(共39张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 1.数学抽象：空间中直线、平面位置关系的定义．
2．直观想象：用图形语言表示直线、平面的位置关系．
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线
①定义：把不同在__________平面内的两条直线叫做异面直线．
②画法：(通常用平面衬托)
任何一个
2．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有________公共点 有且只有______公共点 ______公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
无数个
一个
没有
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
图形表示
3.空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 ______公共点 有______个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
没有
无数
1．“直线与平面不相交”就是指“直线与平面没有公共点”吗？
提示：不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
2．分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．如图，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但a∩b＝O.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线没有公共点．( )
(2)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．( )
(4)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．( )
(5)若直线l与平面α不相交，则直线l与平面α平行.( )
(6)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.( )
√
×
√
×
×
×
2．在三棱锥S ABC中，与SA是异面直线的是( )
A．SB B．SC
C．BC D．AB
√
3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
√
4．正方体ABCD A1B1C1D1的各个面中与直线A1B1平行的平面有________个．
解析：由正方体图形特点，知直线A1B1与平面CC1D1D和平面ABCD平行．
答案：2
探究点1 空间两直线的位置关系
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】 经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以(2)(4)应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”．
【答案】 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
(变设问)本例条件不变，在长方体中，所有与直线AB异面的棱所在的直线为________．
解析：根据长方体的性质以及异面直线的定义，分析长方体中各棱的位置关系，得到CC1，B1C1，DD1，A1D1.
答案：CC1，B1C1，DD1，A1D1
空间两条直线位置关系的判定方法
判定两条直线是异面直线的方法：
(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
(2)排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)；
(3)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．如图，A α，B∈α，l α，B l 直线AB与l是异面直线．
已知直线a，b与平面α，满足a∥α，b∥α，则a与b的位置关系是________．
解析：如图，在长方体中a∥α，b∥α，a与b相交，b′∥α，则a与b′异面，b″∥α，则a与b″平行，故a与b的位置关系有平行、异面或相交．
答案：平行、异面或相交
探究点2 直线与平面的位置关系
[问题探究]
可以根据直线与平面的公共点的个数判断直线与平面的位置关系吗？
探究感悟：可以.0个公共点时，直线与平面平行；1个公共点时，直线与平面相交；多个公共点时，直线在平面内．
(2021·通化高一检测)下列命题正确的是( )
A．一条直线与这个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．平面外的两条平行直线中的一条直线与这个平面平行，则另一条直线也与此平面平行
D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
√
【解析】 对于选项A：一条直线与一个平面平行，它和这个平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面，故错误；对于选项B：平行于同一个平面的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；对于选项C：平面外的两条平行直线中的一条直线与这个平面平行，则另一条直线也与此平面平行，正确；对于选项D：与两个相交平面的交线平行的直线，可能平行于这两个平面，也可能在平面内，故错误．
判断直线与平面之间位置关系的方法
(1)判断直线在平面内，需找到直线上两点在平面内，根据基本事实2知直线在平面内．
(2)判断直线与平面相交，根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点．
(3)判断直线与平面平行，可根据定义判断直线与平面没有公共点，也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况，从而判断直线与平面平行．
1．若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数个点都在平面外
C．直线上有无数个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
解析：直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数个点都在平面外．
√
2．在如图所示的正方体ABCD A′B′C′D′ 中，
(1)与AB所在直线平行的平面有________个；
(2)与A′B所在直线平行的平面有________个．
解析：(1)与AB所在直线平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；
(2)与A′B所在直线平行的平面只有平面DCC′D′.
答案：(1)2 (2)1
探究点3 平面与平面的位置关系
已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
√
【解析】 如图，可能会出现以下两种情况：
(变条件)在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a α，b β，a，b异面，则两平面平行或相交．
两个平面的位置关系的两种判断方法
(1)定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系．
(2)借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系．
若α∥β，a α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；
④a与β无公共点．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
√
解析：由α∥β，a α，可知a∥β，因此②④正确．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，令A1B1为a，平面ABCD为β，平面A1B1C1D1为α，则a α，α∥β，显然β内的直线BC⊥A1B1，所以①③不正确．故选B.
1．若M∈l，N∈l，N α，M∈α，则有( )
A．l∥α B．l α
C．l与α相交 D．以上都有可能
解析：由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在平面α外，故l与α相交．故选C.
√
2．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：由正方体模型可知，六个面中共有3对相对的面互相平行．故选B.
√
3．(多选)如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中( )
A.CD∥GH B．AB与EF异面
C．AD∥EF D．AB与CD相交
√
√
√
解析：把展开图还原成正方体，如图所示．由正方体的性质得CD∥GH，AB与EF异面，AD与EF异面，AB与CD相交．故选ABD.
4．已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c有什么样的位置关系？请画图说明．
解：直线a与c的位置关系有三种情况，如图所示．
直线a与c可能平行，如图①；可能相交，如图②；可能异面，如图③.
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放(共46张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面．
2．了解关于平面的三个基本事实(公理)和推论． 1.数学抽象、直观想象：平面的概念、平面的表示．
2．逻辑推理：理解及应用三个基本事实及推论．
1．平面的基本概念
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周__________的．
无限延展
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个____________，如图①；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图②.
平行四边形
②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成______或不画，如图③.
(3)平面的表示法
图①的平面可表示为________、______________、__________或__________．
虚线
平面α
平面ABCD
平面AC
平面BD
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A____l
A在l外 A____l
A在α内 A____α
A在α外 A α
∈
∈
文字语言 符号语言 图形语言
l在α内 l____α
l在α外 l____α
l，m相交于A ____________
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l ____________
l∩m＝A
α∩β＝l
3.平面的基本性质
(1)三个基本事实
不在一条直线上
有且只有
两个点
l α
公共直线
α∩β＝l，且P∈l
(2)基本事实1和基本事实2的三个推论
1．几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示：没有，平行四边形．
2．直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？
提示：点和直线、平面的位置关系可用数学符号“∈”或“ ”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“ ”或“ ”表示．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．( )
(2)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.( )
(3)平面ABCD的面积为100 m2.( )
(4)过三点A，B，C有且只有一个平面．( )
×
√
×
×
2．如图所示，下列符号表示错误的是( )
A．l∈α B．P l
C．l α D．P∈α
解析：观察题图知，P l，P∈α，l α，则l∈α是错误的．
√
3．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是( )
A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈α
B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a
C．因为A∈a，a α，所以A∈α
D．因为A a，a α，所以A α
√
解析：对于A，直线AB在平面α内，应为AB α，故A错误；
对于B，直线a在平面α，β内，应为a α，a β，故B错误；
对于C，因为A∈a，a α，所以A∈α，故C正确；
对于D，A a，a α，有可能A∈α，故D错误．故选C.
探究点1 图形、文字、符号语言的相互转化
用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
(2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
【解】 (1)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图．
(2)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
解：(1)P∈AB.
(2)C AB.
(3)M∈平面AC.
(4)A1 平面AC.
(5)AB∩BC＝B.
(6)AB 平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC＝AB.
探究点2 点、线共面问题
[问题探究]
基本事实1有什么作用？如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？
探究感悟：确定平面的依据．这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．
求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【证明】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法一(纳入平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，
所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)：
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)同一法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
证明：如图所示．由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
所以l α.即过a，b，l有且只有一个平面．
探究点3 点共线、线共点问题
[问题探究]
如果两个平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？
探究感悟：这些公共点落在同一条直线上．
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点．
(变条件、变设问)若将题目条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA.
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．
所以点D，A，M三点共线．
1．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
2.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD).又因为AB∩α＝E，AB β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．
1．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点
B．一个点和一条直线
C．无数个点
D．两条相交直线
解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
√
2．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A∈α，A∈l，l α l∩α＝A
√
√
√
解析：显然A，B，D正确．C中l α分两种情况：l与α相交或l∥α.当l与α相交时，若交点为A，则A∈α，C错误．故选ABD.
3．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
解析：根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．
√
4．根据下列符号表示的语句，用文字进行说明，并作出图形．
(1)A∈α，B α；
(2)l α，m∩α＝A，A l.
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，直线l不过点A，如图②.
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
