8.2.1几个函数模型的比较 讲义（含答案）

编号：054 课题: 8.2.1 几个函数模型的比较
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解“指数爆炸”的含义；
2.掌握函数增长速度的差异；
3.掌握函数增长速度的比较；
4.理解并掌握函数增长速度的应用．
本节重点难点
重点：函数增长速度的比较；
难点：函数增长速度的应用．
学科素养目标
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
1.“指数爆炸”的含义:
指数函数随着x的增大
a>1时 y______,且增大的速度越来越_____,呈“__________”的趋势
02.三种函数的增长速度的比较
对于指数函数,幂函数和对数函数,当x足够大时,总有_____________.
(1)本质:通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的
差异.
(2)应用:根据现实的增长情况,选择合适的函数模型刻画其变化规律.
【思考】
在三种函数增长关系的结论中,怎样理解“总会存在一个x0”
【课前基础演练】
题1. 向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为( )
题2．以下四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
题3．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A.y＝2t2 B．y＝2t
C．y＝log2t D．y＝t3
题4．对于表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是( )
x 1 2 3
y 3 5.99 12.01
A．y＝3×2x－1 B．y＝log2x
C．y＝3x D．y＝x2
题5．植物研究者在研究某种植物1～5年内的植株高度时，将得到的数据用散点图直观表示．现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1～5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是( )
A.y＝kax＋b(k＞0，a＞0，且a≠1)
B．y＝klogax＋b(k＞0，a＞0，且a≠1)
C．y＝＋b(k＞0)
D．y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
题6．四个变量y1，y2，y3，y4，随变量x变化的数据如表：
x 1 2 4 6 8 10 12
y1 16 29 55 81 107 133 159
y2 1 9 82 735 6 567 59 055 531 447
y3 1 8 64 216 512 1 000 1 728
y4 2.000 3.710 5.419 6.419 7.129 7.679 8.129
其中关于x近似呈指数增长的变量是( )
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
题7(多选题)．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
题8(多选题)．能使不等式log2xA．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，2) D．(4，＋∞)
题9．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到表中的实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
题10．若已知16题11．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
【课堂检测达标】
题12. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)( )
A．y＝ax2＋bx
B．y＝kx＋b
C．y＝logax＋b(a>0且a≠1)
D．y＝ax＋b(a>0且a≠1)
题13．现在已经进入大数据时代，目前，数据已经从TB(1 TB＝1 024 GB)级别跃升到PB(1 PB＝1 024 TB)，EB(1 EB＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别，国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年全球产生的数据量为0.8 ZB，2010年全球产生的数据量为1.2 ZB，2011年全球产生的数据量为1.82 ZB，而到了2020年全球产生的数据量是2011年的44倍，为了较好地描述2008年起产生的数据量与时间x(单位：年)的关系，根据数据信息，选出你认为拟合程度最好的函数模型是( )
A．g(x)＝kx＋b B．g(x)＝a·bx
C．g(x)＝klogax＋b D．g(x)＝＋b
题14(多选题).某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )
题15(多选题)．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0，a≠1)的图象．有以下说法，其中正确的说法是( )
A.第4个月时，剩留量就会低于
B．每月减少的有害物质质量都相等
C．污染物每月的衰减率为
D．当剩留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
题16．通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是(只需写出序号即可)________．
题17．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则a＋b＝________，此厂3月份该产品的产量为________万件．
题18．若不等式3x2题19．函数f(x)＝2x和g(x)＝3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数的图象，比较f(3)，g(3), f(2 023)，g(2 023)的大小．
【综合突破拔高】
题20. 下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 022x B．y＝1.2x C．y＝log1.2x D．y＝2 022
题21．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －1.01 0.01 0.98 2.00
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x
题22．高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
题23．某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是图中的( )
题24．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
题25．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2x B．y＝1 000x＋50
C．y＝x100 D．y＝log100x
题26(多选题)．如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用).由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：
建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是( )
A．①反映了建议(1) B．②反映了建议(2)
C．③反映了建议(2) D．④反映了建议(1)
题27(多选题)．当a>1时，下列结论正确的是( )
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快
题28．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/(100 kg))与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t(单位：天) 60 100 180
种植成本Q(单位：元/(100 kg)) 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/(100 kg).
题29．有一架两臂不等长(左臂长于右臂)的天平，将5 g的砝码放在右盘时，将某种粉末a g放在左盘可使天平平衡；将5 g的砝码放在左盘时，将该粉末b g放在右盘也可使天平平衡，则a＋b________10(填“>”“＝”或“<”).将该粉末(a+b)g放在左盘，右盘放12 g砝码时，天平恰好平衡．用这架天平称重时，砝码放在右盘，则物体的实际质量y(g)与砝码的质量x(g)的函数关系式为________．(不考虑定义域)
题30．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，
(1)为使日利润有所增加，求x的取值范围；
(2)当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润．
编号：054 课题: 8.2.1 几个函数模型的比较
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解“指数爆炸”的含义；
2.掌握函数增长速度的差异；
3.掌握函数增长速度的比较；
4.理解并掌握函数增长速度的应用．
本节重点难点
重点：函数增长速度的比较；
难点：函数增长速度的应用．
学科素养目标
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
1.“指数爆炸”的含义:
指数函数随着x的增大
a>1时 y__增大___,且增大的速度越来越__快_,呈“__爆炸___”的趋势
02.三种函数的增长速度的比较
对于指数函数,幂函数和对数函数,当x足够大时,总有____.
(1)本质:通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的
差异.
(2)应用:根据现实的增长情况,选择合适的函数模型刻画其变化规律.
【思考】
在三种函数增长关系的结论中,怎样理解“总会存在一个x0”
提示:因为三种函数增长速度不同,当自变量逐渐增大时,三种函数以不同的速度增加.使函数值相等的值可视为临界点就是x0,因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一,比x0大的任意一个实数也可以作为x0.
【课前基础演练】
题1. 向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为( )
【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长，后不变，符合B中容器的形状．
题2．以下四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
【解析】选D.对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B、C，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．
题3．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A.y＝2t2 B．y＝2t
C．y＝log2t D．y＝t3
【解析】选C.根据图中的特殊点(2，1)，(4，2)，通过选项可知只有C：y＝log2t满足题意．
题4．对于表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是( )
x 1 2 3
y 3 5.99 12.01
A．y＝3×2x－1 B．y＝log2x
C．y＝3x D．y＝x2
【解析】选A.根据题意，这3组数据可近似为(1，3)，(2，6)，(3，12)；
得到增长速度越来越快，排除B，C；对于选项D，三组数据都不满足，对于选项A，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好．
题5．植物研究者在研究某种植物1～5年内的植株高度时，将得到的数据用散点图直观表示．现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1～5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是( )
A.y＝kax＋b(k＞0，a＞0，且a≠1)
B．y＝klogax＋b(k＞0，a＞0，且a≠1)
C．y＝＋b(k＞0)
D．y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
【解析】选B.由散点图可知函数单调递增，但是趋于平缓，选项A：若a∈(0，1)，则它在(0，＋∞)上递减，a∈(1，＋∞)，它在(0，＋∞)上递增且递增速率变大，故A错误；选项B：若a∈(0，1)，则它在(0，＋∞)上递减，若a∈(1，＋∞)，它在(0，＋∞)上递增且递增速率变小，B正确；选项C：当k＞0时，(0，＋∞)上递减，C错误；选项D：当a＞0时，它开口向上，与散点图不相符，D错误．
题6．四个变量y1，y2，y3，y4，随变量x变化的数据如表：
x 1 2 4 6 8 10 12
y1 16 29 55 81 107 133 159
y2 1 9 82 735 6 567 59 055 531 447
y3 1 8 64 216 512 1 000 1 728
y4 2.000 3.710 5.419 6.419 7.129 7.679 8.129
其中关于x近似呈指数增长的变量是( )
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
【解析】选B.根据表格中的数据，四个变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，符合指数函数的增长特点．
题7(多选题)．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【解析】选BD.在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，故y＝x，D正确．
题8(多选题)．能使不等式log2xA．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，2) D．(4，＋∞)
【解析】选CD.作出y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，由图象可知，当04时，log2x题9．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到表中的实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
【解析】画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.
答案：④
题10．若已知16【解析】作出f(x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示：
由图象可知，在(0，4)内，>log2x；
x＝4或x＝16时，＝log2x；
在(4，16)内，log2x.
答案：>log2x
题11．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)【课堂检测达标】
题12. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)( )
A．y＝ax2＋bx
B．y＝kx＋b
C．y＝logax＋b(a>0且a≠1)
D．y＝ax＋b(a>0且a≠1)
【解析】选A.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销量最多，然后向两边递减，所以用y＝ax2＋bx来模拟比较合适，故选项A正确．而B，C，D选项表示的函数在区间[0.5,8]上是单调函数，所以不合适．
题13．现在已经进入大数据时代，目前，数据已经从TB(1 TB＝1 024 GB)级别跃升到PB(1 PB＝1 024 TB)，EB(1 EB＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别，国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年全球产生的数据量为0.8 ZB，2010年全球产生的数据量为1.2 ZB，2011年全球产生的数据量为1.82 ZB，而到了2020年全球产生的数据量是2011年的44倍，为了较好地描述2008年起产生的数据量与时间x(单位：年)的关系，根据数据信息，选出你认为拟合程度最好的函数模型是( )
A．g(x)＝kx＋b B．g(x)＝a·bx
C．g(x)＝klogax＋b D．g(x)＝＋b
【解析】选B.由已知列出年份，年份代码，数据量如表：
年份 2008 2009 2010 2011 2020
年份代码(x) 1 2 3 4 13
数据量g(x) 0.49 0.8 1.2 1.82 80.08
画出散点图如图，由散点图可知数据量随年份的增加而增加，且增加的速度越来越快，故拟合程度最好的函数模型为g(x)＝a·bx.
题14(多选题).某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )
【解析】选BCD.由题图知，当t＝6时，C(t)＝0，故C不正确；当t＝12时，C(t)＝10，故D不正确；在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃，故B不正确．
题15(多选题)．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0，a≠1)的图象．有以下说法，其中正确的说法是( )
A.第4个月时，剩留量就会低于
B．每月减少的有害物质质量都相等
C．污染物每月的衰减率为
D．当剩留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
【解析】选ACD.将代入函数，则＝a2，解得a＝，则y＝，
对A，当t＝4时，y＝，故A正确；
对B，第一个月的减少量为1－，第二个月的减少量为，不相等，故B错误；对C，污染物每月的衰减率为，故C正确；
对D，可得，则，则t1＋t2＝t3，故D正确．
题16．通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是(只需写出序号即可)________．
【解析】根据表格提供数据可知，y随x先变小，后变大，即至少有递减和递增两个过程，而①③对应的函数为单调函数，不符合题意．②为二次函数，有递减和递增两个区间，a>0时，能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系．
答案：②
题17．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则a＋b＝________，此厂3月份该产品的产量为________万件．
【解析】因为y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y＝1.5，则有 解得
所以a＋b＝0，所以y＝－2×0.5x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件).
答案：0 1.75
题18．若不等式3x2【解题指南】原不等式等价于3x2【解析】由题意，知3x21，则函数y＝logax的图象显然在函数y＝3x2图象的下方，所以a>1不成立；
当0所以a≥，所以≤a<1.
综上，a的取值范围是.
题19．函数f(x)＝2x和g(x)＝3x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数的图象，比较f(3)，g(3), f(2 023)，g(2 023)的大小．
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)＝3x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(3)＝8，g(3)＝9，所以f(3)又f(4)＝16，g(4)＝12，所以f(4)>g(4)，所以3从题图可以看出，当x>x2时， f(x)>g(x)，所以f(2 023)>g(2 023).
又g(x)为增函数，所以g(2 023)>g(3)，
所以f(2 023)>g(2 023)>g(3)>f(3).
【综合突破拔高】
题20. 下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 022x B．y＝1.2x C．y＝log1.2x D．y＝2 022
【解析】选B.指数函数的增长速度最快．
题21．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －1.01 0.01 0.98 2.00
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x
【解析】选D.根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；
根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；
由于随着x的增大，y的增长比较缓慢，符合y＝log2x模型．
题22．高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
【解析】选B.根据题意知，函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当h＝0时，体积v＝0，所以函数图象过原点，故排除A，C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的．
题23．某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是图中的( )
【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为1＋8.6%；经过2年森林的蓄积量为(1＋8.6%)2；…；经过x年的森林蓄积量为(1＋8.6%)x(x≥0)，即y＝(108.6%)x(x≥0).
因为底数108.6%大于1，根据指数函数的图象，可知D选项正确．
题24．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
【解析】选C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律．
题25．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2x B．y＝1 000x＋50
C．y＝x100 D．y＝log100x
【解析】选A.根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y＝2x的增长速度最快．
题26(多选题)．如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用).由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：
建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是( )
A．①反映了建议(1) B．②反映了建议(2)
C．③反映了建议(2) D．④反映了建议(1)
【解析】选AC.建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象．故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2).
题27(多选题)．当a>1时，下列结论正确的是( )
A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快
D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快
【解析】选AD.结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．
题28．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/(100 kg))与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t(单位：天) 60 100 180
种植成本Q(单位：元/(100 kg)) 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/(100 kg).
【解析】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝at2＋bt＋c描述．即Q＝a(t－120)2＋m，将表中两组数据(60，116)和(100，84)代入，可得 ，解得 所以Q＝0.01(t－120)2＋80.
故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/(100 kg).
答案：120 80
题29．有一架两臂不等长(左臂长于右臂)的天平，将5 g的砝码放在右盘时，将某种粉末a g放在左盘可使天平平衡；将5 g的砝码放在左盘时，将该粉末b g放在右盘也可使天平平衡，则a＋b________10(填“>”“＝”或“<”).将该粉末(a+b)g放在左盘，右盘放12 g砝码时，天平恰好平衡．用这架天平称重时，砝码放在右盘，则物体的实际质量y(g)与砝码的质量x(g)的函数关系式为________．(不考虑定义域)
【解析】设天平左臂长为c，右臂长为d，且c>d，则ac＝5d，bd＝5c，
所以a＋b＝＝10，因为c>d，所以取不到等号，所以a＋b>10；
由题意yc＝dx，则y＝x，因为ac＝5d，bd＝5c，(a＋b)c＝12d，
则有，所以ab＝25，
所以，解得a＝，所以，所以y＝x.
答案：> y＝x
题30．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，
(1)为使日利润有所增加，求x的取值范围；
(2)当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润．
【解析】(1)由题意得日利润为： ，
若日利润有所增加则y－(60-40)×1 000>0即－4x2＋3x>0解得0(2)由(1)知日利润为 ，
当x＝时，日利润最大，最大日利润是21 125元．