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数学
第六章 平面向量及其应用
6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.掌握平面向量数量积的坐标表示．
2.会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 1.数学运算：平面向量数量积的坐标运算及求向量的模及夹角．
2.逻辑推理：利用向量证明垂直问题．
1．平面向量数量积的坐标表示
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝________________
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的________
x1x2＋y1y2
乘积的和
x1x2＋y1y2＝0
1．向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？
提示：公式的特点是对应坐标相乘后再求和，在解题时要注意坐标的顺序．
2．向量的数量积有两种计算形式，应如何选择？
提示：知道向量的模和夹角时用a·b＝|a||b|cos θ，知道向量的坐标时用
a·b＝x1x2＋y1y2.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1y2－x2y1＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( )
×
×
×
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
3．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则x＝( )
A．1 B．2
C．4 D．－4
√
√
探究点1 向量数量积的坐标运算
(1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
√
关于向量数量积的运算
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系．
(2)向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法，另一种是坐标法，两者相互补充．如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法．
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．3 B．0
C．－3 D．－11
解析：依题意可知，
a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，
所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
√
√
√
探究点3 平面向量的夹角(垂直)
[问题探究]
非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角θ的范围与向量数量积的坐标运算的关系是什么？
探究感悟：(1)当θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)当θ为直角 x1x2＋y1y2＝0；
(3)当θ为钝角或平角 x1x2＋y1y2<0.
已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
√
1．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于( )
A．11 B．5
C．－14 D．10
解析：a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3).
所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A.
√
√
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第六章 平面向量及其应用
6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2.会用坐标表示平面向量的加、减运算． 1.数学抽象：平面向量的正交分解及平面向量坐标的定义．
2.数学运算：平面向量坐标的加、减运算．
1．平面向量坐标的相关概念
2．平面向量加、减运算的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表：
和
(x1＋x2，y1＋y2)
差
(x1－x2，y1－y2)
终点
起点
1．正交分解与平面向量基本定理有何联系？
提示：正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直).
2．向量坐标与点的坐标的区别是什么？
提示：意义不同．点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点的坐标与向量的坐标相同．( )
(2)零向量的坐标是(0，0).( )
(3)相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( )
(4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
×
√
√
√
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝( )
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，0) D．(4，3)
√
√
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
1．如图，{e1，e2}是一个基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
解析：因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3).
√
√
平面向量加、减坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．
√
探究点3 向量坐标运算的综合应用
[问题探究]
两向量相等的条件是方向相同，大小相等，坐标形式下向量相等的条件又是什么？
探究感悟：相等向量的对应坐标相等．
(变条件)将本例条件改为“已知平面上三个点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，且A，B，C，D四点构成平行四边形”，求点D的坐标．
关于向量加减坐标运算的应用
(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b x1＝x2，且y1＝y2.
(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则．
√
1．已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
解析：b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).
√
√
√
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数学
第六章 平面向量及其应用
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算．
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1.数学运算：平面向量坐标的数乘运算．
2.逻辑推理：平面向量共线的判定．
1．平面向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝______________
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________
相应坐标
(λx，λy)
2.平面向量共线的坐标表示
条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是__________________
x1y2－x2y1＝0
把x1y2－x2y1＝0写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0可以吗？怎样记忆此公式的表达形式？
提示：写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.( )
√
√
2．已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)且a∥b，则x＝( )
A．9 B．6
C．5 D．3
√
3．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________．
答案：(5，7)
4．已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．
答案：(－1，3)
√
向量数乘坐标运算的三个关注点
(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用；
(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题；
(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
√
解析：A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
所以a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a∥b，故选D.
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3).
因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，解得λ＝2.
答案：2
探究点3 向量共线的应用
[问题探究]
证明三点共线可利用向量法，其实质是什么？
探究感悟：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
判断向量(或三点)共线的3个步骤
√
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析：由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，
解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
√
√
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第六章 平面向量及其应用
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
了解平面向量基本定理及其意义． 1.数学抽象：平面向量基本定理的含义及基底的含义．
2.逻辑推理：平面向量基本定理的推导及应用．
平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个__________
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使___________________
基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线向量
a＝λ1e1＋λ2e2
1．如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
2．平面向量的基底是唯一的吗？
提示：不是．平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任一向量都可以用这一个基底唯一表示．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基底中的向量不能为零向量．( )
(2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( )
√
×
√
√
2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2
√
√
√
√
【解析】 由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．
平面向量基本定理的四个要点
(1)不共线的向量e1，e2.
(2)平面内的任意向量a.
(3)存在唯一一对实数λ1，λ2.
(4)a＝λ1e1＋λ2e2.
1．设{e1，e2}表示平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－2e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2－2e1 D．e2和e1＋e2
解析：因为B中－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)，所以两向量为共线向量，不能作为一组基底．
√
√
√
用基底表示向量的两种方法
(1)线性运算法
运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，找到已知向量和未知向量的关系．
(2)待定系数法
首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式，然后通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求待定系数．
探究点3 平面向量基本定理的应用
[问题探究]
如果题目需要我们自己选择基底，选择的标准是什么呢？
探究感悟：尽量选择知道长度和夹角的两个不共线向量作为基底，这样便于计算．
如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量为基底；
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解；
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
1．如果{a，b}是一个基底，则下列选项不能作为基底的是( )
A．a＋b与a－b B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b D．a与－b
解析：由题意知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b和－a－b共线，不能作为基底．
√
√
请做：应用案 巩固提升
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