高三上学期开学考试数学试题
一、单选题（每小题 5分，共 40分）
1．已知集合 A 1,2,4 ，集合B a,a 2 ，若 A B B ，则 a （ ）
A 1．0 B． 2 C．1 D．2
2．命题：p： x R, x x 0的否定为（ ）
A． x R, x x 0 B． x R, x x 0
C． x R, x x 0 D． x R, x x 0
3．下列函数为奇函数且在 0,1 上为减函数的是（ ）
A． f x sin x B． f x tan x C． f x cos x D． f x sin x
4．设 a,b为实数，则“ a b 0”是“ 1a
1
b ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若不等式mx2 mx 4 2x2 2x 1对任意实数 x均成立，则实数 m的取值范围是（ ）
A． 2,2 B． 10,2 C． , 2 2, D． , 2
f (x) sin π π π π 6．已知 x 3 cos x ，则 f (1) f (2) f (2023)的值为（ ）
3 3 3 3
A．2 3 B． 3 C．1 D．0
π
7．已知 ABC中， AC 2， sin A tan B， A (0, ]，则边 AB的最小值为（ ）
3
5
A．2 B．3 C．2＋ 3 D． 2
8．已知 a 1.4，b 1.1e0.4， c e0.5，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． a b c B． a c b
C．b c a D． c b a
二、多选题（每小题 5分，共 20分）
1 a b9 1 ．已知实数 a，b满足等式 ，则下列不可能成立的有（ ）
2 3
A． a b B．0 b a
C．b a 0 D．0 a b
10．计算下列各式，结果为 3的是（ ）
A． 2 sin15 2 cos15 B． cos215 sin15 cos75
tan15 1 tan15
C． D．
1 tan 215 1 tan15
11．已知函数 f (x) Acos( x ) A 0, 0,| |
π
π 的部分图像如图所示，将 f (x)的图像向左平移 个
2 4
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
单位长度，再向上平移 1个单位长度后得到函数 g(x)的图像，则（ ）
A． f (x) 2cos 2x
π
B． g(x) 2cos
2x π
3 6
1
C． g(x)
π
的图像关于点 ,0
π 5π
对称 D． g(x)在 k , kπ (k Z)上单调递减 6 12 12
12．已知函数 f x 定义域为R ， f x 1 是奇函数， g x 1 x f x ，函数 g x 在 1, 上递增，则
下列命题为真命题的是（ ）
A． f x 1 f x 1 B．函数 g x 在 ,1 上递减
1
C．若a 2 b 1，则 g 1 g b g a D．若 g a g a 1 ，则 a
2
三、填空题（每小题 5分，共 20分）
13．扇形的圆心角为60 ，半径为 4，则扇形的面积为 ；
．
14．已知 f (x)是定义域为R的奇函数，当 x 0时， f (x) log5 x 1，则 f ( 5) ；
π 7π
15．已知函数 f x cos x ( 0)在区间 , 2π
6 6
上有且只有 2个零点，
则 的取值范围是 ； .
a 1 ,b 1 1 2 3 116．已知 ， 7，则 的最小值 ．
2 3 a b 2a 1 3b 1
四、解答题
17．（本题满分 10分）
ABC中，角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c，且 3acosB 2csinA 3bcosA .
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 ABC的面积为 4 3， a是b,c的等差中项，求 ABC的周长．
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
18．（本题满分 12分）
已知数列{an }是递增的等比数列，且 a2 a3 12,a1 a4 27．
（Ⅰ）求数列{an }的通项公式；
an 1
（Ⅱ）设 Sn为数列{an }的前 n项和，bn ，求数列{bS S n }的前 n项和Tn．n n 1
19．（本题满分 12分）
如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD， AB //CD， AB AD， AB 1， PA AD CD 2．
E为棱 PC上一点，平面 ABE与棱 PD交于点 F ．且 BE PC．
（Ⅰ）求证： F 为 PD的中点；
（Ⅱ）求二面角 B FC P的余弦值．
20．（本题满分 12分）
某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两
种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，
2 1
甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为 3 和 2 ，假设每次操作能否成功相互独立．
（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在 5个不同的地点测试的两项指标数 xi， yi（ i 1,2,3,4,5），数
据如下表所示：
地点 1 地点 2 地点 3 地点 4 地点 5
甲型无人运输机指标数 x 2 4 5 6 8
甲型无人运输机指标数 y 3 4 4 4 5
试求 y与 x间的相关系数 r，并利用 r说明 y与 x是否具有较强的线性相关关系；（若 r 0.75，则线性相关
程度很高）
（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型
设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次
所选择的无人运输机进行操作．
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．
n
xi x yi y
i 1
附：参考公式及数据： r n n ．
2 2 xi x yi y
i 1 i 1
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21．（本题满分 12分）
已知曲线 E上任意一点 Q到定点F( 14,0)的距离与 Q m : x 9 14 14到定直线 的距离之比为 ．
14 3
（Ⅰ）求曲线 E的轨迹方程；
（Ⅱ）斜率为 k
5
k 的直线 l交曲线 E于 B，C两点，线段 BC的中点为M，点M在 x轴下方，
3
直线 OM交曲线 E于点 N，交直线 x= 1于点 D，且满足 |ON |2 |OD ||OM |（O为原点）．
求证：直线 l过定点．
22．（本题满分 12分）
a
已知函数 f (x) x x (a 0) .e
（Ⅰ）求函数 f (x)的极值；
（Ⅱ）若函数 f (x)有两个不相等的零点 x1， x2，
（i）求 a的取值范围；
（ii）证明： x1 x2 2lna .
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一、单选题（每小题 5分，共 40分）
1．已知集合 A 1,2,4 ，集合B a,a 2 ，若 A B B ，则 a （ ）
A 0 B 1． ． 2 C．1 D．2
【答案】D
【详解】由集合 A 1,2,4 ，集合 B a,a 2 ，
因为 A B B ，可得B A，
当 a 1时，则 a 2 3，此时 B 1,3 ，此时不满足 B A，舍去；
当 a 2时，则 a 2 4，此时B 2,4 ，此时满足B A；
当 a 4时，则 a 2 6，此时 B 4,6 ，此时不满足 B A，舍去，
综上可得， a 2 .
故选：D.
2．命题：p： x R, x x 0的否定为（ ）
A． x R, x x 0 B． x R, x x 0
C． x R, x x 0 D． x R, x x 0
【答案】C
【详解】命题 x R， x x 0的否定为 x R， x x 0 .
故选：C.
3．下列函数为奇函数且在 0,1 上为减函数的是（ ）
A． f x sin x B． f x tan x C． f x cos x D． f x sin x
【答案】A
【详解】依题意，
对于 A： f x sin x sin x为奇函数且在 0,1 上为减函数，故 A正确；
对于 B： f x tan x为奇函数，在 0,1 上为增函数，故 B错误；
对于 C： f x cos x为偶函数，故 C错误；
对于 D： f x sin x为奇函数，在 0,1 上为增函数，故 D错误.
故选：A.
4．设 a,b为实数，则“ a b 0”是“ 1 1a b ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
b a 1 1
【详解】当“ a b 0”时，则 b a 0,ab 0，则 0，所以 ，
ab a b
1 1
所以“ a b 0”无法推出“ ”，
a b
b a
当 1 1 0a b，即 ab 时，有可能 a 0 b，但不会有a b 0，
1 1
所以“ ”无法推出“a b 0”.
a b
1 1
所以“ a b 0”是“ ” 既不充分也不必要条件.
a b
故选：D.
5．若不等式mx2 mx 4 2x2 2x 1对任意实数 x均成立，则实数 m的取值范围是（ ）
A． 2,2 B． 10,2 C． , 2 2, D． , 2
【答案】B
【详解】依题意，不等式mx2 mx 4 2x2 2x 1对任意实数 x均成立，
即不等式 m 2 x2 m 2 x 3 0恒成立，
当m 2时，不等式可化为 3 0恒成立，
当m 2时， m 2 2 12 m 2 m2 8m 20
m 10 m 2 0，解得 10 m 2，
综上所述，m的取值范围是 10,2 .
故选：B
π π π π
6．已知 f (x) sin x 3 cos x ，则 f (1) f (2) f (2023)的值为（ ）
3 3 3 3
A．2 3 B． 3 C．1 D．0
【答案】B
π π
【详解】因为 f (x) sin x 3 cos
π x π 2sin π x π π 2sinπ x， 3 3 3 3 3 3 3 3
2π
所以 f (x)
6
的周期为 π ，
3
f (1) 2sin π因为 3 ， f (2) 2sin
2π 3π
3， f (3) 2sin 0，
3 3 3
f (4) 2sin 4π 3 ， f (5) 2sin
5π
3， f (6) 2sin
6π
0 ，
3 3 3
所以 f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) f (6) 0，
所以 f (1) f (2) f (2016) 337 f (1) f (2) f (6) f (1) 3，
故选：B
AC 2 sin A tan B A (0, π7．已知 ABC中， ， ， ]，则边 AB的最小值为（ ）
3
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
5
A．2 B．3 C．2＋ 3 D． 2
【答案】B
【详解】 ABC中， AC 2， sin A tan B，则 sin AcosB sin B，则 acosB b 2，
a2 c2 4
则 a 2，整理得 a2 c2 4c 4 0，
2ac
2 2
又 ABC中， A 0,
π cos A 4 c a 1 ,1 ，则
3 4c 2
，
4 c2 a2 2c 0 c2 3c 0
整理得 22 2 ， 又 a 4c 4 c
2，代入整理得 ，解之得3 c 4 .
4 c a 4c 0
c
2 4c 0
故 AB的最小值为 3.
故选：B
8．已知 a 1.4，b 1.1e0.4， c e0.5，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． a b c B． a c b
C．b c a D． c b a
【答案】A
x x
【详解】构造函数 f x 1.5 x e ，则b f 0.4 ， c f 0.5 ，且 f x 0.5 x e ，
当 x 0.5时， f (x) > 0，函数 f x 在 ,0.5 上单调递增，
当 x 0.5时， f x 0，函数 f x 在 0.5, 上单调递减，
所以b f 0.4 f 0.5 c；
设 g x ex x 1 x，则 g x e 1，
当 x 0时， g x 0，函数 g x 在 ,0 上单调递减，
当 x 0时， g x 0，函数 g x 在 0, 上单调递增，
ex所以 x 1 g 0 0
故 e x x 1，所以1.1e0.4 1.1 1.4 1.4，即 a b．
综上， a b c，
故选：A．
二、多选题（每小题 5分，共 20分）
a b
9 a b 1 1 ．已知实数 ， 满足等式 ，则下列不可能成立的有（ ）
2 3
A． a b B．0 b a
C．b a 0 D．0 a b
【答案】CD
1 x 1 xy y 【详解】作出函数 和2
的图象如图所示：
3
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
a b
1 1 设 m，m 0，
2 3
当m 1时，由图可知 a b 0；
当m 1时，由图可知 a = b = 0；
当0 m 1时，由图可知a b 0，
故选：CD.
10．计算下列各式，结果为 3的是（ ）
A． 2 sin15 2 cos15 B． cos215 sin15 cos75
tan15 1 tan15
C． 2 D．1 tan 15 1 tan15
【答案】AD
【详解】对于 A项， 2 sin15 2 cos15 2sin(15 45 ) 2sin 60 3，故 A项成立；
对于 B项， cos2 15 sin15 cos75 cos2 15 sin2 15 cos(2 15 ) cos30 3 ，故 B项不成立；
2
sin15 1
tan15 sin15 cos15 sin 30
对于 C项， cos15 2
1
2 2 2 2 tan 30
3 ，故 C项不成立；
1 tan 15 1 sin 15 cos 15 sin 15 cos30 2 6
cos215
D 1 tan15
tan 45 tan15
对于 项， tan(45
15 ) tan 60 3，故 D项成立.
1 tan15 1 tan 45 tan15
故选：AD.
11．已知函数 f (x)
π
Acos( x ) A 0, 0,| |
π
的部分图像如图所示，将 f (x)的图像向左平移 个
2 4
单位长度，再向上平移 1个单位长度后得到函数 g(x)的图像，则（ ）
A． f (x) 2cos 2x
π
B． g(x) 2cos 2x
π
1
3 6
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
g(x) π ,0 g(x) π 5πC． 的图像关于点 对称 D． 在 k , kπ
(k Z)上单调递减
6 12 12
【答案】ABD
【详解】由图像可知函数 f (x) 的最大值为 2，最小值为 2，所以 A 2，
T 2
, T 2 ，又T 2
，又 f ( ) 2 2cos(2
) 2
2 3 6 2 6 6
2k (k Z) 2k (k Z) | | π 所以 ，又 ，所以
3 3 2 3
f (x) 2cos 2x π 所以 ，故 A正确，
3
将 f (x)
π
的图像向左平移 个单位长度，再向上平移 1个单位长度后得
4
g(x) 2cos 2 x+ π +1=2cos
2x+
1，故 B选项正确，
4 3 6
2x+ k (k Z) x k 由 (k Z)
6 2 6 2
π
所以 g(x)的图像关于点 ,1 对称，故 C错误.
6
由 2k 2x+ 2k (k Z)
6
π 5π
即 k x kπ(k Z)
12 12
所以选项 D正确
故选：ABD.
12．已知函数 f x 定义域为R ， f x 1 是奇函数， g x 1 x f x ，函数 g x 在 1, 上递增，则
下列命题为真命题的是（ ）
A． f x 1 f x 1 B．函数 g x 在 ,1 上递减
C．若a 2 b 1，则 g 1 g b g a D．若 g a g a 1 1，则 a
2
【答案】BCD
【详解】对于 A，因为 f x 1 是奇函数，所以 f x 1 f x 1 ，故 A错误；
因为 f x 1 是奇函数，所以 y f x 的图象关于点 1,0 对称，即有 f x = f 2 x ，
所以 g 2 x 1 2 x f 2 x x 1 f 2 x 1 x f x g x ，所以 y g x 的图象关于直线
x 1对称，
函数 g x 在 x 1, 上单调递增，所以 g x 在 x ,1 上单调递减，故 B正确；
因为 a 2 b 1，所以 g 1 g 2 b g a ，即 g 1 g b g a ，故 C正确；
因为 g a g a 1 ，且 a a 1，由函数 y g x a a 1 1的图象关于直线 x 1对称，得 1，解得 a ，
2 2
故 C正确.
故选：BCD.
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
三、填空题（每小题 5分，共 20分）
13．扇形的圆心角为60 ，半径为 4，则扇形的面积为 ；
．
8π
【答案】
3
π
【详解】因为扇形的圆心角为60 ，转化为弧度为 ，
3
1 π 2 8π
所以该扇形的面积为 4 .
2 3 3
8π
故答案为： .
3
14．已知 f (x)是定义域为R的奇函数，当 x 0时， f (x) log5 x 1，则 f ( 5) ；
【答案】-2
【详解】 f (x)是定义域为R的奇函数，当 x 0时， f (x) log5 x 1，
则有 f ( 5) f (5) log5 5 1 2 .
故答案为：-2
π 7π
15．已知函数 f x cos x ( 0) 在区间 , 2π 上有且只有 2 个零点，则 的取值范围 6 6
是 ； .
[4 ,11【答案】 )
3 6
x 7π , 2π π π 【详解】因为 ，所以 x 6 6
π, 2π ，
6
因为函数 f x cos x
π 7π
( 0)在区间 , 2π 上有且只有 2个零点， 6 6
5π 2π π 7π 4 11所以 ，解得 ，
2 6 2 3 6
4 11
故答案为: [ , ) .
3 6
1
16．已知 a ,b
1 1 2
， 7
3 1
，则 的最小值 ．
2 3 a b 2a 1 3b 1
【答案】20
1 1 1 2 2 x 6 y
【详解】令 x, y，则 7，
2a 1 3b 1 a b x 1 y 1
去分母化简得： xy 5x y 7，所以 (x 1)( y 5) 12，
3 1
所以 3x y 3(x 1) (y 5) 8 2 3(x 1)(y 5) 8 20，
2a 1 3b 1
2 4
当且仅当 a ,b 时，等号成立．
3 11
故答案为：20
四、解答题
17．（本题满分 10分）
ABC中，角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c，且 3acosB 2csinA 3bcosA .
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 ABC的面积为 4 3， a是b,c的等差中项，求 ABC的周长．
17．【详解】（Ⅰ） 3acosB 2csinA 3bcosA ， 3sinAcosB 2sinCsinA 3sinBcosA ，
3sinAcosB 3sinBcosA 2sinCsinA 0 ， 3sin A B 2sinCsinA 0，
3sinC 2sinCsinA 0 ， C, A 0, π ， sinC 0， sinA 3 ，
2
A π 2 或 . ………5 分
3 3
1
（Ⅱ）因为 ABC的面积为 4 3，所以 S bcsinA 4 3 ， bc 16，………6 分2
π
由边 a是b,c的等差中项，得b c 2a，且A不是最大的角， A ，………7分
3
a2 b2 c2 2bccos π (b c )2 3bc (b c )2 48 ， a2 4a23 48
，
a2 16， a 4， b c 2a 8，
所以 ABC的周长为b c a 8 4 12 . ………10 分
18．（本题满分 12分）
已知数列{an }是递增的等比数列，且 a2 a3 12,a1 a4 27．
（Ⅰ）求数列{an }的通项公式；
a
（Ⅱ）设 Sn为数列{a }
n 1
n 的前 n项和，bn b TS S ，求数列{ n }的前 n项和 n．n n 1
18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为 q，若 a2 a3 12,a1 a4 27 ，
a1q a q
2
1 12 a1q 3 a 1
q 9
则有 2 3 2 或 2 q 3或 q
1
. ………3 分
a1 q 27 a1q 9 a1q 3 3
又由数列{an }是递增的等比数列，则 q 3，则有a1 1，
{a } a a q n 1 n 1则数列 n 的通项公式 n 1 3 ； ………6 分
a 1 qn nn 1 1 3 1
（Ⅱ）由（1）可得an 3 ，则 Sn ，1 q 2
b a n 1 S n 1 Sn 1 1则 n S ， ………9 分nSn 1 SnSn 1 Sn Sn 1
1 1 1 1
则Tn b1 b2 bn
1 1
S1 S2 S2 S3 Sn Sn 1
1 1 2 3n 11 3
S S 3n
1 ………12 分
1 n 1 1 3
n 1 1
19．（本题满分 12分）
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，AB //CD，AB AD，AB 1，PA AD CD 2．E
为棱 PC上一点，平面 ABE与棱 PD交于点 F ．且 BE PC．
（Ⅰ）求证： F 为 PD的中点；
（Ⅱ）求二面角 B FC P的余弦值．
19．【详解】
（Ⅰ）因为PA 平面 ABCD，所以PA AB , PA AD．
在Rt△PAB中， PB AB2 AP2 5．……1分
在直角梯形 ABCD中，
由 AB 1， AD CD 2，可求得 BC 5 ，所以 PB BC． ………2分
因为 BE PC，所以 E为 PC的中点． ………3分
因为 AB∥CD， AB 平面 PCD， 所以 AB//平面 PCD．
因为平面 ABEF I平面 PCD EF，所以 AB∥EF． ………4分
所以CD∥EF ．
所以 F 为 PD的中点． ………5分
（Ⅱ）因为PA 平面 ABCD，所以PA AB , PA AD．
又 AB AD，所以 AB , AD , AP两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系 A x yz， ………6分
则 A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(2, 2,0)， P(0,0, 2)， D(0, 2,0)， F (0,1,1)．
uuur uuur uuur
所以 BC (1,2,0)， BF ( 1,1,1)， AF (0,1,1)．
uuur
m BC 0,BCF x 2 y 0,设平面 的法向量为 m (x, y, z)，则 uuur 即
m BF 0, x y z 0.
令 y 1，则 x 2， z 3．于是m (2, 1,3)． ………8分
因为 AB 平面 PAD，且 AB∥CD，所以CD 平面 PAD．
所以 AF CD．
又 PA AD，且 F 为 PD的中点，所以 AF PD．
uuur
所以 AF 平面 PCD，所以 AF 是平面 PCD的一个法向量． ………10分
uuur uuurm
cos AF 7 m, AF |m || uuur | ．………11分AF 7
由题设，二面角 B FC P的平面角为锐角，
所以二面角 B FC P 7的余弦值为 ．……12分
7
20．（本题满分 12分）
某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两
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种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，
2 1
甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为 3 和 2 ，假设每次操作能否成功相互独立．
（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在 5个不同的地点测试的两项指标数 xi， yi（ i 1,2,3,4,5），数
据如下表所示：
地点 1 地点 2 地点 3 地点 4 地点 5
甲型无人运输机指标数 x 2 4 5 6 8
甲型无人运输机指标数 y 3 4 4 4 5
试求 y与 x间的相关系数 r，并利用 r说明 y与 x是否具有较强的线性相关关系；（若 r 0.75，则线性相关
程度很高）
（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型
设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次
所选择的无人运输机进行操作．
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．
n
xi x yi y
附：参考公式及数据： r i 1n n ， 0.9 0.95．
2 2 xi x yi y
i 1 i 1
x 2 4 5 6 8 5 y 3 4 4 4 5
5
20 ．【 详 解 】（ Ⅰ ） ， 4 ， xi x yi y 6 ，5 5 i 1
5
2 x x 2 5 2 4 5 2 5 5 2 6 5 2 8 5 2i 2 5，
i 1
5
2 yi y 3 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 5 4 2 2
i 1
5
xi x yi y
i 1 6 9
相关系数 r 0.955
2
5
2 2 5 2 10
，
xi x yi y
i 1 i 1
因为 r 0.75，所以 y与 x具有较强的线性相关关系． ………5分
（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为 X ，Y ，则 X ，Y 的所有可能取值均为 0，1，2，
P X 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1方案一：
1
1
2 3 2 2 2 3
，
6
P X 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 35 1
，
2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 72
P X 2 1 2 2 1 1 1 25 ，
2 3 3 2 2 2 72
E X 0 1 1 35 25 85所以 2 ． ………9 分
6 72 72 72
方案二：选择其中一种操作设备后，进行 2次独立重复试验，
所以 E Y 1 2 1 1 7 2 2 ， ………11 分
2 3 2 2 6
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所以 E X E Y ，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12
分
21．（本题满分 12分）
已知曲线 E上任意一点 Q到定点F( 14,0)的距离与 Q 9 14 14到定直线m : x 的距离之比为 ．
14 3
（Ⅰ）求曲线 E的轨迹方程；
5
（Ⅱ）斜率为 k k 的直线 l交曲线 E于 B，C两点，线段 BC的中点为M，点M在 x轴下方，直线
3
OM交曲线 E于点 N，交直线 x= 1于点 D，且满足 |ON |2 |OD ||OM |（O为原点）．求证：直线 l过定点．
(x 14)2 y2 14
21．【详解】（Ⅰ）设曲线 E上任意一点Q(x, y)，由题意知 3 ，
x 9 14
14
x2 y2 x21 E y
2
化简整理得 ，所以曲线 的轨迹方程为 1；………4 分
9 5 9 5
5
（Ⅱ）设 B x1, y1 ，C x2 , y2 ，直线 l的方程为 y kx t k ，
3
y kx t
2 2 5 9k 2 x2 18ktx 9t2联立 x y ，得 45 0，
1 9 5
5 9k 2 0 5 9k 2 0
因为有两个交点，所以 ，即 ，
Δ 0 9k
2 t2 5
18kt 18k 2t 2t 5 9k 2
所以 x1 x2 5 9k 2
， y1 y2 k
x 10t ，1 x2 2 t 5 9k 2 5 9k 2
9kt 5t
即M , ， ………7分
5 9k 2 5 9k 2
5t
因为点M在 x轴下方，所以
5 9k 2
0，又 k 5 ，所以 t 0，
3
所以直线 OM的斜率 k
5 5
OM ，则直线 OM的直线方程为 y x，9k 9k
E x2 81k
2
将其代入双曲线 的方程，整理得 N ，9k 2 5
2
|ON |2 x2 y2 1 25 x2 81k 25所以 N N N ， ………9 分
81k 2 9k 2 5
y 5
5
将 x代入直线 x= 1，解得D
9k
1,
9k
，
M 9kt , 5t
2
|OD | ( 1)2 5 81k
2 25
又 因 为 ， 所 以 有 ，
5 9k 2 5 9k 2
9k 81k 2
{#{QQABDYAUoggAAAJAARgCQQnyCkCQkBCACCgOREAEIAAACANABAA=}#}
2 2
|OM | 9kt 5t 81k
2t2 25t2
．
5 9k 2 5 9k 2 9k 2 5
由 |ON |2 |OD ||OM | ，解 得 t 9k ，因 为 k 5 ， t 0 ，所 以 t 9k ，因 此直线 l 的方 程为
3
y kx 9k k(x 9)，故直线 l过定点 ( 9,0)．………12 分
22．（本题满分 12分）
a
已知函数 f (x) x x (a 0) .e
（Ⅰ）求函数 f (x)的极值；
（Ⅱ）若函数 f (x)有两个不相等的零点 x1， x2，
（i）求 a的取值范围；
（ii）证明： x1 x2 2lna .
a a (ex
解：（Ⅰ） f (x) x , f (x) 1 a) x e ex
，
ex
当 a 0时，由 f ’(x)=0得， x lna，
x，f ’(x)， f(x)的变化情况如下表：
x ( , ln a) lna (ln a, )
f ’(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
所以 f(x)的极小值为 f(lna)=lna+1. ...........................4分
1
（Ⅱ）（i）f(x)有两个零点的必要条件是 lna+1<0，即 0 a ；
e
当 0 a 1 a 时，f(0)=a>0，f(-1)= -1 1 0， lna 1，e e
所以 f(x)在区间 (ln a, )上有且仅有一个零点，
1 1 a
又因为 x 时， f (x) ，（或 f ( ) 1 0）a a
e a
所以 f (x)在区间 ( , ln a)上有且仅有一个零点，
所以 f (x) 1有两个零点时，a的取值范围是 (0, ) ............................7分
e
（ii） f (x1) f (x2 ) 0，不妨设 x1 x2 ，可知 x1 lna 1 x2 ，
a a
即 x1 x x 0，所以 a x e
x1 x ex2 ，
e 1 2 ex2 1 2
x1 x2 2ln a等价于 x1 2ln a x2，
因为 2ln a x2 ln a ，
所以 x1 2ln a x2等价于 f (x1) f (2ln a x2)，即 2lna x
a
2 2lna x 0，e 2
令 g(x a x22 ) 2lna x2 2lna x (x2 1)，因为 a x e ，e 2 2
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所以 g(x2 )
1
2ln( x2 ) x2 ，x2
2 1 x2g (x ) 1 2 2x2 12 2 2 0，x2 x2 x2
所以 g(x2 )在区间 ( 1, )上单调递增，所以 g(x2 ) g( 1) 0，
所以 x1 x2 2lna . ...........................12分
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