2023-2024学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定 优生辅导练习题（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
优生辅导练习题（附答案）
一．选择题
1．已知四边形ABCD对角线互相平分，添加以下哪个条件可以使它成为菱形（　　）
A．一组对边相等 B．对角线相等
C．对角线垂直 D．一个内角为90°
2．菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（　　）
A．24 B．30 C．40 D．48
3．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，AE＝2BE，DE＝5，则菱形的边长为（　　）
A．3 B．2 C．5 D．
4．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，联结CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（　　）
A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（2，2），若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（　　）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向左平移（2﹣1）个单位，再向上平移2个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移个单位，再向上平移2个单位
7．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EE若菱形ABCD的面积为16，则△AEF的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B＝70°，则∠EDC的大小为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为（　　）
A．2 B．2 C．6 D．8
10．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题
11．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝，则BD的长为 　 　（结果保留根号）．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 　 　．
13．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是 　 　形；如果直尺的宽度是cm，两把直尺所夹的锐角为45°，那么这个四边形的周长为 　 　cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为　 　．
15．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝　 　．
16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是　 　．
17．如图（1）是一张菱形纸片，其中∠A＝135°，AB＝+1，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为B'；如图（3），将纸片再沿AB'折叠，点E的对应点为E'．当AE'与菱形的边垂直时，BE的长为 　 　．
18．如图，木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成，在A，E，F，C，G，H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离AC为24cm，则B，D之间的距离（即线段BD的长）为 　 　cm．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 　 　．
三．解答题
20．如图，点E、F分别在 ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，∠BAF＝∠DAE．求证： ABCD是菱形．
21．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求CE的长．
23．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，连接EB，GD．且∠DAB＝∠EAG
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
24．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形，并说明理由；
（2）若AB＝8cm，BC＝16cm，求线段DF及折痕EF的长．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形．
（2）若BD＝30，MN＝16，求菱形BNDM的周长．
26．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
（1）求证：△ABE≌△AGF；
（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，，求AC EF的值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；
D、一个内角为90°的平行四边形是矩形，故D不符合题意；
故选：C．
2．解：在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB＝90°，BO＝4，
在RT△AOB中，AO＝＝3，
∴AC＝2AO＝6．
∴则此菱形面积是：＝24．
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
设BE＝x，则AE＝2x，
∴AD＝AB＝AE+BE＝3x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝＝x，
∵DE＝5，
∴x＝5，
∴x＝，
∴AB＝3，
即菱形的边长为3，
故选：A．
4．解：连接AC，如图：
∵AE，AF分别垂直平分BC，CD，
∴AB＝AC，AD＝AC，∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．
故选：C．
5．解：添加CD＝CE，可以使四边形ADCE成为菱形，理由如下：
如图，设AC于ED交于点O，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，BE∥CD，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DE，
∵CD＝CE，
∴OD＝OE，
∵AB∥CD，
∴∠EAO＝∠DCO，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OA＝OC，
∵OD＝OE，
四边形ADCE是平行四边形，
∵CE＝CD，
∴四边形ADCE是菱形．
因为添加其他条件，都不可以使四边形ADCE成为菱形．
故选：C．
6．解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC＝OA，则四边形OACB是平行四边形，
过B作BH⊥x轴于H，
∵B（2，2），
∴OB＝，
∵A（2，0），
∴C（2+2，2），
∴OA＝OB，
∴则四边形OACB是菱形，
∴平移点A到点C，向右平移2个单位，再向上平移2个单位而得到，
故选：C．
7．解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积＝AC×BD，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴ab＝16，即ab＝32，
∴△AEF的面积＝AG×EF＝×a×b＝ab＝6．
故选：B．
8．解：根据菱形的对角相等得∠ADC＝∠B＝70°．
∵AD＝AB＝AE，
∴∠AED＝∠ADE．
根据折叠得∠AEB＝∠B＝70°．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝70°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）÷2＝55°．
∴∠EDC＝70°﹣55°＝15°．
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝16，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝96，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝6，
故选：C．
10．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
在△ABC和△EFA中，
，
∴△ABC≌△EFA（SAS），
∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴FH∥BC，
∵F是AB的中点，
∴FH是△ABC的中位线，
∴FH＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴BD＝4FH，故④正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠FEA，
在△DBF和△EFA中，
，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB＝AD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AB＞AC，
∴AD＞AE，
∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；
∵AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③正确，
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，连接AC，交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°，
又∵∠ECM＝30°，
∴∠DCF＝50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝40°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH＝DF＝，
∴DB＝2DH＝．
故答案为：．
12．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，
∵点E是CD的中点，
∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM＝AC＝4．
同理，FM∥BD，FM＝OD＝BD＝3．
在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．
故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5．
故答案是：5．
13．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两直尺的宽度相等为cm，
∴DE＝DF＝cm．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵平行四边形ABCD的面积＝AB DE＝BC DF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，
∵∠DAB＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝DE＝×＝3（cm），
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4×3＝12（cm），
故答案为：菱，12．
14．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC＝90°，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BD＝DF＝GF＝BG＝10，则AF＝AG﹣GF＝26﹣10＝16，AC＝2BD＝20，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即162+CF2＝202，
解得：CF＝12．
故答案是：12．
15．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，
即BD AG＝AB OE+AD OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
16．解：如图，设CD与AB1交于点O，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，
∴AE＝，
由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形，
∴S△ABB1＝BA AB1＝2，S△ABE＝1，
∴CB1＝2BE﹣BC＝2﹣2，
∵AB∥CD，
∴∠OCB1＝∠B＝45°，
又由折叠的性质知，∠B1＝∠B＝45°，
∴CO＝OB1＝2﹣．
∴S△COB1＝OC OB1＝3﹣2，
∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）＝2﹣2．
17．解：∵BC∥AD，∠DAB＝135°，
∴∠B＝45°，
分两种情况讨论：①当AE′⊥BC时，如图，
设AE′，BC交于点F，
则∠FAB＝45°，FA＝FB＝（+1）×＝（+），
∴∠E′AB′＝∠B'AE＝∠BAE＝15°，
∴∠FAE＝30°，
∴EF＝＝＝，
∴BE＝（+）﹣＝；
②当AE'⊥AB时，如图，
则∠E′AB＝90°，
∴∠E'AB'＝∠B′AE＝∠BAE＝30°，
过点E作EG⊥AB于点G，
设BG＝x，则EG＝BG＝x，
∴AG＝x，
∴x+x＝+1，
解得x＝1，
∴BE＝BG＝，
综上可知，BE的长为或．
故答案为：或．
18．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AC＝24cm，
∴AO＝12cm，
∵AB＝13cm，
由勾股定理求得BO＝5cm，
∴BD＝2BO＝10（cm），
故答案为：10．
19．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，
∴AE＝＝＝5，
∴BE＝AE＝5，
∴BO＝8，
∴BC＝＝＝4，
∵点F为CD的中点，BO＝DO，
∴OF＝BC＝2，
故答案为：2．
三．解答题
20．证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
21．证明：（1）在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF．
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∵OA＝OC，
∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形．
22．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，
∴BD⊥AC，OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝5，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，
∴CE＝．
23．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2 ，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．
24．解：（1）四边形BFDE是菱形．
由折叠可知：EF垂直并平分BD BD与EF交于点O，
则BE＝DE BF＝DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DE∥BF，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE＝BF，
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四为形BFDE为菱形；
（2）设DF＝x，则FC＝16﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：FC2+DC2＝DF2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即DF的长为10，
过点E作EG⊥BC于G，则GF＝4，
由勾股定理得：EF＝＝4．
25．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：由（1）可知，OB＝BD＝15，OM＝ON＝MN＝8，四边形BNDM是菱形，
∴BN＝DN＝DM＝BM，
∵MN⊥BD，
∴∠BON＝90°，
∴BN＝＝＝17，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝68．
26．（1）证明：在 ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵ ABCD纸片沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处，
∴AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，∠D＝∠G，
∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，∠B＝∠G，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF，∠EAG＝∠GAF+∠EAF，
∴∠BAE＝∠GAF，
在△ABE和△AGF中，，
∴△ABE≌△AGF（ASA）；
（2）解：连接CF，∵△ABE≌△AGF，
∴AE＝AF，
根据翻折的性质EC＝AE，
∴EC＝AE＝AF，
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
根据翻折后点A、C重合，∴AC⊥EF，
∴ AECF是菱形，
∴AC EF＝2×菱形AECF的面积，
∵ ABCD的面积＝8，＝，
∴△AEC的面积＝×8×＝，
∴菱形AECF的面积等于，
∴AC EF＝2×菱形AECF的面积＝．