(共42张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．1 基本立体图形
8．1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 直观想象：棱柱、棱锥、棱台结构特征的认识．
1．空间几何体的定义及分类
(1)定义：如果只考虑这些物体的____和____，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的________就叫做空间几何体．
(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
形状
大小
空间图形
2．空间几何体
类别 定义 图示
多面体 一般地，由若干个__________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个______叫做多面体的面；两个面的______叫做多面体的棱；______的公共点叫做多面体的顶点
平面多边形
多边形
公共边
棱与棱
类别 定义 图示
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的__________旋转所形成的____叫做旋转面，____的旋转面围成的几何体叫做旋转体．__________叫做旋转体的轴
一条定直线
曲面
封闭
这条定直线
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
定义 相关概念
棱柱 一般地，有两个面互相____，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 四棱柱
ABCD－A′B′C′D′
平行
互相平行
定义 相关概念
棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 四棱锥S－ABCD
公共顶点
定义 相关概念
棱台 用一个______棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台 四棱台
ABCD－A′B′C′D′
平行于
1．面数最少的多面体是什么？
提示：围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体．
2．棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
提示：根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行四边形．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱．( )
(2)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面．( )
(3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥．( )
(4)正棱锥的侧面是等腰三角形．( )
(5)上、下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台．( )
×
×
×
√
×
2．下列几何体中，多面体是( )
√
3．在三棱锥A BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：每个面都可作为底面，有4个．
√
4．下面四个几何体中，是棱台的是( )
√
探究点1 棱柱的结构特征
[问题探究]
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱吗？
探究感悟：满足“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”这样说法的多面体如图所示，并不是一个棱柱．
(多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )
A．所有的面都是平行四边形
B．每一个面都不会是三角形
C．两底面平行，并且各侧棱也平行
D．被平面截成的两部分可以都是棱柱
√
√
【解析】 A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
B错误，棱柱的底面可以是三角形；
C正确，由棱柱的定义易知；
D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．
(1)棱柱结构特征的辨析方法
①扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
i 看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
ii 看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行．
②举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，从而排除．
(2)棱柱概念的推广
①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
③正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
④平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．
1．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是( )
A．P N M Q B．Q M N P
C．P M N Q D．Q N M P
解析：根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱}，故选B.
√
2.如图所示的三棱柱ABC A1B1C1，其中点E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解：是棱柱．截面以上的几何体是三棱柱AEF A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC B1HGC1.
探究点2 棱锥、棱台的结构特征
下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由4个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确的是________．(填序号)
【解析】 ①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
④正确，由4个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
所以正确说法的序号为②③④.
【答案】 ②③④
判断棱锥、棱台形状的2个方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
1．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后相交于一点
解析：由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．
√
2．(多选)下列说法中，正确的是( )
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱锥的各侧棱长相等
√
√
解析：由棱锥的定义知，棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；
有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错；
四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；
棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错．
探究点3 空间几何体的平面展开图
(1)请画出如图所示的正方体的平面展开图；
(2)如图是一个几何体的平面展开图，请问是什么几何体？
【解】 (1)展开图如图所示．(答案不唯一)
(2)根据平面展开图还原为几何体，可知为五棱柱，
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的展开图，要求判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可能有多个展开图．
1.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上底面，则这个正方体
的下底面是( )
A．1 B．9
C．快 D．乐
√
解析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．
2．画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
解：平面展开图如图所示：
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据棱柱的定义进行判定，知这4个都满足．
√
2．对于棱锥，下列叙述正确的是( )
A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥的顶点有六个 D．任何棱锥都只有一个底面
解析：对于A，因为四棱锥共有八条棱，故A错误；
对于B，因为五棱锥共有六个面，故B错误；
对于C，因为六棱锥的顶点有七个，故C错误；
对于D，根据棱锥的定义，D正确．故选D.
√
3．有一个多面体，共由4个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
解析：根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．
√
5．下列说法正确的有________．(填序号)
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对；
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③.
答案：①③
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放(共44张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．1 基本立体图形
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．
2.能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构． 直观想象：圆柱、圆锥、圆台、球结构特征的认识．
1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
(1)圆柱的结构特征
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴
圆锥及相关概念 图形及表示
定义 以直角三角形的__________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示它的轴的字母表示
图中圆锥记作：______
相关概念 轴：______叫做圆锥的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的____叫做圆锥的底面；
侧面：直角三角形的__边旋转而成的____叫做圆锥的侧面；
母线：无论旋转到什么位置，__________的边都叫做圆锥侧面的母线
(2)圆锥的结构特征
一条直角边
旋转轴
圆面
圆锥SO
斜
曲面
不垂直于轴
(3)圆台的结构特征
平行
底面
圆台O′O
圆面
曲面
不垂直于轴
(4)球的结构特征
球及相关概念 图形及表示
定义 ______________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 用表示球心的字母表示
图中的球记作：____
相关
概念 球心：半圆的____叫做球的球心；
半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；
直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
半圆以它的直径
球O
圆心
2.简单组合体
(1)概念
由__________组合而成的几何体叫做简单组合体．
(2)两种构成形式
①由简单几何体____而成；
②由简单几何体__________一部分而成．
简单几何体
拼接
截去或挖去
1．(1)过圆柱的轴作截面(轴截面)，截面是什么形状？
(2)过圆锥的轴作截面(轴截面)，截面是什么形状？
(3)过圆台的轴作截面(轴截面)，截面是什么形状？
提示：(1)过圆柱的轴的截面都是全等的矩形，如图①所示．
(2)过圆锥的轴的截面都是全等的等腰三角形，如图②所示．
(3)过圆台的轴的截面都是全等的等腰梯形，如图③所示．
2．圆柱的母线和圆柱的高有什么关系？
提示：相等关系．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱．( )
(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( )
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．( )
×
×
×
√
2．下列几何体不是简单旋转体的是( )
A．圆柱 B．圆台
C．球 D．棱柱
√
3．下列平面图形中可以通过旋转得到如图几何体的是( )
√
4．如图所示的几何体是由简单几何体____________构成的．
答案：四棱台和球
探究点1 旋转体的结构特征
[问题探究]
圆台是否也可由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？
探究感悟：是，直角梯形，以垂直于底边的腰所在的直线为
旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆
台，如图所示．
(1)下列说法正确的有( )
①在圆柱的上下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
√
(2)(多选)下列说法正确的是( )
A．球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长
B．球的直径是球面上任意两点间所连线段的长
C．用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形
D．过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形
√
√
【解析】 (1)由圆柱、圆锥、圆台母线的定义可知②④正确，①③的反例如图所示．
(2)根据球的定义知，A正确；B不正确，
因为球的直径必过球心；C不正确，
因为球的任何截面都是圆面；D正确．
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
(多选)(2021·南昌高二检测)下列说法中，正确的是( )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
√
√
√
解析：对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，为2rl，A正确；
对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；
对于C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆，C正确；
对于D，圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形，D正确．
探究点2 简单组合体的结构特征
观察下列几何体的结构特点，完成以下问题．
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出旋转180°后能得到几何体①的几何图形；
(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出旋转360°后能得到几何体②的几何图形；
(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．
【解】 (1)题图①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转解析图①180°得到几何体①.
(2)题图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心组合而成的．可旋转解析图②360°得到几何体②.
(3)题图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成的，且四棱锥的底面与四棱柱的底面相同．共有9个面，9个顶点，16条棱．
简单组合体结构特征的判断方法
(1)仔细观察组合体，依据柱、锥、台、球的几何特征，看该组合体是由哪些简单几何体组成的．
(2)明确该组合体是由简单几何体拼接而成，还是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
指出图中三个几何体的构成．
解：题图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱．
题图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥．
题图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球．
探究点3 旋转体中的计算问题
如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
(变条件)若将本例中的条件变为“已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm”，则圆台的母线长为________．
解决旋转体中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．
某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是__________cm.
1．如图所示的组合体，其结构特征是( )
A．左边是三棱台，右边是圆柱
B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体
D．左边是三棱柱，右边是长方体
解析：根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．
√
2．下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到如图所示几何体的是( )
√
解析：A.旋转得到的几何体由一个圆锥以及一个圆柱构成；
C.旋转得到的几何体由两个圆锥构成；
D.旋转得到的几何体由一个圆锥以及一个圆柱构成．故选B.
3．(多选)下列关于球体的说法正确的是( )
A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C．一个圆绕其直径所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D．球的对称轴只有1条
√
√
解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；
由球体的定义，知C正确；
球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误．
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
