b2+c2-2bccos A,∴c2-2c-3=0,解得c=3(c=-1舍去).
16.③④ ①　[解析] 如图所示,若a⊥(a-b),则∠ABC=90°,由|a|=1,|b|=2,结合勾股定理可得|a-b|==,所以|a-b|=|a|.
17.解:(1)因为e1=(1,0),e2=(0,1),
所以a=3e1-2e2=(3,-2),
b=4e1+e2=(4,1),所以a·b=(3,-2)·(4,1)=12-2=10.
又a+b=(7,-1),所以|a+b|==5.
(2)由(1)可知,|a|=,|b|=.
设a与b的夹角为θ,则cos θ===.
18.解:如图所示,设甲船最快能用t小时追上乙船,且在C处相遇.
在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=180°-45°-15°=120°,
故由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC,
即(28t)2=92+(20t)2-2×9×20t×,即128t2-60t-27=0,
所以t=或t=-(舍去),
所以甲船最快用小时能追上乙船.
19.解:(1)由·=2得c·acos B=2,又cos B=,所以ac=6.
由余弦定理得a2+c2=b2+2accos B,
因为b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
由得或
因为a>c,所以a=3,c=2.
(2)sin B===.
因为=,所以sin C=sin B=×=,又a=b>c,所以C为锐角,故cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.
20.解:(1)因为cos B==,所以=,
将a+c=6,b=2代入,得ac=9,所以a=c=3.
(2)由cos B=得sin B=,
因为=,所以sin A=,所以cos A=,
故sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=×-×=.
21.解:(1)cos B==.
(2)∵A,B为三角形的内角,
∴sin A===,
sin B===.
由正弦定理得=,∴b===7.
∵cos A==,
∴c2-2c-15=0,解得c=5或c=-3(舍),
∴S△ABC=bc·sin A=10.
22.解:(1)∵+=0,
∴由余弦定理可得+=0,
∴由正弦定理可得+=0,
整理可得0=2sin Bcos A+sin Ccos A+cos Csin A,
∴0=2sin Bcos A+sin B,
又sin B>0,∴cos A=-.∵A∈(0,π),∴A=.
(2)∵a=2,A=,
∴===,∴c=sin C,b=sin B.
设△ABC的周长为y,则y=a+c+b=2+sin B+sin C=2+sin B+sin-B=2+2cos B+sin B=sinB++2,
∵0∴y=sinB++2∈4,+2,
∴△ABC周长的取值范围是4,+2.