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数学
第七章 复数
7．3* 复数的三角表示
7．3.1 复数的三角表示式
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示式，了解复数的代数表示式与三角表示式之间的关系． 1.数学抽象：复数的三角形式及相关概念．
2.数学运算：复数的三角形式及代数形式的相互转化．
模
辐角
三角形式
代数形式
2．辐角的主值：规定在__________范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作__________，即0≤arg z＜2π.
0≤θ＜2π
arg z
1．给定一个复数，它的辐角是唯一确定的吗？
提示：不是唯一确定的．任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
2．两个非零复数相等，它们的辐角的主值相等吗？
提示：相等．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数的辐角是唯一的．( )
(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．( )
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．( )
(4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.( )
×
×
×
√
√
复数三角形式的判断依据和变形方法
(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．
(2)变形方法：首先确定复数z的对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．
(3)变形步骤可简称为“定点→定名→定角”．
将复数的三角形式化为代数形式的一般步骤
(1)求出三角形式中的辐角的正弦值和余弦值；
(2)将结果写成复数的代数形式．
将复数的代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值．这既使表达式简便，又便于运算．
√
√
√
4．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
解析：sin 50°－isin 140°＝cos (270°＋50°)＋isin (180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°，所以辐角的主值是320°，故选D.
√
√
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数学
第七章 复数
7．3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.了解复数的三角表示及乘、除运算．
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 1.数学运算：复数乘、除运算的三角表示．
2.直观想象：复数乘、除运算的几何意义．
1．复数三角形式的乘法、除法法则
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)且z1≠z2，则
r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]
各复数的模的积
和
被除数
除数
被除数
除数
θ2
|θ2|
r2
θ2
|θ2|
×
√
√
√
两个复数的三角形式乘法、除法法则
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．
(2)除法法则：模相除，辐角相减．
[注意] 在进行复数的三角形式的乘除运算时，首先要判断所给的复数是否为三角形式，若不是三角形式，应先化为三角形式，要特别注意那些虽然含有三角函数但又不是三角形式的复数，一定要先将其转化成三角形式．
探究点2 复数三角形式乘法、除法运算的几何意义
[问题探究]
复数的乘法、除法运算的几何意义的本质相同吗？
探究感悟：相同，因为除法运算是乘法运算的逆运算，所以它们的几何意义的本质是一样的．
√
√
√
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