人教版高中数学必修第二册 第七章 复数 单元测试卷（含解析）

人教版高中数学必修第二册 第七章 复数 单元测试卷
　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设i为虚数单位,复数z满足i(z+1)=1,则复数z= (　　)
A.1+i B.1-i
C.-1-i D.-1+i
2.已知复数z=2+i,则z·= (　　)
A. B.
C.3 D.5
3.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数,其中m是实数,则= (　　)
A.i B.-i
C.2i D.-2i
4.设z=+2i,则|z|= (　　)
A.0 B.
C.1 D.
5.已知复数z满足zi=-1+i,则z在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.如图C2-1,在复平面内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为 (　　)
图C2-1
A.3+i
B.3-i
C.1-3i
D.-1+3i
7.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于 (　　)
A.3+i B.3-i
C.-3-i D.-3+i
8.如果复数z满足|z-2i|=1,i为虚数单位,那么|z+1+i|的最小值是 (　　)
A.-1 B.-1
C.+1 D.+1
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)
9.给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的为 (　　)
A.(3,1) B.(-2,0)
C.(0,4) D.(-1,-5)
10.已知i为虚数单位,复数z=,则下列结论正确的是 (　　)
A.z的共轭复数为-i
B.z的虚部为
C.|z|=
D.z在复平面内对应的点在第一象限
11.已知z1与z2是共轭虚数,以下4个结论一定正确的是 (　　)
A.<|z2|2 B.z1z2=|z1z2|
C.z1+z2∈R D.∈R
12.已知复数z满足i2k+1z=2+i(k∈Z),则z在复平面内对应的点可能位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
请将选择题答案填入下表:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 总分
答案
题号 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则z·= 　　　　.
14.若复数z1=2(cos 300°+isin 300°),z2=4(cos 60°+isin 60°),则的辐角的主值是　　　　.
15.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且满足|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i(i是虚数单位),则|z1|2+|z2|2=　　　　.
16.对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2为实数),定义运算“☉”为:z1☉z2=x1x2+y1y2.设非零复数ω1,ω2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点.如果ω1☉ω2=0,那么在△P1OP2中,∠P1OP2的大小为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z=.
(1)求z的共轭复数;
(2)若az+b=1-i,求实数a,b的值.
18.(12分)已知复数z=bi(b∈R),是纯虚数,i是虚数单位.
(1)求复数z;
(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.
19.(12分)现有关于x的实系数方程x2-ax+ab=0.
(1)若x=1-i(i是虚数单位)是方程的根,求实数a,b的值;
(2)证明:当>时,该方程没有实数根.
20.(12分)已知复数z1=a+i,z2=1-i,a∈R.
(1)当a=1时,求z1·的值;
(2)若z1-z2是纯虚数,求a的值;
(3)若在复平面上对应的点在第二象限,求a的取值范围.
21.(12分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.
(1)求复数z和|z|;
(2)若z1=+-i在复平面内对应的点在第四象限,求m的取值范围.
22.(12分)已知关于x的一元二次方程x2+2kx-3k=0(k∈R)的虚根为x1,x2.
(1)求k的取值范围,并解该方程;
(2)若3|x1|=2|x2|+,求k的值.
答案全解全析
1.C　[解析] 由题意,得z=-1=-1-i,故选C.
2.D　[解析] ∵z=2+i,∴z·=(2+i)(2-i)=5,故选D.
3.A　[解析] 因为复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数,所以解得m=0,所以z=-i,则==i.
4.C　[解析] z=+2i=+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C.
5.A　[解析] ∵zi=-1+i,∴z===+i,∴z在复平面内对应的点的坐标为(,1),位于第一象限.故选A.
6.D　[解析] 因为=+,对应的复数为1+2i,对应的复数为-2+i,所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,所以第四个顶点对应的复数为-1+3i.
7.B　[解析] 由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0,即解得
∴z=3-i,故选B.
8.A　[解析] 因为|z-2i|=1,所以复数z对应的点Z在以(0,2)为圆心,1为半径的圆上.因为|z+1+i|表示点Z与定点(-1,-1)的距离,所以点Z与定点(-1,-1)的距离的最小值等于圆心(0,2)与(-1,-1)的距离减去圆的半径,即|z+1+i|min=-1=-1,故选A.
9.ACD　[解析] 易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的点对应的复数为虚数.故选ACD.
10.CD　[解析] ∵z===+i,∴z的共轭复数为-i,z的虚部为,|z|==,z在复平面内对应的点为,,在第一象限.故选CD.
11.BC　[解析] 设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi.=a2-b2+2abi,复数不能比较大小,故A错误;z1z2=a2+b2=|z1z2|,故B正确;z1+z2=2a∈R,故C正确;==+i,不一定是实数,故D错误.故选BC.
12.BD　[解析] ∵i2k+1z=2+i,∴z=,∵i1=i5=…=i,i3=i7=…=-i,∴当k为奇数时,z====-1+2i,在复平面内对应的点为(-1,2),位于第二象限;当k为偶数时,z====1-2i,在复平面内对应的点为(1,-2)位于第四象限.故复数z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限.故选BD.
13.16　[解析] ∵复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,∴解得a=-2,∴z=-4i,∴=4i,∴z·=-16i2=16.
14.120°　[解析] ==2[cos(60°-300°)+isin(60°-300°)]=2[cos(-240°)+isin(-240°)]=2(cos 120°+isin 120°),则的辐角的主值为120°.
15.100　[解析] 设O为坐标原点,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以线段OM1,OM2为邻边的平行四边形是矩形,即∠M1OM2为直角,又M是对角线M1M2的中点,且||==5,所以||=2||=10,所以|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.
16.　[解析] 设ω1=x1+y1i,ω2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2为实数),则=(x1,y1),=(x2,y2),∵ω1☉ω2=0,∴由定义知x1x2+y1y2=0,∴⊥,∴∠P1OP2=.
17.解:(1)因为z====1+i,所以=1-i.
(2)由题意得a(1+i)+b=1-i,即a+b+ai=1-i,则a+b=1,a=-1,
所以a=-1,b=2.
18.解:(1)∵z=bi(b∈R),
∴====+i.
又∵是纯虚数,∴=0且≠0,
解得b=2,则z=2i.
(2)∵z=2i,m∈R,∴(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi,
又∵复数(m+z)2在复平面内对应的点在第二象限,
∴解得019.解:(1)∵x=1-i是方程的根,∴1+i也是方程的根,
由根与系数的关系得1-i+1+i=a,(1-i)(1+i)=ab,解得a=2,b=2.
(2)证明:∵>,∴-=>0,∴4a(4b-a)>0,
∴4ab-a2>0,∴Δ=a2-4ab<0,∴原方程无实数根.
20.解:(1)当a=1时,z1·=(1+i)(1+i)=1+2i+i2=2i.
(2)由题意z1-z2=(a-1)+2i为纯虚数,则a-1=0,所以a=1.
(3)====+i,
该复数在复平面内对应的点为,,
则由题意得 解得-1故a的取值范围是(-1,1).
21.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z+2i=a+(b+2)i,
由题意得b+2=0,解得b=-2,则=+i.
由题意得=0,解得a=4,
所以z=4-2i,|z|=2.
(2)z1=4++2-i,
则由题意知解得-222.解:(1)因为一元二次方程x2+2kx-3k=0有两个虚根,所以Δ=4k2+12k<0,解得-3由求根公式可得,x1==-k-i,x2=-k+i.
(2)因为x1,x2互为共轭复数,所以|x1|=|x2|,
又因为3|x1|=2|x2|+,所以|x1|==,
所以|x1|2=,因为x1=-k-i,
所以k2+k2+3k=,解得k=-或k=(舍).
故k=-.