(共34张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．6.3 平面与平面垂直(二)
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系．
2．归纳出平面与平面垂直的性质定理． 1.数学抽象、直观想象：平面与平面垂直的性质定理的理解．
2．逻辑推理：利用平面与平面垂直的性质定理证明与垂直相关的问题．
垂直
a⊥β
1．平面与平面垂直的性质定理有什么作用？
提示：(1)判定直线和平面垂直；
(2)作平面的垂线．
2．分别在两个垂直平面内的两条直线有哪些位置关系？
提示：平行、相交(含垂直)或异面．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个平面垂直，则两个平面内任意两条直线互相垂直.( )
(2)若平面α⊥平面β，且直线b α，则直线b垂直于平面β内的无数条直线．( )
(3)若平面α⊥平面β，α∩β＝l，b⊥l，则b⊥β.( )
×
√
×
2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m α，m⊥l，则( )
A．m∥β B．m β
C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直
3．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
答案：平行
√
探究点1 面面垂直性质定理的应用
[问题探究]
由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗？
探究感悟：不一定，可能平行也可能相交．
已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
【证明】 如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD 平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，所以BC⊥AC.
应用面面垂直的性质定理的策略
[注意] 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
探究点2 垂直关系的综合问题
如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【证明】 (1)如图，取EC的中点F，连接DF.
因为EC⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以EC⊥BC.
同理可得BD⊥AB.
易知DF∥BC，所以DF⊥EC.
又FD＝BC＝AB，
所以Rt△EFD≌Rt△DBA(SAS)，故DE＝DA.
所以N点在平面BDM内．
因为EC⊥平面ABC，BN 平面ABC，
所以EC⊥BN.
因为△ABC为正三角形，N为CA的中点，所以CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.
因为BN 平面MNBD，
所以平面MNBD⊥平面ECA，
即平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，
所以DM⊥平面ECA.
又DM 平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝BC，点P是棱AC的中点．
(1)求证：AB1∥平面PBC1；
(2)求证：平面PBC1⊥平面AA1C1C.
因为OP 平面PBC1，AB1 平面PBC1，所以AB1∥平面PBC1.
(2)在△ABC中，AB＝BC，点P是棱AC的中点，所以BP⊥AC.
因为AA1⊥平面ABC，又PB 平面ABC，所以AA1⊥PB.又因为AC，AA1 平面AA1C1C，且AC∩AA1＝A，所以PB⊥平面AA1C1C.因为PB 平面PBC1，所以平面PBC1⊥平面AA1C1C.
1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( )
A．l∥β或l β B．l∥m
C．m⊥α D．l⊥m
解析：由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l β，A成立；m与α不一定垂直，C不成立；l与m平行、相交、异面都可能，所以B，D不成立．
√
2．已知长方体ABCD A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则( )
A．ME⊥平面ABCD
B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD
D．以上都有可能
解析：因为ME 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.
√
3．把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________对．
解析：由已知得CD⊥AD，CD⊥BD，BD∩AD＝D，所以CD⊥平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因为平面ADC⊥平面BDC，所以互相垂直的平面有3对．
答案：3
4. 如图，在三棱锥P ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA 平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放(共37张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．6.2 直线与平面垂直(二)
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．
2．归纳出直线与平面垂直的性质定理．
3．了解直线与平面、平面与平面间的距离． 1.直观想象、逻辑推理：直线与平面垂直的性质定理的理解及应用．
2．数学抽象、数学运算：直线与平面、平面与平面间的距离的理解及计算．
1．直线与平面垂直的性质定理
平行
a∥b
2.线面距与面面距
(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的__________到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
任意一点
任意一点
相等
垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？
提示：共面．由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，能确定一个平面，两直线一定共面．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．( )
(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.( )
(3)若α∥β，l为平面α内任意一条直线，则直线l到平面β的距离等于两个平面间的距离．( )
√
√
√
2．若空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
解析：取BD的中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面AOC，BD⊥AC.
又BD，AC异面，故选C.
√
3．若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________．
答案：2
4. 如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
答案：6
探究点1 线面垂直的性质定理的应用
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【证明】 因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，
所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，
所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
关于线面垂直性质定理的应用
在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1.
证明：因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
探究点2 线面距离与面面距离
[问题探究]
空间中，是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？
探究感悟：不是，只有当直线与平面平行、平面与平面平行时才涉及距离问题．
则直线AC1与平面BED的距离为1.
空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
√
探究点3 直线与平面垂直关系的综合应用
如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.
【证明】 因为SA⊥平面ABCD，
所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
(变条件)本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？
证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，
所以BC⊥AE.
因为AF⊥SC，EF⊥SC，AF∩EF＝F，
所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
综合应用线面垂直的判定、性质证明线线垂直时，一是根据已知的垂直关系，确定需要证明的直线和平面；二是思路调整，比如要证明直线a垂直于平面α内的直线b，往往需要证明直线b垂直于直线a所在的平面β.
已知斜边为AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图．
(1)求证：EF⊥PB；
(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
证明：(1)因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为△ABC为直角三角形，
所以BC⊥AC.因为PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
因为PB 平面PBC，所以AF⊥PB.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.又EF 平面AEF，所以EF⊥PB.
(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
1．已知平面α∥平面β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线l与B1B所在直线不重合，直线l⊥平面A1C1，则有( )
A．B1B⊥l B．B1B∥l
C．B1B与l异面 D．B1B与l相交
解析：因为B1B⊥平面A1C1，l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.
√
3．在四棱台ABCD A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为________．
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为4.所以所求距离为4.
答案：4
4．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.
证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，所以AE⊥平面CDP.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放(共43张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．6.2 直线与平面垂直(一)
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．
2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．
3．了解直线与平面所成的角． 1.数学抽象、直观想象：直线与平面所成的角的理解与计算．
2．逻辑推理：直线与平面垂直的判定与证明．
1．直线与平面垂直
定义 如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的______．它们唯一的公共点P叫做______
任意一条
垂线
垂面
垂足
图示及画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
两条相交
3.直线和平面所成的角
(1)有关概念
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的________叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引______PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
相交
垂直
交点A
垂线
(2)直线与平面所成的角
定义 平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角
规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是______
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是__________________
射影
90°
0°
0°≤θ≤90°
1．如果直线l和平面α垂直，那么直线l与平面α内的直线是什么位置关系？
提示：垂直．
2．能将定理中的“两条相交直线”中的“相交”去掉吗？
提示：不能，判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( )
(2)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( )
(3)若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线所成的角均为90°.( )
(4)若直线l与平面α所成的角为0°，则直线l∥平面α.( )
×
×
√
×
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
√
3．若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角的大小为( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
√
4．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
√
探究点1 直线与平面垂直的认识
(多选)下列命题中正确的是( )
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直
√
√
【解析】 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以D正确．
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得“线面垂直 线线垂直”，即：若a⊥α，b α，则a⊥b.
1．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析：因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．
又因为m α，所以l与m相交或异面．
由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.
故l与m不可能平行．
√
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于平面α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．
√
探究点2 直线与平面垂直的判定(证明)
如图所示，AB⊥BC，△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，AC中点为D.求证：SD⊥平面ABC.
【证明】 因为SA＝SC，D为AC中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
又SA＝SB，所以△SDA≌△SDB.
所以∠SDA＝∠SDB，即SD⊥DB.
又AC∩BD＝D，AC 平面ABC，BD 平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(变条件、变设问)在本例条件下，若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：因为BA＝BC，D为AC中点，
所以BD⊥AC.
因为SD⊥平面ABC，BD 平面ABC，所以BD⊥SD，
因为AC 平面SAC，SD 平面SAC，AC∩SD＝D，
所以BD⊥平面SAC.
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(2)线线垂直和线面垂直的相互转化
1．如图，四棱锥P ABCD的底面是菱形，且PA＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点．求证：PO⊥平面ABCD.
证明：在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，所以PO⊥BD.
在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，
所以PO⊥AC.
又因为AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.
2．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM.
证明：因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
探究点3 直线与平面所成的角
[问题探究]
在直线和平面所成的角的定义中，点P是唯一的点吗？斜线在平面内的射影是一条线段吗？
探究感悟：(1)点P具有任意性，它是斜线上异于斜足A的任意点．
(2)斜线在平面α上的射影是一条直线，而不是一条线段，它是过斜足和垂足的一条直线．
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
【解】 取AA1的中点M，连接EM，BM.
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
在圆柱OO1中，O是上底面圆心，AB是下底面圆的直径，点C在下底面圆周上，若△OAB是正三角形，OC⊥AB，求OC与平面OAB所成的角．
1．已知直线l，m和平面α，m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若l⊥α，则l⊥m一定成立，即必要性成立．若l⊥m，则l⊥α不一定成立，只有当l垂直于平面α内的两条相交直线时，该结论才成立，故充分性不成立．综上所述，“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B.
√
2．(多选)如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；
③圆的两条直径；④正五边形的两边．
那么能保证该直线与平面垂直的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
√
√
√
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，选项A，C，D中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而B中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故选ACD.
√
因为PA⊥平面ABCD，
所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角．
4．如图，平面α∩平面β＝CD，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B.求证：AB⊥CD.
证明：因为EA⊥α，CD α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同理因为EB⊥β，CD β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，根据直线和平面垂直的判定定理，则有CD⊥平面AEB.
又因为AB 平面AEB，所以CD⊥AB.
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放(共45张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．6.3 平面与平面垂直(一)
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系．
2．了解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义．
3．归纳出平面与平面垂直的判定定理． 1.数学抽象、直观想象：理解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义．
2．逻辑推理：利用判定定理证明平面与平面垂直．
1．二面角
定义 从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的____，这两个半平面叫做二面角的____
图形
表示法 二面角α AB β或二面角α l β或二面角P AB Q或二面角P l Q
两个半平面
棱
面
2.二面角的平面角
(1)定义：在二面角α l β的棱l上______一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作________棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
任取
垂直于
0°
180°
(3)规定：二面角的大小可以用它的________来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是______的二面角叫做直二面角．
平面角
直角
3．面面垂直的定义
定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图
记作 α⊥β
直二面角
垂线
二面角的平面角的大小是否与角的顶点在棱上的位置有关？
提示：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角是两个平面相交时两个平面所夹的锐角．( )
(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.( )
(3)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直．( )
×
×
√
2．在二面角α l β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α l β的平面角，则必须具有的条件是( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
√
3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在
4．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
√
√
探究点1 二面角
[问题探究]
二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，构成二面角的平面角的三要素是什么？
探究感悟：三要素是“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直．
(1)如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，求二面角D′ AB D的大小．
(2)如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点．PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若△PAB为等边三角形，求二面角α CD β的大小．
【解】 (1)在正方体ABCD A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′ AB D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′ AB D的大小为45°.
因为△PAB为等边三角形，所以∠APB＝60°，所以∠BEA＝120°.
故二面角α CD β的大小为120°.
(变设问)在本例(1)的条件下，求二面角A1 BD A的正切值．
(1)求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
(2)确定二面角的平面角的方法：
①定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
②垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
③线面垂直法：该法就是利用线面垂直来寻找二面角的平面角，是最常用的也是最好用的一种方法，由一个半平面内异于棱上的点A向另一半平面作垂线，垂足为点B，由B点向二面角的棱作垂线，垂足为点O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角(或其补角).
如图，已知三棱锥A BCD的各棱长均为2，求二面角A CD B的余弦值．
探究点2 平面与平面垂直的判定(证明)
[问题探究]
两条直线垂直可以利用两直线所成的角是直角来判断，且两直线可能相交，也可能不相交，对于两个平面垂直怎么来判断？两平面垂直是否一定相交呢？
探究感悟：两个平面垂直可利用相交平面所成的二面角是直二面角来判断，并且两平面垂直一定相交．
(1)如图，在四棱锥P ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.
【证明】 (1)因为PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，
所以BD⊥PA.
因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又因为BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.
(2)因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，则∠AEC是二面角A BD C的平面角．
因为AC2＝AE2＋CE2，
所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，
所以二面角A BD C为直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD.
证明平面与平面垂直的两种常用方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义判定这两个相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
√
解析：A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正确；
易知B正确；
C中，α∥β，仍然可以满足m⊥n，m α，n β，所以C不正确；
D中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正确．故选B.
2．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点D是棱BC的中点，且AB＝AC.求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
证明：因为BB1⊥平面ABC，又AD 平面ABC，
所以BB1⊥AD.
因为D是BC的中点，且AB＝AC，所以AD⊥BC.
因为BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.
因为AD 平面AC1D，
所以平面AC1D⊥平面BCC1B1.
1．过平面α外两点且垂直于平面α的平面( )
A．有且只有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有两个 D．有一个或无数个
解析：当这两点的连线与平面α垂直时，有无数个，否则只有一个．
√
2．(多选)在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PAE⊥平面ABC
D．平面PDE⊥平面ABC
√
√
√
解析：如图，由题意知BC∥DF，所以BC∥平面PDF.由正四面体的性质知BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC.
3．自空间一点分别向大小为70°的二面角的两个半平面引垂线，则这两条垂线所成的角的大小是________．
解析：如图，PB⊥α，PC⊥β，易知∠BAC＝70°，由四边形PBAC的内角和为360°，可知∠BPC＝110°.由空间中两直线所成角的取值范围可知，这两条垂线所成的角的大小为70°.
答案：70°
4．如图①所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高．以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角，如图②所示，求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD 平面BDC，DC 平面BDC，且BD∩DC＝D，
所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放(共32张PPT)
数学
第八章 立体几何初步
8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
从直线与直线位置关系定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 1.数学抽象、直观想象：了解异面直线所成的角的概念．
2．逻辑推理：借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直．
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线____________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则θ的取值范围是__________________．
a′与b′
(0°，90°]
2．异面直线互相垂直
(1)定义：如果两条异面直线所成的角是______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(2)记法：直线a与直线b垂直，记作a____b.
直角
⊥
两条直线垂直，一定相交吗？
提示：不一定．当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，但不一定相交．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O位置不同时，这一角的大小也不同．( )
(2)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°].( )
(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．( )
×
×
√
√
3．若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为________．
答案：70°
探究点1 异面直线所成的角
[问题探究]
异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先应将异面直线平移成相交直线，那么定义中的点O一般如何选取呢？
探究感悟：定义中的点O常选取代表两异面直线的其中一条的线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．
如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
【解】 (1)如图，因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(变条件)在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，因为O为AH的中点，所以OP∥AF，又CD∥AB，
所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角．由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.
求两异面直线所成的角的步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是所要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．
[注意] 可用“一作二证三计算”来概括，同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
探究点2 直线与直线垂直的证明
已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证OD1⊥A1C1.
【证明】 连接AC，BD交于点O，
连接OD1，AD1，
证明两异面直线垂直的步骤
(1)作出两异面直线所成的角．
(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系．
(3)结论得出两异面直线垂直．
在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.
1．已知直线a，b，c，则( )
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b
解析：由异面直线所成角的定义可知C正确．
√
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，与直线BA1垂直的棱所在直线的条数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AD，A1D1，BC，B1C1，共有4条直线与直线BA1垂直．故选A.
√
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中．
(1)AA1与C1D1所成的角的度数为________；
(2)AA1与B1C所成的角的度数为________．
解析：(1)因为AA1∥DD1，所以∠DD1C1即为所求的角．
因为∠DD1C1＝90°，所以AA1与C1D1所成的角为90°.
(2)因为AA1∥BB1，所以BB1C即为所求的角．因为∠BB1C＝45°，
所以AA1与B1C所成的角为45°.
答案：(1)90° (2)45°
4. 如图，AB是圆O的直径，C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
解：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC.
因为点C是弧AB的中点，
所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.
在△VBC中，因为D，E分别为VB，VC的中点，所以DE∥BC，
所以∠ABC为DE与AB所成的角．
所以DE与AB所成的角为45°.
请做：应用案 巩固提升
word部分：
点击进入链接
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
