第二十二章 二次函数单元测试题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十二章 二次函数单元测试 人教版数学 九年级上册
一、选择题（共8题，每题3分，满分24分）
1．如图，抛物线 与 轴只有一个公共点A（1，0），与 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 ，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是(　　)
A．有最大值2，有最小值－2.5 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值－2.5 D．有最大值2，无最小值
3．已知关于x的不等式组 有解，则a的取值不可能是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．-2
4．若点 在第二象限，则点 在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．函数y＝﹣ax+a与y＝ （a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为2，点O为其中心．将其绕点O顺时针旋转45°后得到正方形A'B'C'D'，则旋转前后两正方形重叠部分构成的多边形的周长为（　　）（参考计算： ）
A．16﹣8 B．16 ﹣16 C．12﹣8 D．16 ﹣12
7．已知二次函数y1＝2x2-4x和一次函数y2＝-2x，规定：当x任取一个值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较大值为M；若y1＝y2，则M＝y1＝y2.下列说法错误的是（　　）
A．当x＞2时，M＝y1 B．当x＜0时，M随x的增大而减小
C．M的最小值为-2 D．若M＝-1时，则
8．二次函数的图象如图所示，有以下四个结论：①；②；③1和-3是关于的一元二次方程的两个实数根；④对于任意实数，都有.其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5题，每题3分，满分15分）
9．如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　 　．
10．关于x的方程﹣2x2+bx+c=0的解为x1、x2（x1＜x2），﹣2x2+bx+c=1的解为x3、x4（x3＜x4），用“＜”连接x1、x2、x3、x4为　 　．
11．如图，已知二次函数y= x2﹣ x﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，作直线CD，点P是抛物线对称轴上的一点，若以P为圆心的圆经过A，B两点，并且和直线CD相切，则点P的坐标为　 　
12．如图正方形ABCD边长为2，E为CD边中点，P为射线BE上一点（P不与B重合），若△PDC为直角三角形，则BP＝　 　.
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，顶点坐标为C(1，k)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（不包含端点），则k的取值范围是　 　.
三、解答题（共7题，满分81分）
14．如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点E是对称轴l右侧抛物线上一点，且S△ADE=2S△AOC，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DC并延长交x轴于点F，设P为线段BF上一动点(不与B、F重合)，过点P作PQ BD交直线BC于点Q，将直线PQ绕点P沿顺时针方向旋转45 后，所得的直线交DF于点R，连接OR．请直接写出当△PQR与△PFR相似时点P的坐标．
16．如图所示，已知抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝x－4交于B，D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G．当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．
四、综合题
17．在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标．
（1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标；
（2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示：
①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为　 ；
②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；
③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值．
18．如图，正方形 ，点 在边 上， 为等腰直角三角形.
（1）如图1，当 ，求证 ；
（2）如图2，当 ，取 的中点 ，连接 ，求证：
19．小明在学完了平行四边形后，想对“四边形的不稳定性”和“四边形的判定”有更好的理解，做了如下的探究：他用8根木棍和一些钉子组成了正方形和平行四边形（如图1），且，在同一条直线上，点落在边上．经小明测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．
（1）求的长．
（2）设的长度为，则　 　（用含的代数式表示）．
（3）小明接着探究，在保证，位置不变的前提条件下，从点向右推动正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图2）．若此时，求的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点A（-1，0）、B（4，0）与y轴交于点C，tan∠ABC= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E，连接AC、CE，当ME取值最大值时，求△ACE的面积．
（3）在y轴负半轴上取点D（0，-1），连接BD，在抛物线上是否存在点N，使∠BAN=∠ACO-∠OBD？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】
10．【答案】x1＜x3＜x4＜x2
11．【答案】（4，0）或（4， ）
12．【答案】 或 或
13．【答案】 ＜k＜4
14．【答案】解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入y= x2+mx+n，得
，
解得： ．
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+3．
联立 ，
解得： 或 ，
∴点B的坐标为（4，1）．
过点B作BH⊥x轴于H，如图1．∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC= ．
同理：∠ACO=45°，AC=3 ，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴tan∠BAC= ；
（2）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
过点P作PG⊥y轴于G，
则∠PGA=90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠ACB=90°．
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，
∴ ．
∴AG=3PG=3x．
则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣3x，
整理得：x2+x=0，解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．
②如图2②，
当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：AG= PG= x，则P（x，3﹣ x），
把P（x，3﹣ x）代入y= x2﹣ x+3，得： x2﹣ x+3=3﹣ x，
整理得：x2﹣ x=0，解得：x1=0（舍去），x2= ，∴P（ ， ）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，
同理可得：点P的坐标为（11，36）．
②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：点P的坐标为P（ ， ）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（ ， ）、（ ， ）．
15．【答案】（1）解：将A(-1，0)、B(3，0)代入二次函数y=x2+bx+c，得
解得
则二次函数为y=x2-2x-3.
（2）解：设E（m，m2–2m–3），过点E作EM//x轴，交AD于点M，
由二次函数为y=x2-2x-3，可得C（0，-3），D（1,-4），
则S△ADE=S△AOC=2× ×3×1=3.
∵A（–1，0）、D（1，–4）
∴直线AD为：y=–2x–2，
∵E（m，m2–2m–3），
∴M（ m2+m+ ，m2–2m–3），
∴EM= m-（ m2+m+ ）= m2 ，
∴S△ADE= ×4EM=2EM= m2-1=3，
解得m=±2（其中m =–2舍去），
∴E（2–3）．
（3）解：由B（3，0）和C（0，-3）可得直线BC为y=x-3,
由B（3，0）和D（1，-4）可得直线BD为y=2x-6,
设P（n,0），因为PQ//BD，则可设PQ为y=2（x-n），
联立
解得
则Q（2n-3，2n-6），
由C（0，-3）和D（1，-4）可得直线CD为y=-x-3，则F（-3，0），
所以OF=OC，则∠OFR=45°，
则∠RPQ=∠OFR=45°.
当△QPR与△PFR时，有△RPQ~△PFR和△QPR~△PFR两种情况：
①当△RPQ~△PFR时，∠QRP=∠RPF，则RQ//x轴，则点R的纵坐标与点Q相等，
当y=2n-6代入直线CD可解得x=-2n+3,R(-2n+3,2n-6),
即RQ=2n-3-(-2n+3)=4n-6,RP2= ,
又PF=3+n,因为 ，
所以RP2=PF·RQ，
即 =（3+n）(4n-6)，
化简得9n2-48n+63=0，
即（3n-7）（3n-9）=0，
解得n= 或n=3（舍去）；
当n= 时，P1（ ，0）;
②当△QPR~△PFR时，∠PRQ=∠FRP，P2（0,0）.
综上，P1（ ），P2（0,0）.
16．【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c∵抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8）∴,解得.
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－8
点D的坐标为（－1，－5）
（2）过P作PE∥y轴，交直线AB于点E
设P（x，x2－2x－8）则E（x，x－4）
∴PE＝x－4－(x2－2x－8)＝－x2＋3x＋4
∴S△BDP＝S△DEP＋S△BEP＝ PE·(xE－xD)＋ PE·(xB－xE)
＝ PE·(xB－xD)＝ PE＝ (－x2＋3x＋4)
＝－ (x－ )2＋
∴当x＝ 时，△BDP面积的最大值为
此时点P的坐标为（ ，－ ）
（3）设直线y＝x－4与y轴相交于点K，则K（0，－4）∵B（4，0），∴OB＝OK＝4，∴∠OKB＝∠OBK＝45°
∵QF⊥x轴，∴∠DQG＝45°
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形①∠QDG＝90°，过D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，
∴－x2＋3x＋4＝2(x＋1)，解得x 1＝－1（舍去），
x 2＝2，∴Q1（2，－2）
②∠DGQ＝90°，则DH＝QH，∴－x2＋3x＋4＝x+1，解得x 1＝-1（舍去），x 2＝3，∴P2（3，－1）综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，－2）或（3，－1）
17．【答案】（1）解：将点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到抛物线解析式中，得
，解得： ．∴抛物线L的解析式为 ，
∴它的特征点为（ ，2）．
（2）y=﹣ax2+bx；解：②∵抛物线L2的对称轴为直线：x= ．∴当抛物线L1的特征点C（a，b）在抛物线L2的对称轴上时，有a= ，∴a与b的关系式为b=2a2． ③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，∴在抛物线L1：y=ax2+bx中，令y=0，即ax2+bx=0，解得：x1= ，x2=0（舍去），即点M（ ，0）；在抛物线L2：y=﹣ax2+bx中，令y=0，即﹣ax2+bx=0，解得：x1= ，x2=0（舍去），即点N（ ，0）．∵b=2a2，∴点M（﹣2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a2）．∴MN=2a﹣（﹣2a）=4a，MC= ，NC= ．因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：（1）MC=MN，此时有： =4a，即9a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a= ，∵a＜0，∴a= ；（2）NC=MN，此时有： =4a，即a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a= ，∵a＜0，∴a= ；（3）MC=NC，此时有： = ，即9a2=a2，解得：a=0，又∵a＜0，∴此情况不存在．综上所述：当以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时，a的值为 或 ．
18．【答案】（1）证明：作 ，
四边形 是正方形
是等腰直角三角形
（2）连接 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ，
为等腰直角三角形，
四边形 是正方形
三点共线
为 的中点，
在 中，
即
19．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）
（3）解：∵在推动过程中，位置不变，的长度保持不变，
∴设，则．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∵，解得，
，，
∴．
20．【答案】（1）解：∵B（4，0），
∴OB=4，
∵tan∠ABC= = = ，
∴OC=2，
∴C（0，2），
设y=a（x-1）（x-4），
把C（0，2）代入，得a=- ，
∴抛物线的解析式为y=- （x-1）（x-4）=- x2+ x+2；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+2，
把B（4，0）代入，得k=- ，
∴直线BC解析式为y=- x+2，
设M（m，- m2+ m+2），
则E（m，- m+2），
∴ME=- m2+2m，
∴当m=2时，ME取得最大值2，
∴E（2，1），
∴S△ACE=S△ABC-S△ABE= ×5×（2-1）= ；
（3）解：作C′（0，-2）与 C关于x轴对称，连接BC′，过点D作DE⊥BC′于点E，
∴∠ABC=∠ABC′，
∵ = ，∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ABC=∠ACO，
∴∠ABC′=∠ACO，
即∠BAN=∠ACO-∠OBD=∠DBC′，
由题意得DC′=1、DB= ，BC′=2 ，
∵S△DBC′= ，
∴DE= ，
∴BE= ，
∴tan∠DBC′=tan∠BAN= ，
设N（n，- n2+ n+2），且n＞0，
∴tan∠BAN= = = ，
①当2n+2=9×（- n2+ n+2）时，n1= ，n2=-1（舍去）；
②当2n+2=-9×（- n2+ n+2）时，n1= ，n2=-1（舍去）；
∴N点的坐标为（ ， ）或（ ，- ）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)