2022-2023学年湖南省湘西州吉首市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省湘西州吉首市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下各数是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长其中能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4. 如图，在 中，平分交于点，若 的周长为，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
6. 已知点在第二象限，则直线图象大致是下列的( )
A. B. C. D.
7. 如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长是( )
A. B. C. D.
8. 表是某班名学生右眼视力的检查结果：
视力
人数
则这名学生右眼视力的众数、中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
9. 如图，在中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点下列结论：
；
；
当时，则有；
关于的方程的解是：；
．
其中正确的有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为______ ．
12. 古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为，，记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在中，，，，则用海伦公式求得的面积为______ ．
13. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为______
14. 已知矩形，，，过对角线的中点作的垂直平分线，分别交，于点，，则的长为______．
15. 甲、乙两名同学次立定跳远成绩的平均值都是，方差分别是：，，这两名同学成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”．
16. 矩形的一边长是，一条对角线的长是，则这个矩形的面积是______．
17. 如图，函数和的图象相交于点，则关于，的方程组
的解为______．
18. 如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：；
计算：．
20. 本小题分
如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的周长．
21. 本小题分
如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为．
求，间的距离；
这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
22. 本小题分
如图，在 中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
已知，是的平分线，若，求的长度．
23. 本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，且．
分别求出这两个函数的解析式；
求的面积；
点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
24. 本小题分
为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间单位：，精确到，抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
求出扇形统计图中百分数的值为______，所抽查的学生人数为______．
求出平均睡眠时间为小时的人数，并补全频数直方图．
求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．
如果该校共有学生名，请你估计睡眠不足少于小时的学生数．
25. 本小题分
某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：
类别
价格 种 种
进货价元盒
销售价元盒
若经销商用元购进，两种粽子，其中种的数量是种数量的倍少盒，求，两种粽子各购进了多少盒？
若经销商计划购进种“粽子”的数量不少于种“粽子”数量的倍，且计划购进两种“粽子”共盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？
26. 本小题分
如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
求、、的值；
在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项正确，符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解： 和无法合并，不正确，故此选项不合题意；
B. ，正确，故此选项符合题意；
C. ，不正确，故此选项不合题意；
D. ，不正确，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则，分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、，故不是直角三角形，不合题意；
B、，故不是直角三角形，不合题意；
C、，故不是直角三角形，不合题意；
D、，故是直角三角形，符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
4.【答案】
【解析】解：在 中，，，，
，
平分交于点，
，
，
，
的周长为，
，
．
，
故选：．
在 中，，，，则，由平分交于点，则，进一步得到 ，由 的周长为，得到，则，即可得到答案．
此题考查了平行四边形的性质、等角对等边等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
随着的增大而增大，
点和点在一次函数的图象上，，
故选：．
欲求与的大小关系，通过题中即可判断随着的增大而增大，就可判断出与的大小．
本题考查了一次函数的性质，能否掌握，随着的增大而增大是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点在第二象限，
，，
直线在一、三、四象限．
故选A．
根据点在第二象限可得出、，结合一次函数图象与系数的关系可得出直线在一、三、四象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记由，的符号判断的图象所经过的象限是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：在菱形中，周长为，
，，
为边的中点，
，
故选：．
先根据菱形的性质可得，，再根据三角形中位线定理即可得．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：数据出现次，次数最多，所以众数为，
总人数是，所以中位数是从小到大或从大到小的顺序排列后的第个数据，所以中位数是．
故选：．
根据众数、中位数的定义即可解答．
本题主要考查了中位数、众数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
9.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图，则，
由作法得平分，
而，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：．
过点作于点，如图，则，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，接着证明为等腰直角三角形得到，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
10.【答案】
【解析】解：正比例函数随增大而增大，
，错误，
直线中随增大而减小，
，正确．
，错误．
直线与轴交点在轴上方，
，正确．
由图象可得当时直线在直线上方，
时，，正确．
两直线交点横坐标为，
时，，
的解是，正确．
正确，
故选：．
由正比例函数的性质可判断经过原点的直线为，另一条直线为，由时随增大而增大，时随增大而减小可判断，由直线与轴交点位置可判断，由两直线交点横坐标为可得是的解，从而判断由时两条直线的位置可判断．
本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程及不等式的关系，掌握一次函数图象与系数的关系．
11.【答案】
【解析】解：要使二次根式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，，
，
，
故答案为：．
先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，则，
故，
解得：，
答：绳索的长度是．
故答案为：．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
14.【答案】
【解析】解：连接，
垂直平分，
，
设，则，
在中，
，
即：，
解得：，
故答案为：．
连接，构造直角三角形，设为，则，利用勾股定理得到有关的一元一次方程，求得即可．
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理列出方程是解决问题的关键．
15.【答案】甲
【解析】解：，
甲同学成绩更稳定，
故答案为：甲．
根据方差的定义判断即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．
本题考查方差，掌握方差的性质即表示的意义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，
矩形的面积；
故答案为：．
由矩形的性质得出，，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理，矩形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】解：根据图象可知：函数和的图象的交点的坐标是，
所以关于，的方程组的解为，
故答案为：．
先根据函数图象找出两函数的交点坐标，再得出方程组的解即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，能根据图形得出交点坐标是解此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，取中点，连接交于，连接，
四边形是矩形，
，，，
点是中点，点是中点，
，
，
四边形是矩形，
点是的中点，
即为点的运动轨迹，
当时，有最小值，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，取中点，连接交于，连接，根据矩形的性质得到可得，当时，有最小值，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，确定点的运动轨迹是本题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】根据二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂计算即可求解；
根据二次根式的乘法，绝对值，平方差公式计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．同时考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，平方差公式．
20.【答案】证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
证明，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的性质得出，，，由勾股定理得，即可得出答案．
21.【答案】解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
答：，间的距离为．
这辆小汽车没有超速，理由如下：
，
而，
，
所以这辆小汽车没有超速．
【解析】利用勾股定理代入数据即可求得答案．
先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22.【答案】解：证明：四边形是平行四边形
，
且
四边形是平行四边形
又
四边形是矩形．
，，
，
四边形是矩形
平分
，且
．
【解析】本题考查了矩形判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
由题意可证是平行四边形，且，可得结论
根据勾股定理可求的长度，则可得的长度，即可求的长度．
23.【答案】解：正比例函数的图象经过点，
，
，
正比例函数解析式为
如图中，过作轴于，在中，，，
，
，
，
，解得，
一次函数解析式为；
如图中，过作轴于，
，
，
；
如图中，
当时，，，
当时，，
满足条件的点的坐标或或．
【解析】根据点坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点坐标即可求出一次函数解析式．
如图中，过作轴于，求出即可解决问题．
分两种情形讨论即可，．
本题考查一次函数综合题、三角形面积、等腰三角形等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．
24.【答案】；；
平均睡眠时间为小时的人数为：人；
平均睡眠时间为小时的人数为：人
补全频数直方图如图：
这部分学生的平均睡眠时间的众数是，
平均数小时；
名睡眠不足少于小时的学生数人．
【解析】解：；
所抽查的学生人数为：人；
故答案为：；；
见答案；
见答案；
见答案；
根据扇形统计图中的数据，可以得到的值，然后根据平均睡眠时间为小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数
根据统计图中的数据和中的结果，可以求得平均睡眠时间为小时的人数和小时的人数，然后即可将直方图补充完整
根据直方图中的数据，可以得到这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数
根据直方图中的数据，可以计算出睡眠不足少于小时的学生数．
此题考查了频数率分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
25.【答案】解：设购进种“粽子”盒，则购进种“粽子“盒，
由题意得，，
解得，，
答：购进种粽子盒，购进种粽子．
设购进种粽子盒，则购进种粽子盒，总利润为，
由题意可知，解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，，
答：当购进种粽子盒，购进种粽子盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润为元．
【解析】设购进种“粽子”盒，则购进种“粽子”盒，根据两种粽子的费用之和等于元，列出方程组求解即可．
设购进种粽子盒，则购进种粽子盒，总利润为，根据种“粽子”的数量不少于种“粽子”数量的倍，求出的范围，再列出关于的函数关系式，求最值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，列出方程或函数关系式是解题关键．
26.【答案】解：直线经过定点，
．
．
直线的函数解析式为．
直线经过点，
．
点的坐标为．
直线经过点，
．
．
综上所述，，．
在轴上存在一点，使的周长最短．
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的周长最短．
根据轴对称图形的性质可知的坐标为．
设直线的函数解析式为．
将，代入，得
，
解得
，
直线的函数解析式为．
令，得到，
点的坐标为．
【解析】将直线上点的坐标代入直线的函数解析式即可求得答案．
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点的坐标．
本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，以及轴对称图形的性质，根据题意作出轴对称图形是解题的关键．
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