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数学
第八章 立体几何初步
8．5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系．
2．归纳出平面与平面平行的判定定理并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：平面与平面平行的判定定理的理解．
2．逻辑推理：利用平面与平面平行的判定定理证明两个平面平行．
平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的______________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 __________________________________ β∥α
图形语言
两条相交直线
a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α
判定定理中的“相交”能否去掉？
提示：不能，如果是两条平行直线与另一个平面平行，两个平面也可能相交．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
(2)若平面α内的两条不平行直线都平行于平面β，则平面α与平面β平行．( )
(3)如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
×
√
√
2．在正方体中，相互平行的面不会是( )
A．前后侧面 B．上下底面
C．左右侧面 D．相邻的侧面
√
3．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
√
探究点1 面面平行判定定理的理解
给出下列四个说法：
①若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；
②若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；
③平行于同一条直线的两个平面平行；
④若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行．
其中正确说法的个数是________．(填序号)
【解析】 ①错误，因为平面α内这两条直线不一定相交，故不能判定α与β平行；②错误，平面α内这无数条直线可能互相平行，即不能找到两条相交直线与β平行，故不能判定α与β平行；③错误，这两个平面也可能相交；④错误，这两个平面也可能相交．
【答案】 0
(1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．
(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析．
(多选)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
√
√
解析：对于选项A，若存在一条直线a, a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要不充分条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要不充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD.
探究点2 平面与平面平行的判定
[问题探究]
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
探究感悟：平行．
如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
又A1D∩BD＝D，
所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1，
B1D1 平面EB1D1，
BD 平面EB1D1，
得BD∥平面EB1D1.
取BB1的中点G，
连接AG，GF，
易得AE∥B1G，
又因为AE＝B1G，
所以四边形AEB1G是平行四边形，
所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，又因为GF＝AD，
所以四边形ADFG是平行四边形，
所以AG∥DF，所以B1E∥DF，又B1E 平面EB1D1，DF 平面EB1D1，
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，
所以平面EB1D1∥平面FBD.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化法：转化为线面平行，平面α内的两条相交直线分别与平面β内的两条相交直线平行，则α∥β.
(4)利用平面平行的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
1．如图，在三棱锥P ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，证明：平面GFE∥平面PCB.
证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF 平面PCB，BC，CP 平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，EF，GF 平面GFE，所以平面GFE∥平面PCB.
2．如图，直三棱柱ABC A1B1C1的底面是正三角形，E，F，G，H分别是BC，CC1，B1C1，BB1的中点．求证：平面A1GH∥平面AEF.
1．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，E，F，G分别为PC，BD，DC的中点．求证：平面EFG∥平面PAD.
证明：因为E，F，G分别为PC，BD，DC的中点，
所以EG∥PD，FG∥BC.
因为EG 平面PAD，PD 平面PAD，所以EG∥平面PAD.
因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD，所以FG∥AD.
因为FG 平面PAD，AD 平面PAD，所以FG∥平面PAD.
因为EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面PAD.
2．在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，Q是CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面PAO.
证明：在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，由Q为CC1的中点，P为DD1的中点，易得QB∥PA.
因为QB 平面PAO，PA 平面PAO，
所以QB∥平面PAO.
因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，PO 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO.
因为D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
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数学
第八章 立体几何初步
8．5.2 直线与平面平行
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的关系．
2．归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：直线与平面平行的判定及性质定理的理解．
2．逻辑推理：利用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行， 利用直线与平面平行的性质定理证明直线与直线平行．
1．直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果________一条直线与__________的一条直线______，那么该直线与此平面平行
符号语言 __________________________ a∥α
图形语言
平面外
此平面内
平行
a α，b α，且a∥b
2.直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么________与______平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
该直线
交线
1．一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面一定平行吗？
提示：不一定，该直线也可能在平面内．
2．一条直线与一个平面平行，该直线与此平面内任意直线平行吗？
提示：不一定，可能是异面直线．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( )
(2)若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点．( )
(3)平行于同一平面的两条直线平行．( )
×
√
×
2．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b α，a∥b
B．b α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a α，b α，a∥b
√
3．如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
解析：因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.
√
4．已知l，m是两条不同的直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l α”．
答案：l α
探究点1 直线与平面平行的判定
[问题探究]
利用判定定理证明直线与平面平行，需要具备哪几个条件？
探究感悟：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
①直线a在平面α外，即a α.
②直线b在平面α内，即b α.
③两直线a，b平行，即a∥b.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
应用判定定理证明线面平行的步骤
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
探究点2 直线与平面平行的性质
[问题探究]
若直线l与平面α平行，则过直线l与平面α相交的平面有多少个？它们与平面α的交线之间有什么关系？
探究感悟：无数个，它们的交线互相平行．
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．
如图所示，过正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.
证明：因为BB1∥CC1，BB1 平面CDD1C1，CC1 平面CDD1C1，
所以BB1∥平面CDD1C1.
又BB1 平面BEE1B1，且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，
所以BB1∥EE1.
探究点3 线面平行的探索性问题
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
【解】 若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
探究性问题一般先假设结论存在，然后推出条件成立．本题利用线面平行性质定理推出MB∥ NF，然后证明四边形BFNM是平行四边形，最后通过计算求出M的位置．
解：如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是( )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交
解析：若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.
√
2．在三棱台ABC A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．不确定
解析：在三棱台ABC A1B1C1中，AB∥A1B1，AB 平面A1B1C1，A1B1 平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.
√
3．如图，为正方体ABCD A1B1C1D1切去一个三棱锥B1 A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是________．
解析：如图，将其补成正方体ABCD A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B.依题意可知D1O1∥OB，且D1O1＝OB，所以四边形D1OBO1为平行四边形，所以D1O∥O1B.因为BO1 平面A1BC1，D1O 平面A1BC1，所以直线D1O∥平面A1BC1.
答案：平行
4．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D是AB的中点．求证：BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.
因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
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数学
第八章 立体几何初步
第2课时 平面与平面平行的性质
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系．
2．归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明． 1.数学抽象、直观想象：平面与平面平行的性质定理的理解．
2．逻辑推理：利用平面与平面平行的性质定理证明直线与直线平行．
平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
图形语言
平行
a∥b
面面平行的性质定理的条件是什么？
提示：用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行．( )
(2)若两个平面平行，则两个平面内的所有直线都相互平行．( )
(3)若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．( )
√
×
√
2．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A．l∥β B．l β
C．l∥β或l β D．l，β相交
√
3．已知长方体ABCD A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
√
探究点1 利用面面平行的性质定理证明线线平行
[问题探究]
由面面平行能推出线面平行吗？
线线平行、线面平行、面面平行之间关系如何转化？
探究感悟：能，两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行．
三者之间的相互转化关系如图所示．
如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
【证明】 因为BE∥AA1，AA1 平面AA1D，
BE 平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD 平面AA1D，
BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D，
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
平面与平面平行的性质定理的应用
如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
探究点2 利用面面平行的性质定理求线段长
如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
(变条件)将本例改为：若点P位于平面 α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
与平行的性质有关的计算的三个关键点
(1)根据已知的面面平行关系推出线线平行关系．
(2)在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．
(3)利用所得关系计算求值．
如图，已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，求AC的长．
探究点3 平行关系的综合问题
如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中 ，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．
【解】 当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：如图所示，取BB1的中点F，AB的中点E，连接EF，FD，DE.
因为E，F分别为AB，BB1的中点，
所以EF∥AB1.
因为AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
又在平行四边形CBB1C1中，因为D，F分别为CC1，BB1的中点，所以DF∥B1C1.
因为B1C1 平面AB1C1，DF 平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1.
因为EF∩FD＝F，
所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE 平面EFD，所以DE∥平面AB1C1.
(1)关于面面平行条件的探究
①从线线平行的角度：确定出动点的位置满足线线平行，从而得到线面平行，进而证明面面平行．
②从面面平行的角度：先确定出满足条件的、且与已知平面平行的平面，则动点在线上或面内任意点均满足面面平行．
(2)关于空间中线、面平行的内在联系
如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，记图中阴影平面为平面α，且平面α∥平面BC1E.若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，求AF的长．
解：因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE.
又因为A1E∥BF，所以四边形A1EBF是平行四边形．
在棱长为3的正方体ABCD A1B1C1D1中，因为B1E＝1, 所以BF＝A1E＝2，所以AF＝1.
1．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
解析：可以想象四棱柱．由面面平行的性质定理可得．
√
2．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关系可能是( )
A．平行或相交
B．相交或异面
C．平行或异面
D．平行、相交或异面
√
解析：当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，
显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β、平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件，故选D.
解析：因为平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A.
4．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．
证明：因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
所以C1N∥AM.又AC∥A1C1，
所以四边形ANC1M为平行四边形．
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数学
第八章 立体几何初步
8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1．了解基本事实4.
2．了解等角定理． 1．数学抽象：基本事实4和等角定理的理解．
2．直观想象、逻辑推理：应用基本事实4和等角定理证明两直线的平行．
平行
传递
相等或互补
1．基本事实4的实质及作用是什么？
提示：实质上是说平行具有传递性；是判断空间两条直线平行的依据．
2．应用等角定理时，两个角何时相等何时互补？
提示：图中的①组相等，②组互补．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.( )
(2)若a∥b，b∥c，则a，c无公共点．( )
(3)如果两个角相等，则它们的边互相平行．( )
√
√
×
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR＝( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
√
3．在长方体ABCD A′B′C′D′中，与AD平行的棱有________．(填写所有符合条件的棱)
答案：A′D′，B′C′，BC
探究点1 基本事实4的应用
[问题探究]
平面中，如果两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行，空间中，有此结论吗？
探究感悟：没有．这两条直线可能相交、平行或异面．
如图，E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．
空间角相等的证明方法
(1)等角定理是较常用的方法，“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．
如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB.
1．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
2．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
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