2022-2023学年广东省汕尾市陆河县新田中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省汕尾市陆河县新田中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
3. 应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止年底，全省终端用户达万户．数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在 中，一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知∽，，若，则( )
A. B. C. D.
8. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 单项式的系数为______ ．
12. 二次根式中，的取值范围是______．
13. 分解因式： ．
14. 扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积结果保留为 ．
15. 已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中若，则的值为 ．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
16. 计算：．
17. 如图，在某建筑物上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅，小明站在点处，看条幅顶端，测的仰角为，再往条幅方向前行米到达点处，看到条幅顶端，测的仰角为，求宣传条幅的长．小明的身高不计，结果精确到米
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
解不等式组：．
19. 本小题分
如图，是的直径，点在上，且，．
尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点，连接保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图形中，求点到的距离．
20. 本小题分
某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”简称“劳动时间”情况，在本校随机调查了名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别 “劳动时间”分钟 频数 组内学生的平均“劳动时间”分钟
根据上述信息，解答下列问题：
这名学生的“劳动时间”的中位数落在______ 组；
若该校有名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的人数．
若从组中的名男生和名女生中随机抽两人进行劳动观念教育，求恰好抽到一男一女生的概率用树状图或列表法解答
21. 本小题分
如图，在 中，，交于点，点，在上，．
求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．
22. 本小题分
为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多元，购买吨甲种有机肥和吨乙种有机肥共需元．
甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共吨，且总费用不能超过元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
23. 本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，．
试判断的形状，并给出证明；
若，，求的长度．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线是常数经过点，点点在此抛物线上，其横坐标为．
求此抛物线的解析式．
当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围．
若此抛物线在点左侧部分包括点的最低点的纵坐标为．
求的值．
以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
应用相反数的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的定义进行求解是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
应用幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解即可得出答案．
【解答】
解：．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解决本题的关键．
根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【解答】
解：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：点与点关于原点成中心对称，
，，
，
故选：．
由中心对称的性质可求，的值，即可求解．
本题考查了中心对称，关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
5.【答案】
【解析】解：根据图形可以得到：
；
所以：、、都是错误的；
故选：．
利用数轴得与实数得关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：∽，
，
，，
，
，
故选：．
利用相似三角形的性质可得，代入即可得出的长．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：一次函数中，，
随着的增大而增大．
点和是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理、三角形中位线等知识点如图，连接，过点作于点，求得正方形的边长为，证得，最后在和中，，列出方程即可求解．
【解答】
解：如图，连接，过点作于点，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
，
在中，，
平分，，，
，，
又，
，
，
，
，
．
设，则，
在和中，，
，解得，
，
．
点，分别为，的中点，
为的中位线，
．
故选D．

11.【答案】
【解析】解：单项式的系数为．
故答案为：．
根据单项式的系数的定义，即可求解．
本题主要考查了单项式的系数，熟练掌握单项式中的数字因式是单项式的系数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由得
．
由二次根式有意义的条件得，解得．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解即可得出答案．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的性质，二次函数图象与几何变换，表示出点，，，的坐标是解本题的关键．先判断出抛物线的图象可由的图象向右平移两个单位得到，进而画出图象，再借助，求出点的坐标，即可求出答案．
【解答】
解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线的图象可由的图象向右平移两个单位得到，
，
，
两函数的图象如图所示：
由平移得，，
，，
，
，
点，关于直线对称，
，
点在抛物线 上，
，
，
故答案为：．
16.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】解：，，，
．
米．
在中，
米．
答：宣传条幅的长是米．
【解析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形、，应利用其公共边构造等量关系，借助构造方程关系式，进而可求出答案．
本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
18.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为．
【解析】分别解出每个不等式的解集，再找解集的公共部分求出不等式组的解集即可．
本题考查不等式组的计算，准确地计算能力是解决问题的关键．
19.【答案】解：分别以、为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，与圆的交点即为，则即为的垂线，连接，如图即为所求；
由题意知，
，
半径为，
如图，记与的交点为，
，
点是中点，
是的中位线，
，，
，
点到的距离是．
【解析】如图，作的垂直平分线，与圆的交点即为，连接即可；
由题意知，则半径为，如图，记与的交点为，则是的中位线，，，即点到的距离是．
本题考查了作垂线，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，中位线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20.【答案】
【解析】解：由题意可知，名学生的“劳动时间”的中位数是第、个数，
故本次调查数据的中位数落在组，
故答案为：；
人，
估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的有人．
记两个男生标记为，，两个女生标记为，，
则从中随机抽两人的所有可能结果如下表所示，
所有的可能性为种，而满足条件的总共种，
恰好抽到一男一女生的概率为．
根据中位数的定义可知中位数落在组；
用样本估计总体即可；
画出树状图即可得到答案．
本题考查了概率与统计的知识，列树状图，解题的关键是仔细读图，并从中找到进一步解题的有关信息．
21.【答案】证明：在 中，，，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
22.【答案】解：设甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元．
设购买甲种有机肥吨，则购买乙种有机肥吨，
依题意得：，
解得：．
答：小姣最多能购买甲种有机肥吨．
【解析】设甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元，根据“甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多元，购买吨甲种有机肥和吨乙种有机肥共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种有机肥吨，则购买乙种有机肥吨，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：是等腰直角三角形，证明过程如下：
为的直径，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
在中，，
，
在中，，，
．
即的长为：．
【解析】根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
24.【答案】解：将，代入得，
解得，
．
令，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
抛物线开口向上，
或时，点在轴上方．
，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，抛物线顶点为最低点，
，
解得，
当时，点为最低点，
将代入得，
，
解得舍，．
或．
当时，点在轴上，，
抛物线顶点坐标为，
点坐标为或符合题意．
当时，如图，过点作轴平行线，交轴于点，作于点，
，
，
又，，
≌，
，即，
解得舍，．
，，
，
点坐标为
综上所述，点坐标为或或
【解析】通过待定系数法求解．
令，求出抛物线与轴交点坐标，结合图象求解．
分类讨论点在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点为最低点时的值．
根据的值，作出等腰直角三角形求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
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