2023-2024学年初中数学七年级上册 1.3 绝对值与相反数 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·长春）实数、、、数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·利州模拟）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．
3．（2023七下·遵义月考）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|-|a|正确的是（ ）
A．a+b B．a-b C．b-a D．-a-b
4．（2023九下·衢州月考）用符号语言表述“负数的绝对值等于它的相反数”正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022七上·临汾月考）如果+=0，则“”表示的数应是（ ）
A．-3 B．3 C． D．
6．（2022七上·利辛月考）的相反数是（ ）
A．2021 B．-2021 C．1 D．-1
7．（2022七上·崂山期中）若，则的取值可能是（ ）.
A．±3 B．±1或±3 C．±1 D．-1或3
8．（2021七上·宁波期中）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点.如果|a+b|﹣|a﹣2c|+|b﹣2c|﹣|a+b﹣2c|＝0，那么原点O的位置在（ ）
A．线段AC上 B．线段BC上
C．线段CA的延长线上 D．线段CB的延长线上
二、填空题
9．（2023·昆明模拟）的相反数是 ．
10．（2022七上·曹县期中）若a与3互为相反数，则 ．
11．（2023七上·未央期末）实数a，b满足，则的最小值为 .
12．（2022七上·大冶期末）m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是 .
13．（2022七上·铁锋期中）若，，则n的值为 ．
三、计算题
14．（2021七上·铜仁月考）化简下列各数.
（1）-（+3.5）
（2）-{-[+（- ）]}
四、解答题
15．（2022七上·上思月考）数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．
五、作图题
16．（2019七上·咸阳月考）画出数轴，并在数轴上表示出 及它们的相反数.
六、综合题
17．（2022七上·北仑期中）对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P、Q两点的“绝对距离”，记为||POQ||.
例如，P、Q两点表示的数如图1所示， 则||POQ||-|PO-QO|=|3-1|=2.
（1）两点表示的数如图2所示.
①求两点的“绝对距离”；
②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数；
（2）点为数轴上的两点（点M在点N左侧），且，， 请直接写出点M表示的为 .
18．（2022七上·龙湖期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为|6-2|＝ ；
表示-1和2两点之间的距离为|(-1)-(+2)|＝|-1-2|＝ ；
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|，
如果表示数a和-1的两点之间的距离是3，那么a＝ ．
（2）若数轴上表示数a的点位于-5与3之间(包括-5与3两点)，求|a+5|+|a-3|的值；
（3）当x＝ 时，|x+1|+|x+5|+|x-3|的值最小，最小值为 ．
（4）当x，y满足|x+1|+|x-2|+|y+3|+|y-4|=10时，x-3y的最大值为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴绝对值最小的是b，
故答案为：B
【分析】根据绝对值的定义结合题意即可求解。
2．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵数轴上表示数m和m-2的点到原点的距离相等，
∴m+m-2=0，
解得m=1.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得表示数m的点与表示数m-2的点互为相反数，则m+m-2=0，求解即可.
3．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵由数轴可知a＜0＜1＜b，
∴|b|-|a|=b-（-a）=a+b.
故答案为：A
【分析】观察数轴可知a＜0＜1＜b，再利用绝对值的性质，先化简绝对值，可得答案.
4．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：设一个负数为，则它的绝对值为，它的相反数为，
∴用符号语言表述“负数的绝对值等于它的相反数”是，
故答案为：D.
【分析】利用绝对值的性质：，据此可得答案.
5．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：和其相反数相加为0，则其相反数为-．
故答案为：D．
【分析】根据相反数的定义求解即可。
6．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵=-1，-1的相反数是1，∴的相反数是是1，
故答案为：C
【分析】利用相反数的定义求解即可。
7．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴
①当 时，则
；
②当 时，则
；
③当 时，则
；
④当 时，则
综上所述： 的取值可能是-1或3.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，再根据绝对值的性质即可求解。
8．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：C是AB的中点，则a+b=2c，
因而 ①a+b-2c=0 |a+b-2c|=0，
②a-2c=-b |a-2c|=|-b|=|b|，
③b-2c=-a |b-2c|=|-a|=|a|，
所以|a+b|-|b|+|a|-0=0 |a+b|=|b|-|a|，
因为|a+b|＞0 a，b异号，并且|b|＞|a|，
就是|OB|＞|OA|，因而点O在A，C之间.
故答案为：A.
【分析】由点C是AB的中点，可得到a+b=2c，可知|a+b-2c|=0，a-2c=-b |a-2c|=|-b|=|b|，b-2c=-a |b-2c|=|-a|=|a|，同时可得到a，b异号，并且|b|＞|a|，即是|OB|＞|OA|，因而点O在A，C之间，可得答案.
9．【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是，
故答案为：
【分析】根据相反数的定义即可求解。
10．【答案】0
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵a与3互为相反数，
∴，
∴．
故答案为：0．
【分析】根据相反数的性质可得，再将其代入计算即可。
11．【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
表示a到-1，2的距离与b到-3，-8的距离之和为8，
∵时，
时，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据绝对值的几何意义，此题可以理解为表示a到-1，2的距离与b到-3，-8的距离之和为8，据此即可解决此题.
12．【答案】或7
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且的最小值是6，
①当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
②当时，则时，原式有最小值，
此时，
此时方程无解；
③当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
综上，m的值为或7，
故答案为：-1或7.
【分析】由可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且该式有最小值6，从而分①m＜1，②1≤m≤5，③m＞5三种情况，根据绝对值的性质分别解含绝对值的方程即可得出答案.
13．【答案】或或3或-1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵，
∴中有两个负数或没有负数，
当中有两个负数时：；
当中没有负数时，；
∴n的值为-1或3，
故答案为：-1或3．
【分析】分两种情况：①当中有两个负数时；②当中没有负数时，再分别求解即可。
14．【答案】（1）解：原式=-3.5
（2）解：原式=
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】（1）根据相反数的意义直接去括号即可；
（2）根据若“-”的个数为奇数个，则结果为负数；“-”的个数为偶数个，则结果为正数进行解答.
15．【答案】解：根据数a，b，c在数轴上的位置得，且，
∴，，，
∴=，
=，
=.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据数a，b，c在数轴上的位置得出，且，从而得出，，，再把原式根据绝对值的性质进行化简，然后合并同类项，即可得出答案.
16．【答案】解： 的相反数分别是 ，
数轴如下图：
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据数轴的三要素画出数轴，由只有符号不同的两个数互为相反数可求解.
17．【答案】（1）解：①||AOB||=|AO-BO|=|1-3|=2；
②∵，，
∴，
∴，
∴或，
解得：或2，
∵C点不与O点重合，
∴点C表示的数为2或；
（2）或
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（2）由题可知，
∴或.
∵点M在点N左侧，
故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，
∴.
∵，
∴，
∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，
∵，
∴，
∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，
∵，
∴.
∵或，
∴或，
∴点M表示的数为或.
故答案为：或.
【分析】（1）①根据定义结合数轴上点A、B所表示的数，计算即可；②先根据||AOB||＝2||AOC||得到||AOC||＝1，再根据两点的绝对距离的定义即可求解；
（2）根据两点间的距离公式，以及||MON||＝1，可得MO-NO=1或NO-MO=1；由于点M在点N左侧，故分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时，③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，分别结合数轴上的点所表示数的特点即可得出答案.
18．【答案】（1） ＝4； ＝ ＝3；2或-4
（2）解：∵-5＜a＜3，
∴a+5＞0，a-3＜0，
∴|a+5|+|a-3|
＝a+5-（a-3）
＝a+5-a+3
＝8
（3）-1；8
（4）11
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1） |6-2|＝∣4∣=4， |(-1)-(+2)|＝|-1-2|＝∣-3∣=3，
∵|a-（-1）|＝∣a+1∣=3，
∴a+1=3或a+1=-3，
∴a=2或a=-4，
故答案为：4；3；2或-4；
（3）根据绝对值所表示的几何意义可知：|x+1|+|x+5|+|x-3|的值就是数轴上表示数x的点到-1的距离与到-5的距离和到3的距离之和，
∴当x=-1时，|x+1|+|x+5|+|x-3|的值最小，最小值为8，
故答案为：-1；8；
（4）当x＜-1时|x+1|+|x-2|=-2x+1＞3，
当-1＜x＜2时|x+1|+|x-2|=3，
当x＞2时|x+1|+|x-2|=2x-1＞3，
∴|x+1|+|x-2|≥3，
同理|y+3|+|y-4|≥7，
∵|x+1|+|x-2|+|y+3|+|y-4|=10，
∴|x+1|+|x-2|=3，|y+3|+|y-4|=7，
∴-1＜x＜2，-3＜y＜4，
∴x-3y的最大值为11.
故答案为：11.
【分析】（1）根据绝对值的性质进行解答即可；
（2）根据绝对值的性质进行化简，再合并同类项，即可得出答案；
（3）根据绝对值所表示的几何意义，分析得出x的值，进而计算，即可得出答案；
（4） 根据绝对值的几何意义分别得出|x+1|+|x-2|，|y+3|+|y-4|的取值范围，进而得出x，y的取值范围，进而得出答案．
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 1.3 绝对值与相反数 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·长春）实数、、、数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴绝对值最小的是b，
故答案为：B
【分析】根据绝对值的定义结合题意即可求解。
2．（2023·利州模拟）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：∵数轴上表示数m和m-2的点到原点的距离相等，
∴m+m-2=0，
解得m=1.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得表示数m的点与表示数m-2的点互为相反数，则m+m-2=0，求解即可.
3．（2023七下·遵义月考）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|-|a|正确的是（ ）
A．a+b B．a-b C．b-a D．-a-b
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵由数轴可知a＜0＜1＜b，
∴|b|-|a|=b-（-a）=a+b.
故答案为：A
【分析】观察数轴可知a＜0＜1＜b，再利用绝对值的性质，先化简绝对值，可得答案.
4．（2023九下·衢州月考）用符号语言表述“负数的绝对值等于它的相反数”正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：设一个负数为，则它的绝对值为，它的相反数为，
∴用符号语言表述“负数的绝对值等于它的相反数”是，
故答案为：D.
【分析】利用绝对值的性质：，据此可得答案.
5．（2022七上·临汾月考）如果+=0，则“”表示的数应是（ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：和其相反数相加为0，则其相反数为-．
故答案为：D．
【分析】根据相反数的定义求解即可。
6．（2022七上·利辛月考）的相反数是（ ）
A．2021 B．-2021 C．1 D．-1
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵=-1，-1的相反数是1，∴的相反数是是1，
故答案为：C
【分析】利用相反数的定义求解即可。
7．（2022七上·崂山期中）若，则的取值可能是（ ）.
A．±3 B．±1或±3 C．±1 D．-1或3
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴
①当 时，则
；
②当 时，则
；
③当 时，则
；
④当 时，则
综上所述： 的取值可能是-1或3.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，再根据绝对值的性质即可求解。
8．（2021七上·宁波期中）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点.如果|a+b|﹣|a﹣2c|+|b﹣2c|﹣|a+b﹣2c|＝0，那么原点O的位置在（ ）
A．线段AC上 B．线段BC上
C．线段CA的延长线上 D．线段CB的延长线上
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：C是AB的中点，则a+b=2c，
因而 ①a+b-2c=0 |a+b-2c|=0，
②a-2c=-b |a-2c|=|-b|=|b|，
③b-2c=-a |b-2c|=|-a|=|a|，
所以|a+b|-|b|+|a|-0=0 |a+b|=|b|-|a|，
因为|a+b|＞0 a，b异号，并且|b|＞|a|，
就是|OB|＞|OA|，因而点O在A，C之间.
故答案为：A.
【分析】由点C是AB的中点，可得到a+b=2c，可知|a+b-2c|=0，a-2c=-b |a-2c|=|-b|=|b|，b-2c=-a |b-2c|=|-a|=|a|，同时可得到a，b异号，并且|b|＞|a|，即是|OB|＞|OA|，因而点O在A，C之间，可得答案.
二、填空题
9．（2023·昆明模拟）的相反数是 ．
【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是，
故答案为：
【分析】根据相反数的定义即可求解。
10．（2022七上·曹县期中）若a与3互为相反数，则 ．
【答案】0
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵a与3互为相反数，
∴，
∴．
故答案为：0．
【分析】根据相反数的性质可得，再将其代入计算即可。
11．（2023七上·未央期末）实数a，b满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
表示a到-1，2的距离与b到-3，-8的距离之和为8，
∵时，
时，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据绝对值的几何意义，此题可以理解为表示a到-1，2的距离与b到-3，-8的距离之和为8，据此即可解决此题.
12．（2022七上·大冶期末）m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是 .
【答案】或7
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且的最小值是6，
①当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
②当时，则时，原式有最小值，
此时，
此时方程无解；
③当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
综上，m的值为或7，
故答案为：-1或7.
【分析】由可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且该式有最小值6，从而分①m＜1，②1≤m≤5，③m＞5三种情况，根据绝对值的性质分别解含绝对值的方程即可得出答案.
13．（2022七上·铁锋期中）若，，则n的值为 ．
【答案】或或3或-1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵，
∴中有两个负数或没有负数，
当中有两个负数时：；
当中没有负数时，；
∴n的值为-1或3，
故答案为：-1或3．
【分析】分两种情况：①当中有两个负数时；②当中没有负数时，再分别求解即可。
三、计算题
14．（2021七上·铜仁月考）化简下列各数.
（1）-（+3.5）
（2）-{-[+（- ）]}
【答案】（1）解：原式=-3.5
（2）解：原式=
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】（1）根据相反数的意义直接去括号即可；
（2）根据若“-”的个数为奇数个，则结果为负数；“-”的个数为偶数个，则结果为正数进行解答.
四、解答题
15．（2022七上·上思月考）数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．
【答案】解：根据数a，b，c在数轴上的位置得，且，
∴，，，
∴=，
=，
=.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据数a，b，c在数轴上的位置得出，且，从而得出，，，再把原式根据绝对值的性质进行化简，然后合并同类项，即可得出答案.
五、作图题
16．（2019七上·咸阳月考）画出数轴，并在数轴上表示出 及它们的相反数.
【答案】解： 的相反数分别是 ，
数轴如下图：
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据数轴的三要素画出数轴，由只有符号不同的两个数互为相反数可求解.
六、综合题
17．（2022七上·北仑期中）对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P、Q两点的“绝对距离”，记为||POQ||.
例如，P、Q两点表示的数如图1所示， 则||POQ||-|PO-QO|=|3-1|=2.
（1）两点表示的数如图2所示.
①求两点的“绝对距离”；
②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数；
（2）点为数轴上的两点（点M在点N左侧），且，， 请直接写出点M表示的为 .
【答案】（1）解：①||AOB||=|AO-BO|=|1-3|=2；
②∵，，
∴，
∴，
∴或，
解得：或2，
∵C点不与O点重合，
∴点C表示的数为2或；
（2）或
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（2）由题可知，
∴或.
∵点M在点N左侧，
故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，
∴.
∵，
∴，
∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，
∵，
∴，
∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，
∵，
∴.
∵或，
∴或，
∴点M表示的数为或.
故答案为：或.
【分析】（1）①根据定义结合数轴上点A、B所表示的数，计算即可；②先根据||AOB||＝2||AOC||得到||AOC||＝1，再根据两点的绝对距离的定义即可求解；
（2）根据两点间的距离公式，以及||MON||＝1，可得MO-NO=1或NO-MO=1；由于点M在点N左侧，故分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时，③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，分别结合数轴上的点所表示数的特点即可得出答案.
18．（2022七上·龙湖期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为|6-2|＝ ；
表示-1和2两点之间的距离为|(-1)-(+2)|＝|-1-2|＝ ；
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|，
如果表示数a和-1的两点之间的距离是3，那么a＝ ．
（2）若数轴上表示数a的点位于-5与3之间(包括-5与3两点)，求|a+5|+|a-3|的值；
（3）当x＝ 时，|x+1|+|x+5|+|x-3|的值最小，最小值为 ．
（4）当x，y满足|x+1|+|x-2|+|y+3|+|y-4|=10时，x-3y的最大值为 ．
【答案】（1） ＝4； ＝ ＝3；2或-4
（2）解：∵-5＜a＜3，
∴a+5＞0，a-3＜0，
∴|a+5|+|a-3|
＝a+5-（a-3）
＝a+5-a+3
＝8
（3）-1；8
（4）11
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1） |6-2|＝∣4∣=4， |(-1)-(+2)|＝|-1-2|＝∣-3∣=3，
∵|a-（-1）|＝∣a+1∣=3，
∴a+1=3或a+1=-3，
∴a=2或a=-4，
故答案为：4；3；2或-4；
（3）根据绝对值所表示的几何意义可知：|x+1|+|x+5|+|x-3|的值就是数轴上表示数x的点到-1的距离与到-5的距离和到3的距离之和，
∴当x=-1时，|x+1|+|x+5|+|x-3|的值最小，最小值为8，
故答案为：-1；8；
（4）当x＜-1时|x+1|+|x-2|=-2x+1＞3，
当-1＜x＜2时|x+1|+|x-2|=3，
当x＞2时|x+1|+|x-2|=2x-1＞3，
∴|x+1|+|x-2|≥3，
同理|y+3|+|y-4|≥7，
∵|x+1|+|x-2|+|y+3|+|y-4|=10，
∴|x+1|+|x-2|=3，|y+3|+|y-4|=7，
∴-1＜x＜2，-3＜y＜4，
∴x-3y的最大值为11.
故答案为：11.
【分析】（1）根据绝对值的性质进行解答即可；
（2）根据绝对值的性质进行化简，再合并同类项，即可得出答案；
（3）根据绝对值所表示的几何意义，分析得出x的值，进而计算，即可得出答案；
（4） 根据绝对值的几何意义分别得出|x+1|+|x-2|，|y+3|+|y-4|的取值范围，进而得出x，y的取值范围，进而得出答案．
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