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数学
第七章 复数
7．2.2 复数的乘、除运算
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
掌握复数代数形式的四则运算． 1.数学抽象：复数乘、除运算的运算法则及运算律．
2.数学运算：复数的四则运算代数式．
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________________________．
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(2)运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝________
结合律 (z1z2)z3＝________________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
1．复数的乘法运算与多项式乘法运算类似吗？
提示：类似，多项式乘法的运算律在复数乘法中也成立，但结果要将实部、虚部分开合并(i2换成－1).
2．多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
提示：仍然成立，乘法公式也适用．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数的积与商一定是虚数．( )
(2)两个共轭复数的和与积是实数．( )
(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( )
×
√
√
√
√
√
√
√
(1)两个复数进行乘法运算的一般方法
①按多项式的乘法展开．
②将i2换成－1.
③进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
[注意] in(n∈N)的性质：
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
1．复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
√
√
两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写成分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
√
1．复数(a＋i)(1－i)(a∈R)的实部与虚部相等，则实数a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：因为(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i(a∈R)，且该复数的实部与虚部相等，所以a＋1＝1－a，解得a＝0.
√
√
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数学
第七章 复数
7．2 复数的四则运算
7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.掌握复数代数形式的加减运算． 2.了解复数加、减运算的几何意义． 数学抽象、数学运算：复数代数形式的加、减运算法则．
直观想象：复数代数形式的加、减运算的几何意义．
1．复数加、减法的运算
(1)加、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝________________________，z1－z2＝________________________．
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝__________．
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝____________________．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
1．两个实数之和仍是一个实数，两个复数之和仍是一个复数，那么两个虚数之和仍是一个虚数吗？
提示：不一定，如i＋(－i)＝0.
2．复数的加法法则可以推广到多个复数相加吗？
提示：可以推广到多个复数相加的情形．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数．( )
(2)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.( )
(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( )
√
×
√
2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
3．(6－2i)－(3i＋1)＝( )
A．3－3i B．5－5i
C．7＋i D．5＋5i
4．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是________．
答案：4
√
√
探究点1 复数的加、减运算
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
复数加减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行．
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错．
用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
探究点3 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义的应用
[问题探究]
|z－z0|的几何意义是什么？|z－z1|＝3表示的轨迹是什么？
探究感悟：|z－z0|表示z和z0所对应的点的距离．当|z－z1|＝3时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为3的圆．
复数模的问题的求解策略
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
(2021·山东枣庄三中高一网上测试)已知复数z满足|z|＝1，
求|z－2i|的取值范围．
解：|z|＝1表示z在复平面上对应的点是单位圆上的点．|z－2i|表示单位圆上的点与(0，2)之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，
最大距离为2＋1＝3.所以|z－2i|的取值范围为[1，3].
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为( )
A．5－3i B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
解析：(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.
√
2．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，
所以xy＝1.
√
3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．－3 D．3
解析：因为z＋(3－4i)＝1，所以z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4.故选B.
√
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