2022-2023学年江苏省盐城市盐都区重点学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市盐都区重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 化简所得的结果等于( )
A. B. C. D.
3. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 为了帮助本市一名患病的高中生，某班名同学积极捐款，他们捐款数额如表：
捐款的数额单位：元
人数单位：人
关于这名同学所捐款的数额，下列说法正确的是( )
A. 众数是 B. 平均数是 C. 极差是 D. 中位数是
5. 我国党的二十大报告指出从年到年基本实现社会主义现代化，从年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国年我国约为万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，年我国约达万亿元，将增长率记作，可列方程为( )
A. B.
C. D.
6. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，点在轴上，若的面积为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 我国古代数学专著九章算术中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径那么，这口宛田的面积是多少平方步？计算可知，这块田的面积是( )
A. 平方步 B. 平方步 C. 平方步 D. 平方步
二、填空题（本大题共8小题，共64.0分）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10. 因式分解：______．
11. 化学元素钌是除铁、钻和镍以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素钌的原子半径约将用科学记数法表示为______ ．
12. “盐城马拉松”的赛事共有三项，“马拉松”、“半程马拉松”和“迷你健身跑”乐乐参加了志愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查：
调查人数
参加人数
频率
请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为______ 精确到
13. 正边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的倍，则 ．
14. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯的坡度：李老师乘扶梯从底端以的速度用时到达顶端，则李老师上升的垂直高度为 ．
15. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
16. 如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，当为______ 时，最大．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
18. 本小题分
解不等式组．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
已知为钝角三角形，其中，有下列条件：
；；；；
你认为从中至少选择______个条件，可以求出边的长；
你选择的条件是______直接填写序号，并写出求的解答过程．
21. 本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，以、为边作矩形，连接，交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
22. 本小题分
为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
补全条形统计图；
已知红星中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．
23. 本小题分
某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：
甲水笔 乙水笔
每支进价元
每支利润元
已知花费元购进甲水笔的数量和花费元购进乙水笔的数量相等．
求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元？
若该文具店准备购进这两种水笔共支，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不少于乙种水笔数量的倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元？
24. 本小题分
如图，是的直径，是的切线，交于点．
用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，求阴影部分的面积．
25. 本小题分
盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是米与米，若把这个矩形布料按照如图的方式扩大到面积为原来的倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下：
如图，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题：
函数的图象可由函数的图象向左平移______ 个单位，再向下平移______ 个单位得到，其对称中心坐标为______ ；
根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？
若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
26. 本小题分
【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
如图，在中，点在上，在上，若，，，则 ______ ， ______ ；
已知，如图，在中，点、分别在、上，且．
求证：∽．
证明：过点作的平行线交于点．
请依据相似三角形的定义如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】
如图，如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由；
如图，在中，为的中点，：：：：：： ______ ．
27. 本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点．
当时，求线段的长及的值；
若点也在二次函数图象上，且，
求二次函数图象与轴的另外一个交点的横坐标用表示以及的取值范围；
若，求的面积；
过点作轴的垂线，与抛物线相交于、两点、不重合，与直线交于点，是否存在一个的值，使得恒为定值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由倒数的定义可知：的倒数是．
故选：．
由倒数的意义可得出结论．
本题考查了倒数的定义及应用，明确倒数的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：从上面看，可得选项D的图形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】
【解析】解：这组数据的众数是，平均数为，极差为，中位数是，
故选：．
根据众数和中位数、极差及加权平均数的定义求解即可．
本题主要考查极差，解题的关键是掌握众数和中位数、极差及加权平均数的定义．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用年我国的年我国的我国每年的增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：连接，如图，
轴，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，便可求得结果．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
7.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
根据折叠可得，
．
故选：．
根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，扇形的弧长为步，扇形所在的圆直径为步，
所以扇形的面积为平方步，
故选：．
根据扇形面积公式，即进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
分式有意义时，分母，据此求得的取值范围即可．
【解答】
解：依题意得：，
解得，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意，用科学记数法表示为：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
12.【答案】
【解析】解：根据表格可知，本次赛事参加“半程马拉松”人数的在左右摆动，
所以根据以上数据估计，本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为．
故答案为：．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】
【解析】解：设多边形的每个外角为，则其内角为，
，
解得：，
即这个多边形的边数为：．
故答案为：．
正边形每个内角的度数都是其外角度数的倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，进而利用外角和求出．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
14.【答案】
【解析】解：设，
扶梯的坡度：，
，
由题意得：，
由勾股定理得：，即，
解得：，舍去，
则，
故答案为：．
设，根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
15.【答案】且
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式方程的解，注意分式方程中分母不为是解题的关键．
直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，再结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：去分母得：，
解得：，
，
解得：，
当时，不合题意，
故且．
故答案为：且．
16.【答案】
【解析】解：设，，
矩形中，，，
，，，
，，
，
，
又，
，
∽，
，即，
整理得：，
，
当时，取最小值，
中，，
，
要使去最大值，即最大时，应取最小值，
，即，
故答案为：．
在中，，则，当增加时，也增加，因为，要使取最大值，所以取最小值，然后证明∽，利用二次函数求得的最小值即可．
本题考查二次函的最值、三角形相似的判定和性质、正切函数的性质，也体现了数学中转化的思想，灵活运用是关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先进行二次根式、特殊角的函数值、次幂、绝对值，再算乘法，后算加减．
此题考查了二次根式、特殊角的函数值、次幂、绝对值、乘法、加减等运算，关键是能确定准确的运算顺序，并能对以上知识进行准确计算．
18.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为．
【解析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19.【答案】解：
，
，
，
当时，原式
．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：根据解直角三角形的条件可知，至少选择个条件，可以求出边的长，
故答案为：；
选择，，理由如下：
过点作于点，如图所示：
设，
，
，
，
根据勾股定理，得，
解得或不合题意，舍去，
，，
，
根据勾股定理，得，
．
故答案为：．
根据解直角三角形的条件即可确定；
选择，过点作于点，根据的值以及勾股定理可得和的长，再根据勾股定理求出的长，进一步即可求出的长．
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
四边形的面积．
【解析】先判断出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：，；
成绩优秀的人数为：人，
补全条形统计图如下：
人，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为元、元；
设利润为元，甲种水笔购进支，则乙种水笔购进支．
利润，
随的增大而减小，
购进甲种水笔的数量不少于乙种水笔数量的倍，
解得，，
为整数，
当时，取得最大值，最大值，
此时，，
答：该文具店购进甲种水笔支，乙种水笔支时，能使利润最大，最大利润是元．
【解析】根据花费元购进甲水笔的数量和花费元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；
设利润为元，甲种水笔购进支，则乙种水笔购进支．列出方程求得利润的解析式再分析即可．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24.【答案】解：如图，点即为所求；
，是的切线，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
【解析】过点作即可；
证明，进而求出的度数，然后解直角三角形求出半径，用的面积减去扇形的面积即可．
本题考查作图复杂作图，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】
【解析】解：画出的图象如图所示：
函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到，其对称中心坐标为．
故答案为：，，．
当时，有，即．
由图象可得：当时，．
面积扩大两倍后的这块布料周长．
当时，即当，时，取最小值．
用描点法画出图象即可．
根据函数图象的平移规律即可解答；
先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答．
写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值．
本题考查反比例函数的图象及性质等，这部分内容一定要牢固掌握、灵活运用．
26.【答案】 ：：
【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：，；
过点作的平行线交于点，
，
，，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
∽；
为定值，理由如下，
作，交于，
，，
，
为定值，值为；
过点作，交于，交于，
：：：：．
，
，
，
点为的中点，，
，，
，
，，
，
，
，
，
：：：：，
故答案为：：：．
根据平行线分线段成比例，直接代入即可；
过点作的平行线交于点，利用平行线的性质得，，，，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论；
作，交于，利用平行线分线段成比例定理得，，代入计算即可；
过点作，交于，交于，首先得出，再根据点为的中点，，得，，分别表示出，与的关系即可．
本题是相似形综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，作平行线利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
27.【答案】解：当时，与轴平行，
，
抛物线的对称轴为直线；
当时，，
整理得，，
设抛物线与轴的交点的横坐标为，
，
，
二次函数图象与轴的另外一个交点的横坐标为，
，
，
；
，
，
将代入，
，
，
将，代入，
，
解得，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
；
存在一个的值，使得恒为定值，理由如下：
由对称性可得，
，，
直线的解析式为，
当时，，
，
当时，即时，为定值．
【解析】由题意可知与轴平行，则，再由抛物线的对称性可得；
当时，，整理得，，根据根与系数的关系可得二次函数图象与轴的另外一个交点的横坐标为，又由，，可求；
将代入，可得，将，代入，确定点，，用待定系数法求直线的解析式为，则，所以，则；
由对称性可得，又由，，求出直线的解析式为，当时，，所以，当时，即时，为定值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法，准确计算是解题的关键．
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