2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，直线，直线，，分别交直线，于点，，，，，，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5. 一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
6. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
7. 如图，与是位似图形，位似中心为，，，的面积为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，，分别在轴的正半轴和负半轴上若，，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
9. 我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例加以说明，三国时期的数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则关于的方程的正数解为( )
A. B. C. D.
10. 如图，矩形，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 若与最简二次根式可以合并，则 ______ ．
12. 已知∽，其相似比为：，则它们的周长之比为______ ．
13. 若，是一元二次方程的两个根，则 ______ ．
14. 如图，把图中两条对角线长分别为和的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图所示的正方形，则图中阴影部分中间小正方形的面积为______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴和轴正半轴上的动点，连接，作的中点，在轴和轴上分别取点，，连接，若，，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．
17. 本小题分
解方程：；
已知关于的方程有两个相等的实数根，请求的值．
18. 本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
若，求证：四边形是矩形；
若四边形是菱形，且，，，求的面积．
19. 本小题分
阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
，
，
，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
求的值；
求的值．
20. 本小题分
如图，已知，点，在边上，连接，，使，且∽．
请判定的形状，并说明理由；
若，，求的面积．
21. 本小题分
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元．
连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？
22. 本小题分
【阅读理解】
配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大小值对于任意正实数，，可作如下变形：
又
即．
根据上述内容，回答问题： ______ ； ______ ； ______ 用“”“”“”填空
【思考验证】
如图，中，，于点，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．
【探索应用】
请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
如图，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和试问四边形的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由．
23. 本小题分
已知同一平面内的具有公共顶点的矩形和矩形，且，，连接．
当点是矩形边延长线上的一点时，延长交于点．
如图，若，猜想线段与之间的数量关系是______ ；
如图，若为任意实数，则中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
当点是平面内任意一点时，取的中点，如图所示，连接，若，，，请求出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
，
解得：，
的取值范围是：．
故选：．
直接利用二次根式的定义得出，进而求出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
先把化成，再把代入进行计算，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，解题的关键是化成．
3.【答案】
【解析】解：与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查菱形的性质、矩形的性质以及正方形的性质．
根据菱形，矩形，正方形具有的性质依次判断选项即可．
【解答】
项，矩形四边不相等，菱形四角不相等，故A项错误
项，菱形对角线不相等，故B项错误
项，矩形对角线不互相垂直，故C项错误
项，菱形、矩形、正方形的对角线都互相平分，故D项正确，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：与是位似图形，
∽，，
∽，
，
，，
，
，
，
的面积为，
的面积为，
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，，得到∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：过作轴于，
，
四边形是矩形，，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
点在第三象限，
点，
故选：．
由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设矩形的宽为，长为，
大正方形的面积为，小正方形的面积为，
，，
，，
故选：．
根据图形列方程组求解．
本题考查了一元二次方程的应用，掌握数形结合思想是截图的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接点和点，如图：
，，
∽，
，
，
延长至点，使，连接，则，
，
当点为与的交点时，取最小值，此时
即的最小值为，
故选：．
本题的思路是先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将转化为，然后做关于的对称线段，结论自然可得．
本题考查了矩形的性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：与最简二次根式可以合并，
．
故答案为：．
根据同类二次根式的定义得出答案即可．
本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
12.【答案】：
【解析】解：∽，其相似比为：，
它们的周长比为：，
故答案为：．
根据相似三角形的性质即可得到答案．
本题考查相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
13.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，菱形中，，，
，，
图中正方形的边长，
阴影的面积．
故答案为：．
如图，由菱形的性质，得到，，因此图中正方形的边长，即可得到阴影的面积．
本题考查菱形的性质，正方形的面积，关键是由菱形的性质，求出直角三角形的直角边的长．
15.【答案】
【解析】解：设点，点，
点为中点，
点，
，
，
此时，
，
，
，
，
要使最小，则，．
．
故答案为：．
先表示出点的坐标，再求出与，最后根据结合二次根式的知识判断的最小值．
本题主要考查了勾股定理的知识、二次根式的知识，有一定的难度．
16.【答案】解：原式
；
原式
，
当时，
原式
．
【解析】先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可；
先根据二次根式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
或，
解得，；
方程有两个相等的实数根，
，
整理得，
解得或．
【解析】将看作整体，根据因式分解法解一元二次方程；
根据根的判别式，建立关于的方程，求出的值．
本题考查了解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法和一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，
即，
又，，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：连接，交于点，
四边形是菱形，
，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【解析】证≌，得，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
连接，交于点，由菱形的性质得，，再由勾股定理得，进而由三角形面积求出，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
的值为；
由得：，，
，
，
，
，
的值为．
【解析】利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
利用的结论可得，从而可得，进而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：为等边三角形，理由如下：
∽，
，
，
是等腰三角形，
又，
是等边三角形；
∽，
，
又，，的等边三角形，
，
负值已舍，
如图，过点作于，
，
，
．
【解析】根据三角形相似结合即可判断；
根据三角形相似得出等式求出等边三角形边的长从而得出高，即可得出结果．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：设每次下降的百分率为
根据题意得：
解得：，不合题意舍去
答：每次下降
设涨价元
解得：，不合题意舍去
答：每千克应涨价元．
【解析】设每次下降的百分率为，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；
设涨价元，根据总盈余每千克盈余数量，可列方程，可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到题目中的相等关系，列出方程是本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：【阅读理解】，
当时，；
当时，．
，，．
故答案为：，，．
【思考验证】由题意得，，．
，为边上中线，
．
又，
．
在中，是斜边，是其中的一直角边，
，即．
当点与重合时，．
【探索应用】设该矩形花圃的长是米，则其宽是米．
根据题意，得篱笆的长度．
由上述结论，得，即．
当时，即时，取最小值．
所用的篱笆至少为米．
设．
与底边上的高相等，与底边上的高相等，
，
，解得．
．
．
，当时，即时取等号．
四边形面积的最小值存在，为．
【阅读理解】对进行分析可知，当时，；当时，据此判断即可．
【思考验证】根据题意，将和用和表示出来，由，得当点与重合时，即当时取等号．
【探索应用】设该矩形花圃的长是米，将宽用面积和表示出来，进而写出篱笆长度的表达式，并利用题中结论求其最小值；
设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可．
本题考查配方法等的应用，利用题目中所给结论解题即可．
23.【答案】
【解析】解：．
理由如下：如图，过点作交延长线于点，
，
，，
矩形、都是正方形，
，
，
≌，
，
，
，，
≌，
．
故答案为：；
成立．
理由如下：如图，过点作交延长线于点，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，，
≌，
；
，，，
，，
当点、、三点共线时，取得最大值与最小值，
当在上时，取得最小值，
，
当在延长线上时，取得最大值，
，
的取值范围为：．
过点作交延长线于点，判定≌，推出，再判定≌，即可得到线段与之间的数量关系；
过点作交延长线于点，判定∽，根据相似三角形的性质和已知条件推出，再判定≌，即可得到线段与之间的数量关系；
根据题意可知：当点、、三点共线时，取得最大值与最小值，然后进行分类讨论即可解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段的和差等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
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