2022-2023学年重庆市开州区重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市开州区重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如所示图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
4. 重庆主城区某一天到时的气温变化情况如图所示，下列说法正确的是( )
A. 温度为高于的时间有个小时 B. 全天温度下降的时段是时到时
C. 这一天温差为 D. 图中点表示时达到最高气温
5. 我国古代四元玉鉴中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图所示都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中第个图形中共有个，第个图形中有个按此规律，第个图形中的个数是( )
A. B. C. D.
7. 估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8. 如图，与位似，点是位似中心，且，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
9. 如图，与相切于点，线段交于点，过点作的切线交于点若，，则的半径等于( )
A. B. C. D.
10. 有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，，以此类推，下面四个结论中正确的个数为( )
方程的实数解为
第项
若为整数，且值为整数，则的取值个数为个
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 年月日、日，第十四届全国人民代表大会和全国人民政协会议以下简称“两会”正式拉开帷幕，此次人大会议将持续天左右，根据官方公布的数据，本届参加“两会”的人大代表人和政协委员人共计人，用科学记数法表示为______ ．
13. 如图，已知点是直线上一点，，平分，则的度数为______ ．
14. 不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有，，，这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为，则在第二象限的概率为______ ．
15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，线段上一点，连接，，将沿着翻折，点恰好与点重合，若，则的长为______ ．
16. 如图，在菱形中，对角线和交于点，，，分别以点、点为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留．
17. 若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______ ．
18. 对于任意一个三位正整数，如果满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数为“两头和数”．
最小的“两头和数”是______ ；
用“两头和数”的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为，若是“两头和数”，且的倍与的十位数字的倍之和是的倍数，则的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
已知四边形是平行四边形，．
利用尺规作图作的平分线交于点，在上截取，连接；要求保留作图痕迹，不写作法
求证：四边形是菱形补全下列证明过程
证明：四边形为平行四边形，
，
______
平分，
，
______
，
又，
______
又，
四边形为平行四边形，
又 ______ ，
四边形是菱形．
21. 本小题分
为庆祝二十二届足球世界杯于年月日月日在卡塔尔举行，某中学举办了一次足球世
界杯知识网上答题竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生进行竞赛百分制，竞赛成绩整理、描述和
分析如下：
成绩得分用表示，共分成四组：，，，．
七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，．
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
方差
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述图表中，，的值；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“足球世界杯”知识较好？请说明理由：从两个不同的角度说明推断的合理性
该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
22. 本小题分
某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动菜苗可以在市场上或菜苗基地购买据了解，市场上甲种菜苗的价格是菜苗基地甲种菜苗的价格的倍
学校在市场上买了捆甲种菜苗和在菜苗基地买了捆甲种共用了元，求菜苗基地甲种菜苗的价格；
据了解，菜苗基地有甲、乙两种菜苗出售，菜苗基地为了支持学校的农耕种植活动，决定对甲种菜苗降价出售给学校，乙种菜苗是甲种菜苗降价后的倍，用元购买的降价后的甲种菜苗比购买乙种菜苗的多捆求菜苗基地乙种菜苗的价格．
23. 本小题分
某学校有一块三角形空地，其中在的正北方向米处，在的北偏东方向和的北偏东的交点处．
求和处之间的距离；结果保留根号
学校准备用万元改造该地块，经招标每平米费用元，通过计算，改造费用是否够？参考数据：，
24. 本小题分
如图，已知是等边三角形，边，点、是直线上的动点，点始终在点左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和
直接写出，的函数关系式；
在图中画出函数，图象，并写出一条的性质；
直接写出时，自变量的取值范围______ ．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，．
求抛物线的解析式；
是下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，过点作轴的平行线交于点求周长的最大值，以及此时点的坐标；
如图，在中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度，点为平移点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
26. 本小题分
在中，，，于，点为线段上一动点，连接、将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
如图，当点、、共线时，取的中点，连接，当时，求的长；
如图，连接，猜想、、的数量关系，并证明你的结论：
如图，当点在直线上运动时，取的中点，连接，将沿翻折，点落在点处，连接，已知，当取最大值时，直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可得结果．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：原图是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.原图不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：、温度为的时刻有个小时，故不符合题意；
B、全天温度下降的时段是时到时和到时，故不符合题意；
C、这一天温差为，故不符合题意；
D、图中点表示时达到最高气温，故符合题意．
故选：．
根据重庆主城区某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
本题考查了折线统计图，认真观察折线统计图，从不同的图中得到必要的信息是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据甜果苦果买九十九个，可以得到方程想，再根据九十七文钱购买甜果苦果，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，即可得到方程，然后即可写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
6.【答案】
【解析】解：图有个，
图有个，
图有，
第个图形有的个数是，
当时，个，
故选：．
由于图有个，图有个，图有，第个图形有的个数是把代入求出即可．
此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
7.【答案】
【解析】解：
，
，
，
，
，
估计的运算结果应在和之间，
故选：．
根据二次根式的乘法法则进行计算，然后再估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：与位似，点是位似中心，
∽，，
：：．
故选：．
利用位似的性质得到∽，，然后根据相似三角形的性质解决问题．
本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行．也考查了相似三角形的性质．
9.【答案】
【解析】解：，是的切线，
，，
，
，
，
，
，
解得，
的半径等于，
故选：．
根据切线的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：第项是，用第项减去得到，
将乘以得到第项，
再将第项减去得到，
将乘以得到第项，
，
以此类推，则第项为，第项为．
方程，即，
，
或．
方程的实数解为或．
的结论错误；
．
的结论正确；
第项为，
第项，
的结论正确；
，
为整数，且值为整数，
可能取值为，，，，，，，，
的取值为，，，．
的结论正确．
综上，正确的结论有：．
故选：．
利用题干中的操作步骤分别计算求得，，，，，，，再利用解方程的方法，因式分解的方法和分式的相关性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了数轴的变化的规律，整式的加减，本题是操作型题目，利用题干中的操作步骤求得相应的代数式，并找出数字的规律是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
．
又平分，
；
故答案为：．
首先根据邻补角的定义得到；然后由角平分线的定义求得．
本题考查了角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：画树状图如图：
共有个等可能的结果，则在第二象限的结果有个，
在第二象限的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有个等可能的结果，则在第二象限的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了一次函数的性质．
15.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，对角线、相交于点，
，，，
将沿着翻折，点恰好与点重合，
，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质得，，，由翻折得，，则，，，所以，由，得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地求出的长是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：菱形中，对角线和交于点，，，
，，
在中，，，
，，
，，
，
故答案为：．
根据菱形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，由进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，菱形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握菱形的性质、扇形面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
17.【答案】
【解析】解：解不等式组：，
可得，
不等式组无解，
，
，
解分式方程，
可得，
又分式方程有非负整数解，
，且，
即，，
解得且，
且，
满足条件的整数的值为，，，，，，，，，
满足条件的整数的值之和是．
故答案为：．
先求解不等式组，根据不等式组无解，得出，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到且，进而得到满足条件的整数的值之和．
本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题知，
“两头和数”是一个三位正整数，且百位上的数字小于个位上的数字，
又百位上的数字最小为，则个位上的数字最小为．
又百位与个位上的数字之和等于十位上的数字，
所以十位上的数字最小为，
所以最小的“两头和数”是．
故答案为：．
令“两头和数”的个位上数字为，百位上数字为，则十位上的数字为
所以．
则．
又此代数式是的倍数，且末尾数字是或的数是的倍数，
则时，或，；．
时，，．
时，或，其中舍去，．
时，舍去．
又，且，故后面的情况都不存在．
所以的最大值为．
故答案为：．
根据题目所给的“两头和数”的定义，又要求最小，且百位最小为，可确定最小的“两头和数”．
令这个“两头和数”的个位、百位上的数字分别为，，由题意可得出“的倍与的十位数字的倍之和”的表达式，又该表达式是的倍数，进行分类讨论即可．
本题考查了新定义问题，以及用字母表示数和分类讨论问题，准确得出的倍数的表达式，且熟知的倍数的末尾数字的特点是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】根据整式混合运算的法则进行计算即可；
先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算及整式的混合运算，涉及到单项成乘以多项式及完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：图形如图所示；
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
又，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
故答案为：，，，．
根据要求作出图形即可；
根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21.【答案】解：，，因此，
组有人，组有人，组有人，组有人，
将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是和，因此中位数是，即，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是，都出现次，因此众数是，即，
答：，，；
八年级学生掌握防溺水安全知识较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，而且成绩的稳定性高于七年级，因此八年级学生掌握“足球世界杯”知识较好；
人．
答：估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．
【解析】求出组所占的百分比，再根据频率之和为，即可求出的值，依据中位数、众数的计算方法可求出八年级的中位数，和七年级的众数，确定、的值；
通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
样本估计总体，样本中“优秀”占，因此根据总体人的是“优秀”人数．
本题考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22.【答案】解：设菜苗基地甲种菜苗的价格为元，则市场上甲种菜苗的价格为元，
由题意得：，
解得：，
答：菜苗基地甲种菜苗的价格为元；
设菜苗基地甲种菜苗降价后的价格为元，则菜苗基地乙种菜苗的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：菜苗基地乙种菜苗的价格为元．
【解析】设菜苗基地甲种菜苗的价格为元，则市场上甲种菜苗的价格为元，根据学校在市场上买了捆甲种菜苗和在菜苗基地买了捆甲种共用了元，列出一元一次方程，解方程即可；
设菜苗基地甲种菜苗降价后的价格为元，则菜苗基地乙种菜苗的价格为元，根据用元购买的降价后的甲种菜苗比购买乙种菜苗的多捆．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出分式方程．
23.【答案】解：如图，过点作于点，
，
由题意得：米，，，
米，
，
，
是等腰直角三角形，
米，米；
改造费用够用，理由如下：
，
米，
由可知，米，
米，
平方米，
所需费用为：元，
，
改造费用够用．
【解析】过点作于点，证是等腰直角三角形，得米，则米；
求出米，再由三角形面积公式得平方米，然后得所需费用为元，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握方向角和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】或
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得：，
∽，
，
，，，
；
设，将和代入可得：
，
解得：，
设，
综上所述：；，
经过的点有：，，，；
经过的点有：，；
描点、连线，画出函数，图象如下：
的性质：随的增大而减小答案不唯一；
由中图象可知，，图象交点为，，
当或时，图象在图象的上方，
当时，自变量的取值范围为或．
根据已知条件证明∽，则对应变成比例，可得的函数解析式；设，将和代入即可求得的解析式；
按画图象的步骤方法画图即可由函数图象写出一条的性质即可；
函数图象可得自变量的取值范围，由所画两函数图象交点横坐标，观察图象的位置关系，即可确定大小．
本题主要考查了正比例函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
25.【答案】解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得或，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
周长，
当时，周长的最大值为，
此时；
，
平移后的抛物线为，
，
，
当时，，
，
设，，
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
由题意先确定是等腰直角三角形，求出直线的解析式，设，则，则周长，当时，周长的最大值为，此时；
根据平移的性质求出平移后的抛物线解析式，、点坐标，设，，根据平行四边形对角线分三种情况讨论，结合中点坐标公式求的值即可求点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
26.【答案】解：如图，
连接，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
是的中点，
，
，
是的中点，
，
，，
，
；
如图，
将绕点逆时针旋转至，连接，
，，，
，
，
，
，，点是的中点，
，
、、共线，
，
；
如图，
连接，
，，，
，
，
当、、共线时，最大，此时点在的延长线上，
如图，
作于，作于，设和交于，作于，
平分，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
设，，
，，
，
由得，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，可推出是直角三角形的斜边上的直线，进而得出结果；
将绕点逆时针旋转至，连接，可得出，，，从而，进而得出，从而、、共线，进一步得出结论；
连接，可推出，从而得出当、、共线时，最大，此时点在的延长线上，作于，作于，设和交于，作于，依次计算出，，，根据∽可得，从而计算出，，，从而，进而得出，设，，进而求得，，从而得出，的值，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
第1页，共1页