第五章 一元函数的导数及应用 章末检测（含解析）
文档属性
| 名称 | 第五章 一元函数的导数及应用 章末检测（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 810.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-19 06:37:53 | ||
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文档简介
一元函数的导数及应用章末检测
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1.一个物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为，则该物体在4秒末的瞬时速度是( )
A.2米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒
2.函数的导函数，满足关系式，则的值为( )
A.6 B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4.如图所示为函数，的导函数的图象，那么，的图象可能是( )
B. C. D.
5.下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6.是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a，b，若，则必有( )
A. B. C. D.
7.已知在上为单调递增函数，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设函数有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.下列求导运算正确的有( )
A． B．
C． D．
10.定义方程的实数根为函数的“新不动点”，下列函数中只有一个“新不动点”的函数为（ ）
A. B. C. D.
11.若函数在处取得极小值，则实数a的取值可以为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
12.设函数，则关于的方程的实数根的个数可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
三、填空题
13.曲线在处的切线与直线平行，则___________.
14.已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是_____________.
15.若函数在区间上有极值，则实数a的取值范围为________.
16.已知函数有零点，则a的取值范围是__________.
四、解答题
17.已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间及极值.
18.已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
19.已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数在上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
20.已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.
一元函数的导数及应用章末检测参考答案
1.答案：A
解析：因为，所以，因为当时，.所以该物体在4秒末的瞬时速度是2米/秒.
2.答案：D
解析：，，解得.
3.答案：B
解析：的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，即有曲线在点处的切线方程为，即为.
故选：B.
4.答案：D
解析：由题图知与的图象在处相交，所以函数与的图象在处的切线的斜率相同，排除B，C.又函数中，y随x的增大而减小，函数中，y随x的增大而增大，故选D.
5.答案：D
解析：
6.答案：C
解析：设，则，
所以在区间上单调递减.因为，所以，即.
7.答案：D
解析：.
因为在上为单调递增，等价于恒成立.
即在上恒成立.
因为，
当时，取“=”，
所以，即a的范围为.
故选：D.
8.答案：B
解析：.令，.
有两个极值点，等价于有两个零点.
若，则，则函数是单调递增函数，不符合题意，所以.
由，得.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，.
因为有两个零点，所以
解得.
因为，，，，
所以存在，使.
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，且在R上连续，
所以当有两个极值点时，实数a的取值范围是，故选B.
一题多解：只需有两个根，
可得有两个根，转化为，的图象有两个交点.
令，，.
由得，在上是增函数；
由得，在上是减函数.
当时，，，在上是减函数，，
则由图象得，
即，实数a的取值范围是，故选B.
9.答案：BCD
解析：
10.答案：BC
解析：若，则，令，解得，，可知有2个“新不动点”，A不符合题意．
若，则，令，解得，可知有1个“新不动点”，B符合题意．
若，则，令（），则，
所以在上单调递增，又，，
所以在上存在唯一零点，，即有唯一解，可知有1个“新不动点”，C符合题意．
若，则，令，即，即，因为函数的周期为，所以的根有无数个，可知有无数个“新不动点”，D不符合题意．
故选：BC．
11.答案：CD
解析：由题意，得.因为在处取得极小值，所以在的左侧单调递减，右侧单调递增，所以，故选CD.
12.答案：BCD
解析：，由，，即函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，则函数与的图象如下图所示，平移直线可知，函数与的交点个数可能为0，1，2，3，则关于的方程的实数根的个数可能是0，1，2，3，故选BCD．
13.答案：
解析：本题考查导数的几何意义.，，故，，则.
14.答案：
解析：因为函数的定义域为R，关于原点对称，，所以函数是奇函数.
因为（当且仅当，即时，等号成立），所以函数在R上单调递增.
又，即，
所以，即，
解得，故实数a的取值范围为.
15.答案：
解析：，
令，解得：，
令，解得：，
故在递增,在递减，
故是函数的极大值点，
由题意得：，解得：，
故答案为：.
16.答案：
解析：对求导得，故在上递减，在上递增，故函数的最小值为.要使有零点，则应满足，故，即a的取值范围是.
17.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)因为，所以，
，
切线方程为，即；
(2)，所以当或时，，
当时，，所以函数的单调增区间是，单调减区间是和，
极大值为，极小值为.
18.答案：(1).
(2).
解析：(1)的定义域为.
，由题意.
若，则，当时，；
当时，，
所以是极大值点，故.
(2)，
①若，则，在上单调递增，
，满足题意.
②若，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
此时当时，，不合题意.
③若，则时，，单调递减.
，不合题意.
综上可知，当，时,，故.
19.答案：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）存在，理由见解析
解析：（1）当时，．
所以
令，则或，令，则，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）存在，满足题设，
因为函数
所以
要使函数在上单调递增，
即，，
令，，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是最小值点，且，
∴在上的最大值为．
所以存在，满足题设．
20.答案：（1）的定义域为，.
由题意得，
解得，，.
（2）.
当时，，在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解.
当时，，有解，
令，，则.
，
在上单调递减，，
，即，
实数a的取值范围是.
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1.一个物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为，则该物体在4秒末的瞬时速度是( )
A.2米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒
2.函数的导函数，满足关系式，则的值为( )
A.6 B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4.如图所示为函数，的导函数的图象，那么，的图象可能是( )
B. C. D.
5.下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6.是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a，b，若，则必有( )
A. B. C. D.
7.已知在上为单调递增函数，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设函数有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.下列求导运算正确的有( )
A． B．
C． D．
10.定义方程的实数根为函数的“新不动点”，下列函数中只有一个“新不动点”的函数为（ ）
A. B. C. D.
11.若函数在处取得极小值，则实数a的取值可以为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
12.设函数，则关于的方程的实数根的个数可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
三、填空题
13.曲线在处的切线与直线平行，则___________.
14.已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是_____________.
15.若函数在区间上有极值，则实数a的取值范围为________.
16.已知函数有零点，则a的取值范围是__________.
四、解答题
17.已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间及极值.
18.已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
19.已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数在上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
20.已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.
一元函数的导数及应用章末检测参考答案
1.答案：A
解析：因为，所以，因为当时，.所以该物体在4秒末的瞬时速度是2米/秒.
2.答案：D
解析：，，解得.
3.答案：B
解析：的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，即有曲线在点处的切线方程为，即为.
故选：B.
4.答案：D
解析：由题图知与的图象在处相交，所以函数与的图象在处的切线的斜率相同，排除B，C.又函数中，y随x的增大而减小，函数中，y随x的增大而增大，故选D.
5.答案：D
解析：
6.答案：C
解析：设，则，
所以在区间上单调递减.因为，所以，即.
7.答案：D
解析：.
因为在上为单调递增，等价于恒成立.
即在上恒成立.
因为，
当时，取“=”，
所以，即a的范围为.
故选：D.
8.答案：B
解析：.令，.
有两个极值点，等价于有两个零点.
若，则，则函数是单调递增函数，不符合题意，所以.
由，得.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，.
因为有两个零点，所以
解得.
因为，，，，
所以存在，使.
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，且在R上连续，
所以当有两个极值点时，实数a的取值范围是，故选B.
一题多解：只需有两个根，
可得有两个根，转化为，的图象有两个交点.
令，，.
由得，在上是增函数；
由得，在上是减函数.
当时，，，在上是减函数，，
则由图象得，
即，实数a的取值范围是，故选B.
9.答案：BCD
解析：
10.答案：BC
解析：若，则，令，解得，，可知有2个“新不动点”，A不符合题意．
若，则，令，解得，可知有1个“新不动点”，B符合题意．
若，则，令（），则，
所以在上单调递增，又，，
所以在上存在唯一零点，，即有唯一解，可知有1个“新不动点”，C符合题意．
若，则，令，即，即，因为函数的周期为，所以的根有无数个，可知有无数个“新不动点”，D不符合题意．
故选：BC．
11.答案：CD
解析：由题意，得.因为在处取得极小值，所以在的左侧单调递减，右侧单调递增，所以，故选CD.
12.答案：BCD
解析：，由，，即函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，则函数与的图象如下图所示，平移直线可知，函数与的交点个数可能为0，1，2，3，则关于的方程的实数根的个数可能是0，1，2，3，故选BCD．
13.答案：
解析：本题考查导数的几何意义.，，故，，则.
14.答案：
解析：因为函数的定义域为R，关于原点对称，，所以函数是奇函数.
因为（当且仅当，即时，等号成立），所以函数在R上单调递增.
又，即，
所以，即，
解得，故实数a的取值范围为.
15.答案：
解析：，
令，解得：，
令，解得：，
故在递增,在递减，
故是函数的极大值点，
由题意得：，解得：，
故答案为：.
16.答案：
解析：对求导得，故在上递减，在上递增，故函数的最小值为.要使有零点，则应满足，故，即a的取值范围是.
17.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)因为，所以，
，
切线方程为，即；
(2)，所以当或时，，
当时，，所以函数的单调增区间是，单调减区间是和，
极大值为，极小值为.
18.答案：(1).
(2).
解析：(1)的定义域为.
，由题意.
若，则，当时，；
当时，，
所以是极大值点，故.
(2)，
①若，则，在上单调递增，
，满足题意.
②若，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
此时当时，，不合题意.
③若，则时，，单调递减.
，不合题意.
综上可知，当，时,，故.
19.答案：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）存在，理由见解析
解析：（1）当时，．
所以
令，则或，令，则，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）存在，满足题设，
因为函数
所以
要使函数在上单调递增，
即，，
令，，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以是的极小值点，也是最小值点，且，
∴在上的最大值为．
所以存在，满足题设．
20.答案：（1）的定义域为，.
由题意得，
解得，，.
（2）.
当时，，在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解.
当时，，有解，
令，，则.
，
在上单调递减，，
，即，
实数a的取值范围是.