人教A版必修二8.6空间直线、平面的垂直(2) 课堂、课后练习题（含解析）

8.6空间直线、平面的垂直（2）课堂练习
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　)
(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　)
(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.(　　)
下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中正确的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(　　)
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
如图所示，在Rt△BMC 中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值．
8.6空间直线、平面的垂直（2）课堂练习答案
1.答案：(1)×　(2)√　(3)×
2.答案：D
3.解析：选B.当a⊥b时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在．
4.解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC，
所以MC在平面CAB内的射影为AC.
所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为.
　 8.6空间直线、平面的垂直（2）课后练习
1．下列说法中正确的是(　　)
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；
③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；
④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．
A．①②③　　　　　　　　 B．①③④
C．②③ D．②③④
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是(　　)
A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C
C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C
3．下列命题正确的是(　　)
① b⊥α；　　　 ② a∥b；
③ b∥α；　　　 ④ b⊥α.
A．①② B．①②③
C．②③④ D．①④
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
5．已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的(　　)
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________．
7．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
9．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
10.已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝.S是△ ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．
8.6空间直线、平面的垂直（2）课后练习答案
1.解析：选A.由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．
2.解析：选B.在正方体ABCD A1B1C1D1中，
因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，
BC1∩AB＝B，
所以B1C⊥平面ABC1D1，
因为点P是线段BC1上任意一点，
所以AP⊥B1C.故选B.
3.解析：选A.对于命题①，a⊥α，则a垂直于平面α内的任意两条相交直线，又因为a∥b，所以b也垂直于平面α内的任意两条相交直线，所以b⊥α，①正确；由线面垂直的性质定理可知a∥b，所以②正确；因为a⊥α，当a⊥b时，则b可能在平面α内，也可能与平面α平行，所以③错误；当a∥α，a⊥b时，b与平面α的三种位置都有可能出现，所以④错误．
4.解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5.解析：选B.如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.
所以PO⊥平面ABC.因为PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，
所以△PAO≌△PBO≌△PCO，
所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．
6. 解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，
连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，
所以CM＝，CO＝，所以sin∠CMO＝＝，所以∠CMO＝45°.
答案：45°
7．解析：因为PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．
答案：4
8．解析：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.
因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又PD∩PA＝P，
所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝＝4.
答案：4
9．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B，
又因为AB1 平面AA1B1B，
所以A1C1⊥AB1，
又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，
因为AA1⊥平面A1B1C1，所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，所以A1D＝B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
所以sin∠A1DA＝＝，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
10.解：法一：如图，连接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC.分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC.
因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.
又E是AB的中点，所以PE⊥AB.
因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．
因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以PE＝＝＝，
即点P到平面ABC的距离为.
法二：如图，过点A作BC的平行线，
过点B作AC的平行线，两直线交于点D.
因为AC＝BC＝1，AB＝，所以AC⊥BC.所以四边形ADBC为正方形，连接SD.
易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，
所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.
易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，
所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.
因为BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.
所以SD的长即点S到平面ABC的距离，
在Rt△SAD中，易得SD＝.
因为点P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为
SD＝.