北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理 同步练习题（含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步练习题（附答案）
一、单选题
1．在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．在，两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．5
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，9 D．7，24，25
4．若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（　　）
A． B．7 C．或7 D．或
5．如图，两个较大正方形的面积分别为 576、625，则字母 A所代表的正方形的边长为（ ）
A．1 B．49 C．16 D．7
6．如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端离地面的垂直距离为，则梯子的底端离墙的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为（ ）
A．25 B．5 C．16 D．12
二、填空题
8．若直角三角形两直角边平方和为36，则它的斜边长为______．
9．直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为___________cm．
10．如图，在中，，，．以为一边在的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为 ___________．
11．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为___________
12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，均在格点上，为上任意一点，则的值为________．
13．已知：如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点E处，已知，则______cm．
14．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________．
三、解答题
15．如图，在中，于D，．求：
(1)的长
(2)的面积．
16．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度．
17．如图，中，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求的长．
18．在八年级上册第九章中，我们通过图形的剪拼，通过整体与局部两个角度计算图形面积，得到了整式的乘法公式，我们称之为“面积与代数恒等式”．
(1)如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成了一个梯形．用不同的方法计算梯形的面积，可以得到一个等式：．
①请用两种方法计算梯形的面积，并写出得到等式的过程．
②如果满足等式的a、b、c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．已知m、n是正整数且，证明、、是勾股数．
(2)如图2，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，请直接写出拼成的不同正方形的边长．
19．如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的长．
20．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是________．
A．；B．；C．；D．
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________．
【初步运用】
（2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．
【灵活运用】
（3）如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．试猜想线段．．三者之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．解：由题意，画出图形如下：
由勾股定理得：
故选D．
2．解：根据勾股定理可知：斜边，
故选：C．
3．解；A.,不是勾股数，不符合题意；
B.不是勾股数，不符合题意；
C. 不是勾股数，不符合题意；
D. 是勾股数，符合题意；
故选择：D
4．解：，
，，
，，
a，b为直角三角形的两直角边长，
所以则该直角三角形的第三边长的平方为：
，
故选：A．
5．解：由勾股定理可知，
∴字母 A所代表的正方形的边长为７，
故选D．
6．解：梯子的底端离墙的距离为．
故选：A．
7．解：如图，
∵根据正方形的性质得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得：，
则正方形B的面积为25．
故选：A．
8．解：当时，
由勾股定理得，，
∵直角三角形两直角边平方和为36，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
9．解∶直角三角形的两条直角边分别为，
斜边为，
设斜边上的高为，
则直角三角形的面积为，
解得∶，
这个直角三角形斜边上的高为．
故答案为∶．
10．解：在中，，，，
由勾股定理可知：，
∴正方形面积为：，三角形面积为：，
阴影部分面积为：，
故答案为：139．
11．解：由折叠知，
，
在中，
解得，
故答案为：．
12．解：∵，
，
∴，
故答案为：12．
13．解：由长方形的性质可知，，
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
故答案为：．
14．解：由勾股定理得，
，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积，
阴影部分的面积，
故答案为：．
15．（1）解：，，
∴在中，；
（2）解：∵，
∴，
∴；
16．:解：设，由题意得， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17．解：在中，，
∴，
∵将折叠，使点B恰好落在斜边上，与点重合，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得，
∴．
18．（1）解：①根据题意得：，，
∴，
即，
∴
整理得：；
②证明：∵，
，
∴，
∵m、n是正整数且，
∴、、是勾股数．
（2）解：∵，
∴可以用一张甲、两张乙、一张丙组成一个边长为的正方形；
∵，
∴可以用一张甲、四张乙、四张丙组成一个边长为的正方形；
∵，
∴可以用四张甲、四张乙、一张丙组成一个边长为的正方形；
综上分析可知，正方形的边长可以是，，．
19．（1）解：由长方形性质可得，由折叠性质可得，
∴，
在与中，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
即，
由折叠的性质可得，
∴；
（3）由长方形的性质得到：，，
由折叠性质可得，
∵，
∴，
设，
则，，，
在中，，即，
∴，
∴．
20．（1）解：在和中，
，
∴，
故选：A；
由（1）得：，
∴，
在中，，
即，
故答案为：；
（2）解：如图，延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
（3）解：线段、、之间的等量关系为：；
延长到点，使，连接，，如图③所示：
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴在中，由勾股定理得：，
∴．