北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定 同步练习题（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步练习题（附答案）
一、单选题
1．如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，（　　）
A．15° B．30° C．40° D．50°
2．如图，菱形，对角线、交于点，，，、分别是、中点，则线段的长度为（ ）
A．5 B． C． D．
3．如图，点E，F分别在的边上，，连接．请问下列条件中不能使为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为（ ）
A．5 B． C． D．6
6．如图，在 ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（　　）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
7．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，若每次翻转60°，连续翻转2022次，点B的落点依次为 则的坐标为（ ）
A．（1346，0） B．（1346.5，） C．（1348，） D．（1349.5，）
二、填空题
8．已知菱形的对角线长分别为6和8，则菱形的面积为______菱形的高是______．
9．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段上，连接，若，则线段的长为 _______
10．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，分别以F、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，，，则的长为 ___________．
11．如图，四边形是菱形，点和分别是边和上的动点，线段的最大值是，最小值是，则这个菱形的边长是___________．

12．如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为 ______
13．如图， 中，，点是上一点，连接、，且，若，则______．
14．如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为______．
三、解答题
15．如图（1）、图（2）、图（3）均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点、只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，以为边作一个菱形（正方形除外），菱形的顶点是格点．
(2)在图②中，以为对角线作一个菱形（正方形除外），菱形的顶点是格点．
(3)在图③中，在上确定一个点P，在的内部确定一个非格点M，在上确定一个点Q，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹）
16．如图，已知四边形是菱形，点E、F分别是边的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求菱形的面积．
17．如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接．．
(1)如图1，当是线段的中点，且时，求的面积；
(2)如图2，当点不是线段的中点时，求证：；
18．如图，在平行四边形中，两条对角线相交于点，经过且垂直于，分别与边、交于点F、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，且，求菱形的面积．
19．如图，在菱形中，E为对角线上一点，F是BC延长线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若点G为的中点，连接，求证：．
20．如图，菱形的边长为2，，点是边上任意一点（端点除外）,线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：
(2)求证：的最小值
(3)当点在上运动时，的大小是否变化 为什么
参考答案
1．解:如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴
∵垂直平分，，
∴
∵，
∴．
故选：B．
2．解：取的中点，连接，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
故选D．
3．证明：添加，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为菱形，A选项不符合题意；
添加，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为菱形，C选项不符合题意；
添加，
∵四边形是平行四边形，
∴为菱形，D选项不符合题意；
故选：B．
4．解:延长交的延长线于点G．如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵F是边的中点，
∴，
在与中，
∴
∴，
∴F为中点．
由题可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵E，F分别为，的中点，
∴，，
∴；
故选：D．
5．解:已知菱形，对角线互相垂直平分，
∴，在中，
∵，，
∴根据勾股定理得，
∵，
∴，
在中，，
即菱形的边长为，
∵点F为的中点，点O为中点，
∴ ．
故选：B
6．解：A、为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形此，故选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
D、，
平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．解：连接，如图所示，交y轴于点D．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B的坐标为，
如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵，
∴点B向右平移(即)到点．
∵B的坐标为，
∴的坐标为．
故选：C．
8．解：设菱形的高为，如图所示，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴是直角三角形，
∴，
∴菱形的面积，
即菱形的面积为：，
∴菱形的高．
故答案为：24，．
9．解：设，
∵菱形，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：．
10．解：如图，设交于点O．
由作图可知：，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形，
，，
在中，，
，
．
故答案为：8．
11．解：四边形是菱形，点和分别是边和上的动点，
当点与重合，点与点重合时，线段的最大值是，
当时，最小值是，
如图所示，过点作延长线于，
∵四边形是菱形，
∴，
当点与重合，点与点重合时，线段的最大值是，即，
当时，最小值是，
∴（是边上的高），且，
∴
在中，，，
∴，
设，则，
在中，，即，解得，，
∴，
故答案为：．
12．解：连接，交于点，过作，且，连接．
四边形是平行四边形，
，
，
即的最小值为，
四边形是菱形，，
，
又，
在中，，
，
，
在中，，
，
即的最小值为，
故答案为：．
13．解：在 中，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．解：延长交于点，如图所示：
在菱形中，，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
菱形的周长为20，
，
菱形面积为48，即，
，
，
故答案为：．
15．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
由对称性可得，
∴，即，
∴四边形是菱形；
16．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵点E、F分别是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，连接交于O，
∵点E、F分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，即，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴菱形的面积为，
∴菱形的面积为96．
17．（1）解：四边形是菱形，
∴，
∵，
是等边三角形，又是线段的中点，
，，
，
的面积；
（2）如图2，作交于，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
18．（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵经过且垂直于，
∴是对角线的垂直平分线，
，
四边形为菱形；
（2）解：过作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
菱形的面积为：．
19．（1）证明：在菱形中，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）证明：如下图所示，过点B作，交的延长线于点H，
又由（1）可知，
∴，
∵，点G是的中点，
∴，，，
∴,
∵在和中，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
即．
20．（1）证明：连接交于，连接，如图：
垂直平分，
，
四边形是菱形，
，，
垂直平分，
，
；
（2）解：如图所示，连接交于，连接，
，的中点分别为，，为中点，
，，
，
当与菱形对角线交点重合时，最小，最小值为的长，即此时最小，最小值为，
四边形为菱形，
，
又，
是等边三角形，，
最小为．
（3）解：，理由如下：
延长交于，如图：
，，
，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
．