北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定 同步练习题（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，在下列条件中不能判定为矩形的是（ ）
A．AB∥CD AD∥BC 且AC⊥BD B．∠A=∠C ∠B=∠D 且AC=BD
C．AB∥CD AB=CD 且AB⊥BC D．OA=OB=OC=OD
2．如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为4，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A． B． C． D．
4．四边形具有不稳定性，如图，挤压矩形，会产生变形，得到四边形，下列结论错误的是（ ）
A．四边形是平行四边形 B．四边形与矩形的面积相同
C． D．四边形与矩形的周长相同
5．如图，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点F在CD上，且DF＝5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
7．如图，在矩形中，交于点，点在上，连接交于点，且，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．矩形的面积为12cm2，一边长为4cm，那么矩形的对角线长是________cm．
9．如图，矩形ABCD中，EF⊥EB，EF=EB，矩形ABCD的周长为22，CE=3，则BF=_____________．
10．如图，矩形的对角线、相交于点，平分交于点，连接，若，，则的长为______．
11．如图，长方形中，为的中点，将沿直线折叠时点落在点处，连接，若，则______度．
12．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作EF//BC，分别交，于点，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，矩形 中，，，为的中点，为边上一点，若是腰长为5的等腰三角形时，则所有满足条件的点的坐标为_________________________．
14．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.
三、解答题
15．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点在边上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
16．如图，长方形纸片中，，，点、分别在边和边上，连接，将纸片沿折叠．
(1)如图（1），若点落在边的延长线上的点处，求证：；
(2)如图（2），若点落在边的中点处，求的长．
17．如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的面积．
18．如图，矩形的对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求：
①的长；
②菱形的面积．
19．已知，在长方形纸片中，，．将纸片沿对角线翻折，点C落在点E处，交于点F．
(1)如图1，连结．
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，将沿翻折回去，则点F正好落在边G处，连结，求的长．
20．如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，连接BE，
(1)当时，BE与AC交于点P，
①求证：；
②连接CD，求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，当时，连接CD，过点A作，垂足为M，交CD于点N．求证：．
参考答案：
1．解：A、由AB∥CD AD∥BC 得四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，可知四边形ABCD是菱形，故符合题意；
B、由∠A=∠C ∠B=∠D 得四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，可知四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
C、由AB∥CD AB=CD 得四边形ABCD是平行四边形，又AB⊥BC，可知四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D、OA=OB=OC=OD，可知四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝8，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝8，
∵DE＝5，
∴CE＝CD DE＝3，
∵矩形ABCD沿AE所在直线折叠，
∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝5，
在Rt△CEF中，，
设BF＝x，则AF＝AD＝BC＝BF＋CF＝x＋4，
在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，
即82＋x2＝（x＋4）2，
解得：x＝6，
∴AF＝x＋4＝10，故B正确．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形，
∴∠ABC=∠A=∠C=90°，AD=BC，DE=BF，OE=OF，EF⊥BD，∠EBO=FBO，
∴AE=FC．
又EF=AE+FC，
∴EF=2AE=2CF，
又EF=2OE=2OF，
∴AE=OE，
在Rt△ABE和Rt△OBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△OBE（HL），
∴∠ABE=∠OBE，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE=2AE，
BE2=AB2+AE2，即(2AE)2=42+AE2，
∴AE==，
BE=，
∴BF=BE=，
∴CF=AE=，
∴BC=BF+CF=4，
故选：C．
4．解：由图形可知矩形，会产生变形，但．
在矩形中： ,
∴
∴四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边大小没变
∴四边形比矩形的面积小了，故B选项不正确，符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
∵四边形变成四边形的过程中每条边的长度没变，
∴周长没变，故D选项正确，不符合题意；
故选：B．
5．解：如图所示：当点E与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于EG中点；
当点E'与C点重合时，点M'位于AC中点，点N'位于E'G中点；
∵M是AB的中点，M'是AC的中点，N是EG的中点，N'是E'G中点，
∴MM'、NN'分别是△ABC、△GBC的中位线，
∴MM'∥BC且MM'＝BC，NN'∥BC且NN'＝BC，
∴四边形MM'N'N为平行四边形，
∴MN扫过的区域为平行四边形MM'N'N，
∴S＝N'N·（BM－CN'）＝BC·（AB﹣GC）＝×12×（×9﹣×4）＝15，
故选：C．
6．解：如图，连接AP，
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
7．解：连接交于点，连接，令交于点，
，
，
又四边形是矩形，
，，，
是的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
设，
则，
，，
，
，
在中，，
又，
，
四边形是矩形，
，
，
解得：，
，
故选：A．
8．解：与4cm边垂直的边的长度为12÷4=3cm
故矩形对角线的长度为cm
故答案为：5．
9．解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
设，则，
矩形的周长为22，
，
解得，
，
，
故答案为：．
10．解:四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是的中位线，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：．
11．解：四边形是长方形，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
；
故答案为．
12．解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，即，
，
，
故答案为：
13．解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，
∵D为OA的中点，
∴OD＝AD＝5，
①当OP＝OD＝5时，如图1所示：
则，
∴点P的坐标为：（3，4）；
②当DP＝DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED＝90°，；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE＝5 3＝2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE＝5＋3＝8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（3，4），（2，4）或（8，4）；
故答案为：（3，4），（2，4）或（8，4）．
14．解：如图，过点M作MHBC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在和中，，
∴（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH＋FH＝CP，
∵在平行四边形ABCD中，AD＝10，，
∴BC＝AD＝10，平行四边形ABCD是矩形，
∴BP＝BC＝10，
在Rt中，AP＝，
∴PD＝AD AP＝10 6＝4，
∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，
∴在Rt中，CP＝，
∴EF＝CP＝，
故答案为：．
15．（1）证明：∵四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形是矩形，
∵四边形是菱形，
，
，
是的中点，
在中，，
．
16．（1）证明：四边形是矩形，
，
，
将纸片沿折叠，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，
是的中点，
，
由折叠的性质可知：，
设，
，
，
解得，
．
17．（1）证明：连接，交于点，
∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵在矩形中，，，
∴，
∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，
∴，
在中，，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴，
∴四边形的面积．
18．（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：①∵四边形是矩形，点O为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
②∵四边形是菱形，，
∴菱形的面积．
19．（1）解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质知，，
∴；
在与中，
∴，
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）设，则
在中，
∴
∴
∴
在中，
∵将沿翻折回去，则点F正好落在边G处，，
∴垂直平分，
∴，
∵
∴
∴四边形为菱形，
∴
∴
∴
20．（1）证明：①∵将绕点A顺时针旋转得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图所示：
∵将绕点A顺时针旋转得到，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）延长交延长线于G，过点B作的延长线于点F，如图所示：
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴， ，四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．