北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定 同步练习题（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P．则下列结论不成立的是（ ）
A．AE=DF B．PC=PD C．AE⊥DF D．
2．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ）
B．
C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作，交BC于点F．若，则CF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（ ）
A．5 B．3.5 C．4 D．
6．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形且点E在正方形内，点P在对角线AC上，连结PD，PE，则PD+PE的最小值为（　　）
A．12 B．6 C．2 D．4
7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式连续旋转2023次得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A．（a，a） B． C． D．
二、填空题
8．如图，边长为4的正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，OE⊥CD，则OE=___________ ．
9．如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，则△PEC周长的最小值为_______.
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，边AD绕点A顺时针旋转角度m（0°＜m＜360°），得到线段AP，连接PB，PC．当△BPC是等腰三角形时，m的值为_______．
11．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上．且DE＝CF，AF与BE相交于点G．若AB＝4，DE＝1，则GF的长 ____
12．如图，正方形和正方形的边长分别是4和6，且点，，在同一直线上，是线段的中点，连接，则的长为_________．
13．如图所示，以Rt△ABC的两直角边AC，BC分别作正方形ACED和正方形BCFG，连接EF；过点C作CH⊥AB于点H并反方向延长交EF于点I，若正方形ACED和正方形BCFG面积分别为16和9，则HI长为______．
14．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则MC＝；其中正确结论的有_______．
三、解答题
15．问题情境：四边形中，点O是对角线的中点，点E是直线上的一个动点（点E与点C、O、A都不重合）过点A，C分别作直线的垂线，垂足分别为F、G，连接．

(1)初步探究：已知四边形是正方形，且点E在线段上，求证；
(2)探究图中与的数量关系，并说明理由．
16．如图，在四边形中，且，对角线和相交于点O，且，过点B作，交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)试探究四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，，求四边形的面积．
17．已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点P．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为4，求的面积；
(3)求证：．
18．（1）建立模型：如图1，在正方形中，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将绕A点逆时针旋转使得B与D重合，连接，由此得到______，再证明______，可得出线段之间的数量关系为______．
（2）拓展延伸：如图2，在等腰直角三角形中，，点G，H在边上，且，写出图中线段之间的数量关系并证明．

19．如图，四边形是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段为边作正方形，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若点E在线段上，，，求的长．
20．如图1，在正方形中，E是边上的一动点(不与B重合)，，，交于点G，连接．

(1)若，E为的中点，则 ；
(2)探究线段与的数量关系，并给出证明；
(3)如图2，连接，比较和的大小关系，并说明理由．
参考答案
1．解：∵四边形是正方形，
∴，
∵F、E分别是正方形的边与的中点，
∴，
∴，
∴，选项A正确，不符合题意；
∴，
又∵，
∴，
∴，，选项C正确，不符合题意：
由得，
∴，即，选项D正确：
只有选项B无法证明其成立，
故选B．
2．解：如图：
三个大小相同的正方形，
∵，，
又∵，
∴，即，
故选：C．
3．解:如图，过点E作EH⊥BC交AD于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ADBC，∠ЕВН=∠ADB=45°，
∴四边形AGHB和四边形DGHC是矩形，△DGE是等腰直角三角形，
∴AG=BH=ЕН，DG=EG=1，
∴CH = DG= 1，
∵AG⊥GH，AE⊥EF，
∴∠AGE=∠AEF=∠FHE= 90°，
∴∠GAE+∠AEG=∠FEH+∠AEG= 90°，
∴∠GAE= ∠FEH，
∴△AGE≌△EHF(AAS)，
∴GE= FH= 1，
∴CF= CH + FH= 2，
故选：A．
4．解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
5．解：延长AD交EF于M，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=7，
∴AB=BC=1，CE=EF=7，∠E=90°，
则AM=BC+CE=1+7=8，FM=EF-AB=7-1=6，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：，
∴CH=5，
故选：A．
6．解：连接PB，
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2，点B、D关于对角线AC对称，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝2，
∵点B、D关于对角线AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE的最小值即为BE的长，
即PD+PE的最小值为．
故选：C．
7．解：如图，过点作轴于点D，
∵四边形OABC是正方形，且OA＝a，
∴A（0，a），
，
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形
∴，
∴，
同理，， ，，，，
……，
由此发现正方形旋转8次为一个循环，
∵2023÷8＝252…7，
∴点A2023的坐标与相同，为．
故选：D
8．解:因为四边形ABCD是正方形，
所以OD=OC=OB=OA，
因为OE⊥CD，
根据等腰三角形三线合一，得DE=EC，
所以OE是△DBC的中位线，
所以OE= ，
故答案为：2．
9．解：如图，连接，，
点关于的对称点为点，
，
根据两点之间线段最短可得就是的最小值，
正方形的边长为3，，
，
的最小值是，
则△PEC周长的最小值为：
故答案为：．
10．解：如图1，当m＝30°时，
BP＝BC，△BPC是等腰三角形；
如图2，当m＝60°时，
PB＝PC，△BPC是等腰三角形；
如图3，当m＝150°时，
PB＝BC，△BPC是等腰三角形；
如图4，当m＝300°时，
PB＝PC，△BPC是等腰三角形；
综上所述，m的值为30°或60°或150°或300°，
故答案为:30°或60°或150°或300°．
11．解:∵四边形形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
又∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
∴在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS）．
∴∠ABE＝∠DAF，BE=AF，
∵∠DAF+∠BAG＝90°，
∴∠ABE+∠BAG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴BE⊥AF．
∵AB=AD=4，DE=1，
∴AE=AD-DE=3，
∴在Rt△ABE中，有，
∴AF=BE=5，
∵BE⊥AF，∠BAD＝90°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．解：延长AD至H，延长FM与AH交于H点，
由题意可得ADEF，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴在△AMH和△EMF中，
∴△AMH≌△EMF，
即FM=MH，AH=EF，
∴DH=AH-AD=EF-AD=2，
∵DF=CF-CD=6-4=2，
在直角△DFH中，FH为斜边，
∴FH=，
∵FM=MH，
∴FM=．
故答案为：．
13．解：∵正方形ACED和正方形BCFG面积分别为16和9，
∴，
中，，
依题意，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
，
，
∴．
故答案为：4.9．
14．解：四边形是正方形，
，
在和中，，
，
，
，
为等腰直角三角形，结论①正确；
，
又，
，
即，结论②正确；
如图，连接，
为和斜边上的中点，
，
又，
直线是的垂直平分线，结论③正确；
如图，取的中点，连接，
，
，
直线是的垂直平分线，，
（等腰三角形的三线合一），
是等腰直角三角形，且，
，结论④正确；
综上，正确结论的有①②③④，
故答案为：①②③④．
15．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长交于H，

∵，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，．
∴．
16．（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（3）解：∵且，
∴，即，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为18．
17．（1）解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，且，
，
，
，
；
（3）在上截取，连接，
，
，
，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
18．解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴三点共线，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；；．
（2）,证明如下：

如图所示，将绕点B逆时针旋转得到．
∵，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
在△AGD和△AEB中，
，
∴，
∴；
（2）解：作于H，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，．
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴．
20．（1）解：在正方形中，，
∵E为的中点，，
∴，
∴，
故答案为：
（2）解：.
在线段上截取，连接

∵
∴
∴
∵在正方形中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵在中，
∴
∴；
（3）解：延长至P，使得，连接

∵在正方形中
∴，
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
即
∵，，
∴
∴
又∵，
∴.