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数学
第六章 平面向量及其应用
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．
2.掌握正弦定理． 1.逻辑推理：正弦定理的推导．
2.数学运算：利用正弦定理求解三角形的边、角等问题．
1．正弦定理
正弦
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于直角三角形．( )
(2)在△ABC中必有a sin A＝b sinB．( )
(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sinB．( )
(4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.( )
×
×
√
√
√
√
探究点1 已知两角及一边解三角形
[问题探究]
在三角形中，若已知两角及一边，三角形确定吗？
探究感悟：确定．已知两角，三角形的三个角就都知道了，再知道一边，三角形就确定了．
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
√
探究点2 已知两边及其中一边的对角解三角形
[问题探究]
已知三角形的两角及一边可用正弦定理求解，正弦定理还可解决哪类三角形？
探究感悟：已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求另一边及另两角．
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
(3)如果已知的角为小边所对的角，不能判断另一边所对的角为锐角时，这时要根据正弦值分类讨论．
√
√
已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
√
判断三角形形状的两种途径
[注意] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
√
√
√
√
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数学
第六章 平面向量及其应用
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 1.数学抽象：理解实际测量中的有关名称、术语．
2.数学建模、数学运算：利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题．
1．基线
在测量过程中，把根据测量的需要而确定的线段叫做____．基线越长，测量的精确度越__．
基线
高
2．实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
名称 定义 图示
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
√
×
×
√
2．若P在Q的北偏东37°方向上，则Q在P的( )
A．东偏北53°方向上 B．北偏东37°方向上
C．南偏西37°方向上 D．南偏西53°方向上
3．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是( )
A．50 n mile B．70 n mile
C．90 n mile D．110 n mile
√
√
4.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.
探究点1 测量距离问题
[问题探究]
测量一个可到达的目标与一个无法到达的目标之间的距离时，利用正弦定理求解需要哪些条件？
探究感悟：选取另外一个目标，并测出该目标与可到达的目标之间的距离，再分别测量这两点与不可到达目标连线与这两点连线的夹角．
求距离问题时的注意点
(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
探究点2 测量高度问题
[问题探究]
测量某一物体的高度时，利用正弦定理求解需要哪些条件？
探究感悟：选取地面上与物体底部在同一直线上的两点，测量选取的两点间的距离，再分别测量在这两点处观测物体顶点的仰角．
如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
测量高度问题的解题思路
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．
测量角度问题的解题思路
1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上
√
解析：由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.
√
3．一艘船自西向东匀速航行，上午9时到达一座灯塔P的南偏西75°、距灯塔32海里的M处，下午1时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为________海里/时．
4.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，先选定适当的位置C，测出∠ACB，再分别测出AC，BC的长，则可求出A，B两点间的距离．若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算A，B两点间的距离．
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数学
第六章 平面向量及其应用
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第4课时 正、余弦定理在几何中的应用
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
通过余弦、正弦定理进一步探索三角形中边与角的关系，掌握三角形的面积公式，灵活运用定理解三角形． 1.数学运算：由正、余弦定理计算三角形的边、角及面积．
2.逻辑推理：三角形的面积公式的简单推导．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( )
(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( )
(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( )
√
×
×
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√
√
√
探究点2 多边形中量的计算
已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
多边形中计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．
解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．
(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
√
√
√
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数学
第六章 平面向量及其应用
6．4 平面向量的应用
6．4.1 平面几何中的向量方法
6．4.2 向量在物理中的应用举例
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程．
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 1.直观想象、逻辑推理：利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2.数学建模、数学运算：利用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
2．向量在物理学中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
如何利用向量研究力、位移、功等物理问题？
提示：力、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等知识来解决；力所做的功的问题一般可以利用两个向量的数量积来处理，如图所示，一物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功为W＝F·s.
√
×
×
√
√
探究点1 向量在几何中的应用
[问题探究]
联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示)，想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路？
探究感悟：两种思路：一种思路是选择一个基底(选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
1.如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
探究点2 向量在物理中的应用
如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
用向量方法解决物理问题的四个步骤
√
√
4.如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
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数学
第六章 平面向量及其应用
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理．
2.能解决一些简单的三角形度量问题． 1.逻辑推理：余弦定理的推导．
2.数学运算：利用余弦定理求解三角形的边、角等问题
平方
平方的和
余弦的积的两倍
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C
2.三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
一般地，三角形的________________和它们的______________叫做三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的________求其他____的过程叫做解三角形．
三个角A，B，C
对边a，b，c
几个元素
元素
1．若已知三角形的三边，能否解此三角形？
提示：能，利用余弦定理的推论．
2．已知三角形的三个角能不能解三角形？
提示：不能．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( )
(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( )
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．( )
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探究点1 已知两边及一角解三角形
[问题探究]
已知三角形的两边及其一角，三角形的其他元素是否唯一确定？
探究感悟：不一定唯一，当已知两边及其夹角时，是唯一的，当已知两边和其中一边的对角时，如已知a，b，A，可用a2＝b2＋c2－2bc cos A求解c，可能有两解．
√
√
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
√
√
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题．
√
√
探究点3 判断三角形的形状
[问题探究]
在△ABC中，若a2
探究感悟：当a2整理，得a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
所以a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．
1．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D.
√
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
√
√
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