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数学
第七章 复数
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.通过方程的解，认识复数． 2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义． 数学抽象：复数的相关概念及表示法．
数学运算：复数的分类及复数相等的充要条件．
1．复数的有关概念
(1)定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做________，满足i2＝____．
(2)表示方法
复数通常用字母z表示，即___________________________，其中a叫做复数z的__部，b叫做复数z的__部．
(3)复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
虚数单位
－1
z＝a＋bi(a，b∈R)
实
虚
a＝c
b＝d
实数
虚数
a＝0
a≠0
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
1．复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？
提示：不对．由复数实部和虚部的概念可知，复数m＋ni，只有m，n∈R时，m才是m＋ni的实部，此时复数m＋ni的虚部是实数n，而不是ni.
2．两个复数能比较大小吗？
提示：不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.( )
(3)复数z＝bi是纯虚数．( )
(4)实数集与复数集的交集是实数集．( )
×
×
×
√
√
√
4．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为________．
答案：4
探究点1 复数的概念
(多选)下列说法正确的是( )
A．复数2＋3i的虚部是3
B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数
C．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数
D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
√
√
【解析】 复数2＋3i的虚部是3，A正确；
形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，B错误；
只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，C错误；
若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选AD.
利用复数的概念时的注意点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是( )
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
解析：对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.故选C.
√
探究点2 复数的分类
[问题探究]
当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？
探究感悟：当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数．
利用复数的分类求参数的值或取值范围
(1)要判定一个复数是什么类型的数，首先要分清复数的实部和虚部以及它们对复数分类的影响，然后结合定义求解．
(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题．
(3)解相应的方程(组)或不等式(组).
若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．1或－1
解析：若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a2－1＝0，所以a＝±1.故选D.
√
探究点3 复数相等
(1)(多选)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)且z1＝z2，则m＋n的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．0
(2)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．
√
√
已知两个复数相等求参数的一般步骤
(1)将等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式．
(2)由复数相等的充要条件得到由实数等式所组成的方程(组).
(3)解方程(组)，求出相应的参数．
[注意] 只有两个复数为实数时，才能比较大小．
√
2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件．
√
√
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数学
第七章 复数
7．1.2 复数的几何意义
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
理解复数的几何意义． 数学抽象：复平面的有关概念及复数的模、共轭复数．
直观想象：复数与复平面内点和向量的对应．
1．复平面
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
Z(a，b)
模
|a＋bi|
|a|
相等
互为相反数
共轭虚数
a－bi
1．实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？
提示：不是．原点表示实数0.
2．两个虚数是不能比较大小的，两个虚数的模能比较大小吗？
提示：能．虚数的模是实数，能够比较大小．
3．共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？
提示：它们所对应的点关于实轴对称．
√
√
×
×
×
√
√
探究点1 复数与复平面内点的对应
已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上；
(2)在第三象限．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可利用复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)求解．
1．若复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方，则( )
A．a>0且b>0
B．a∈R且b>0
C．a≥0且b>0
D．a∈R且b<0
解析：复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方，则复数的实部a∈R，虚部b>0.故选B.
√
2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：由题意知A(6，5)，B(－2，3)，则AB的中点C(2，4)对应的复数为2＋4i.
√
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
√
√
(1)复数的模的计算
计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)复数模的几何意义
①|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；
②利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决．
√
2．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．
√
√
√
√
√
4．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．
解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.
答案：2 4
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