(共39张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
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01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义． 1.数学抽象：向量加法的概念及几何意义．
2.直观想象：向量加法的三角形法则与平行四边形法则．
3.数学运算、逻辑推理：向量加法的运算法则及运算律．
1．向量加法的定义及运算法则
(1)定义：求__________的运算，叫做向量的加法．
两个向量和
(2)运算法则
a＋b
a＋0
0＋a
a
方向相同
2.向量加法的运算律
交换律 结合律
a＋b＝______ (a＋b)＋c＝______________
b＋a
a＋(b＋c)
1．向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗？
提示：相同．
2．向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？
提示：求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
3．平行四边形法则中，求和的两个向量的起点与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？
提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．
√
×
√
√
2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，
c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
√
√
√
探究点1 向量的加法运算及其几何意义
[问题探究]
向量相加满足三角形法则与平行四边形法则，多个向量相加的法则是什么？
探究感悟：为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和．
如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
[注意] (1)使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
下面各图中，已知向量a，b，求作向量a＋b.
√
√
√
向量加法运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
探究点3 向量加法的实际应用
在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
【解】 作出图形，如图．设船速v船与岸的方向成α角，由图可知
v水＋v船＝v实际，结合已知条件可知，四边形AB-CD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题．
√
√
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第六章 平面向量及其应用
6．2.2 向量的减法运算
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学习指导 核心素养
通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义． 1.数学抽象：相反向量的概念及向量减法的概念的理解．
2.直观想象：向量减法的几何意义．
1．相反向量
定义 与向量a长度____，方向____的向量，叫做a的相反向量，记作____
规定 零向量的相反向量仍是零向量
结论 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝__
a＋(－a)＝(－a)＋a＝__
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝__
相等
相反
－a
a
0
0
相反向量
终点
终点
1．相反向量的两个要素是什么？
提示：方向相反，长度相等．
2．移项法则对向量等式适用吗？即若a－c＝b－d，则a＋d＝c＋b成立吗？
提示：成立，移项法则对向量等式适用．
×
√
√
√
√
√
√
探究点1 向量减法运算及其几何意义
[问题探究]
向量的减法是加法的逆运算，向量减法三角形法则是什么？
探究感悟：使两向量的起点移到同一点，这时连接两个向量的终点并指向被减向量的终点的向量即为两个向量的差．
如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
求作两个向量的差向量的2种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，并指向被减向量的终点的向量．
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量和、差式的化简技巧
①如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．
②可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．
③化简向量的差时，注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点．
探究点4 向量形式的三角不等式
[问题探究]
上节学习了“对于向量a，b满足|a＋b|≤|a|＋|b|，且当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.”试想对于a，b，|a－b|，|a|＋|b|的大小关系是什么？
探究感悟：|a－b|≤|a|＋|b|且当a与b反向时，|a－b|＝|a|＋|b|.
当向量a，b不共线时，向量a，b对应的线段分别与向量a＋b，a－b对应的线段构成三角形，由“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可以得到||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.
若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为____________，|a－b|的最大值为____________．
解析：由向量形式的三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|可知，当这两个向量方向相反时，|a＋b|取得最小值7，|a－b|取得最大值17.
答案：7 17
√
√
√
√
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数学
第六章 平面向量及其应用
6．2.3 向量的数乘运算
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应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.通过实例，掌握向量数乘的运算，理解其几何意义及两个向量共线的含义．
2.了解向量的线性运算性质及其几何意义． 1.数学抽象：由教材实例抽象出向量数乘的概念．
2.数学运算：向量数乘的运算律及其向量的线性运算．
3.逻辑推理：利用向量共线定理解决具体问题．
1．向量数乘的定义
文字表述 规定实数λ与向量a的积是一个____，这种运算叫做向量的数乘，记作____
规定 长度 |λa|＝_________
方向 当λ>0时，λa的方向与a的方向____
当λ<0时，λa的方向与a的方向____
当λ＝0时，λa＝__
向量
λa
|λ||a|
相同
相反
0
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝__________．
(2)(λ＋μ)a＝__________．
(3)λ(a＋b)＝__________．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3．向量的线性运算
(1)定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是____．
(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝______________．
4．两个向量共线的充要条件
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．
向量
λμ1a±λμ2b
b＝λa
1．实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？
提示：不能进行加减，像a＋λ，a－λ(λ为实数)都是没有意义的．
2．两个向量共线的充要条件中的“a≠0”是否可以去掉？
提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，λ存在，但不唯一，若a＝0，b≠0，则λ不存在．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．( )
(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．( )
(3)若ma＝mb，则a＝b.( )
(4)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( )
√
√
×
×
2．(多选)下列各式计算正确的有( )
A．(－7)×6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
√
√
√
√
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地使用运算律，可以简化运算．
√
2．设a＝e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝5e1＋4e2，c＝xa＋yb，则x＋y＝____________．
解析：因为c＝xa＋yb＝x(e1－e2)＋y(e1＋2e2)＝(x＋y)e1＋(－x＋2y)e2，又c＝5e1＋4e2，所以x＋y＝5.
答案：5
用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
√
1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
解析：因为a＋b＝3e1－e2，所以c＝－2(a＋b)，所以a＋b与c共线．
故选B.
√
√
1．已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；
|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；
当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
√
√
3．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝____________，2a－3b＝____________．
解析：因为a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，
所以a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2，
2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2.
答案：3e1－e2 e1＋3e2 e1＋8e2
4．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb).所以k＝8λ，2＝λk.解得k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0，所以k＜0).
答案：－4
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数学
第六章 平面向量及其应用
6．2.4 向量的数量积
第2课时 向量的数量积(二)
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1．向量数量积的运算律
(1)a·b＝______(交换律).
(2)(λa)·b＝________＝____________(结合律).
(3)(a＋b)·c＝______________(分配律).
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
2．数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
1．若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c一定成立吗？
提示：不一定成立．在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则a·(b－c)＝0(a≠0)，于是有b＝c或a⊥(b－c).因此，由a·b＝a·c(a≠0)不一定能得到b＝c.
2．a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
提示：不成立，a·(b·c)是与a共线的向量，(a·b)·c是与c共线的向量．
√
√
×
2．已知|a|＝6，|b|＝4，向量a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．72 B．－72
C．36 D．－36
3．已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a⊥b D．a∥b
√
√
【解】 (1)(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192.
根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算，再利用数量积的定义求解．
√
√
√
探究点3 向量的夹角与垂直
[问题探究]
两个非零向量a与b垂直的充要条件是什么？
探究感悟：两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0.
(变条件)若本例(2)的条件变为“|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为45°”，则a＋b与a－b的夹角的余弦值为________．
√
√
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
√
√
√
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数学
第六章 平面向量及其应用
6．2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积(一)
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学习指导 核心素养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算．
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1.数学抽象：平面向量概念的理解．
2.直观想象：平面向量的夹角及向量投影的概念．
3.数学运算：平面向量数量积的运算及运算律．
4.逻辑推理：利用向量的数量积解决相应的问题．
同向
反向
垂直
a⊥b
2.向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为__．
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
|a|cos θ e
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
1．向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
提示：两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定，而向量的加减运算和向量的数乘运算的结果仍是向量．
2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？
提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)a，b共线 a·b＝|a||b|.( )
×
×
×
√
√
4．已知向量a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若a∥b，则a·b＝________；
(2)若a⊥b，则a·b＝________．
答案：(1)6或－6 (2)0
探究点1 向量的夹角
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？
a－b与a的夹角又是多少？
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
几何图形中数量积的计算方法
(1)明确图形中模和夹角已知的向量，并从中选定两个不共线的向量．
(2)利用图形的几何性质，结合向量的线性运算，将所求式中的向量用选定的两个模和夹角已知的不共线的两个向量来表示．
(3)代入所求向量式，利用定义法a·b＝|a||b|cos θ求数量积．
[注意] 书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°.
√
投影向量的求解策略
求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键，确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”．
√
√
√
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