人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 单元练习卷（含解析）

第二十一章 一元二次方程单元练习卷
时间：90分钟 分值：120分 得分：
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 若，，满足，则关于的方程的解是( )
A. ， B. ， C. ， D. 无实数根
3. 将方程化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是( )
A. B. C. D.
4. 已知是方程的一个根，则代数式的值为( )
A. B. C. D. 或
5. 若方程中，，，满足和，则方程的根是( )
A. ， B. ， C. ， D. 无法确定
6. 对于实数、定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
7. 设是一元二次方程的两根，则．( )
A. B. C. D.
8. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
9. 关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
12. 若，是方程的两个根，且 ，则的值为
13. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的宽度应是，列方程得：
14. 定义符号的含义为：当时，，当时，，如：，则方程的解是 ．
15. 如图，在中，，，为边上的高，动点从点出发，沿方向以的速度向点运动设的面积为，矩形的面积为，运动时间为，则 时，．
三、计算题（本大题共3小题，共15分）
16. 用适当的方法解下列方程：
； ． (3)x ＋12x＋27＝0；
四、解答题（本大题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题10分已知关于的方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．
本小题10分某公司设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每提高元，每天就减少售出件，但要求销售单价不得超过元．
若销售单价为每件元，求每天的销售利润；
要使每天销售这种工艺品盈利元，那么每件工艺品售价应为多少元？
19. 本小题10分如图，要利用一面墙墙长为米建羊圈，用米的围栏围成面积和为平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为多少．
20. 本小题10分某超市以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求与之间的函数关系式；
当每千克干果降价元时，超市获利多少元？
若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
（10分）已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若此方程的两实数根，满足，求的值．
22. 本小题10分如图，已知，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．问：
，两点出发多长时间后，四边形的面积是？
，两点出发多长时间后，点与点之间的距离是？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程；
B、是一元一次方程；
C、是二元一次方程；
D、不是一元二次方程．
故选：．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程逐项进行排查即可．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．分别把或代入方程可得到和，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
【解答】
解：当时，，
当时，，
所以关于的方程的解为或．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：方程整理得：，其中一次项系数为，
故选：．
方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4.【答案】
【解析】
【分析】把一元二次方程中的换成，变形即得答案．
【解答】解：是方程的一个根，
，
，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．分别把或代入方程可得到和，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
【解答】
解：当时，，
当时，，
所以方程的根分别为或．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据新定义列出方程，再利用根的判别式判断即可．
【解答】
解：实数，定义运算为，
可化为，
整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是元一次方程的两根，，．
【解答】
解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
故选：．

8.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
，
则，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
，
，
把代入得：，
解得：，此时，符合题意，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，本题可设长为，宽为，再根据面积公式列出方程，化简即可．
【解答】
依题意得：，
即，
化简为：，
即．
故选B．
11.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
的一元二次方程
，
的取值范围是：且．
故答案为：且．
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且，则可求得的取值范围．
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
12.【答案】
【解析】解：，是方程的两个根，
，，
，即，
解得，，
方程有两个实数根，
，
解得，
．
故答案为．
本题考查根与系数的关系以及根的判别式．
根据根与系数的关系结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据方程有实数根即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，从而确定的值，此题得解．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形面积公式列方程即可．
【解答】
解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：．
故答案为：．

14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查新定义，解一元二次方程，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型，根据新定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】
解：当时，即，
此时，
解得：，
，
；
当时，即，
此时，
解得：，
，
，
故答案为：或．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积和等腰三角形的性质，属于基础题．
先得出结合三角形的面积公式结合题意，列出方程，解得方程即可得出结果．
【解答】
解：在中， ，，为边上的高，
．
又，
，．
易知，
．
，
解得舍去，．

16.【答案】解：，
，
则或，
解得，．
，
，
则，
或，
解得，．
【解析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】证明：，
方程为一元二次方程，
，
此方程总有两个不相等的实数根；
，
，，
方程的两个实数根都是整数，且是整数，
或．
【解析】由于，则计算判别式的值得到，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；
先利用求根公式得到，，然后利用有理数的整除性确定整数的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
18.【答案】解：元．
答：每天的销售利润为元．
设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件工艺品售价应为元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可求出结论；
设每件工艺品售价为元，则每天的销售量是件，根据每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
19.【答案】解：设羊圈边长为米，则为．
依题意有，
化简可得：，
，
，或，
，，
当长为时，为，
当长为时，为，
墙长，
为不合题意
为，为．

【解析】见答案
20.【答案】解：设一次函数解析式为：，
把，代入上式，
得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
解：根据题意得，时销售量，
元，
答：当每干克干果降价元时，超市获利元
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
让顾客得到更大的实惠，
，
答：商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．
设一次函数解析式为：由题意得出：把，代入，得出方程组，解方程组即可；
先求出销售量，再求出对应的利润即可；
由题意得出方程 ，解方程即可．
21.【答案】解：根据题意得，
解得；
根据根与系数的关系得，，
，
，
解得，
，
．
故的值是．
【解析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
利用根与系数的关系得到，，再利用得到，接着解关于的方程，然后利用的范围确定满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：一元二次方程的两根分别为，，则，也考查了根的判别式．
22. 【答案】解：设、两点从出发开始秒时，四边形的面积是，则，，，
根据题意，得，解得．
、两点从出发开始秒时，四边形的面积为．
设、两点从出发开始秒时，点、点间的距离为，
过点作，交于点，则，，，如图所示．
根据勾股定理，得，
化简，得，
解得，．
、两点从出发开始秒或秒时，点与点间的距离为．

【解析】见答案