2023-2024学年初中数学七年级上册 1.9 有理数的除法 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·郴州）的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·定远模拟）x的相反数是，则x的倒数为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2023·丰润模拟）与互为倒数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七上·安化期中）如图，数轴上的点A表示的数的倒数是（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2022七上·义乌月考）下列说法不正确的是：（ ）
① a一定是正数； ②0的倒数是0 ； ③最大的负整数是-1；④只有负数的绝对值是它的相反数； ⑤倒数等于本身的有理数只有1
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
6．（2022七上·延安月考）下列说法中正确（ ）
A．如果a与b的差是正数，那么a一定是正数
B．不存在最小的正数，也不存在最大的正数
C．﹣a一定小于a
D．任何有理数都有倒数
7．（2021六下·哈尔滨期中）下列几种说法中，正确的是（ ）
A．0是最小的数 B．最大的负有理数是-1
C．任何有理数的绝对值都是正数 D．0没有倒数
8．（2021七上·商城期末）若 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是倒数等于它本身的自然数，则 的值为（ ）
A．2019 B．2014 C．2015 D．2
二、填空题
9．（2022七上·义乌月考）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．
（1）当小明输入4，-2这两个数时，则两次输出的结果依次为 ， ；
（2）有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是 ．
10．（2022七下·柳州期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 .
11．计算：（-2 ）2012×（ ）2013= ．
12．一个自然数和它倒数的和是5.2，这个自然数是 。
三、解答题
13．（2022七上·江城期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.求的值.
四、综合题
14．（2021七上·黔南月考）请你认真阅读下列材料：
计算：
解法一：因为原式的倒数=
．
所以原式，
解法二：原式
．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？
（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：．
15．（2022七上·港北期中）
（1）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的值；
（2）若在数轴上的位置如图所示，化简式子：。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得的倒数是，
故答案为：B
【分析】根据倒数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】∵x的相反数是，
∴x=，
∴x的倒数为3.
故答案为：B
【分析】利用相反数和倒数的定义求解即可。
3．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
∴的倒数为：30；
A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用有理数的乘法法则，互为倒数的两数相乘等于1，计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵由数轴可知点A表示的数为，
∴的倒数是.
故答案为：C.
【分析】由数轴可得点A表示的数为-3，然后根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
5．【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【解答】解：① a不一定是正数，故①不正确；
②0没有倒数，故 ②不正确；
③最大的负整数是-1，故③正确；
④负数和0的绝对值是它的相反数，故④不正确；
⑤倒数等于本身的有理数有1和-1，故⑤不正确；
不正确的序号为①②④⑤.
故答案为：C
【分析】a可能是正数，也可能是负数和0，可对①作出判断；0没有倒数，可对②作出判断；最大的负整数是-1，可对③作出判断；利用绝对值的性质可对④作出判断；倒数等于本身的有理数有1和-1，可对⑤作出判断；综上所述可得到不正确的序号.
6．【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用；有理数的倒数；有理数大小比较
【解析】【解答】解：A、若a=0，b=-1，则a-b=1，A选项不符合题意；
B、不存在最小的正数，也不存在最大的正数，说法正确，B选项符合题意；
C、a为不确定的数，故无法判断-a和a的大小，C选项不符合题意；
D、0为有理数，0没有倒数，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】因为a和b的值不确定，故a和b的差若为正数，a可以为正数、零或负数，故A选项错误；根据数轴的意义，不存在最小的正数，也不存在最大的正数正确，故B选项正确；因为a的值不确定，所以无法比较-a和a的大小，故C选项错误；0为有理数，但0没有倒数，故D选项错误. 据此逐项判断即可.
7．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数大小比较
【解析】【解答】A、0是最小的自然数，故A错误；
B、最大的负整数是-1，故B错误；
C、0是有理数，它的绝对值是0，但0不是正数，故C错误；
D、0不能作除数，所以0没有倒数，故D正确。
故答案为：D
【分析】根据有理数的相关概念逐项分析即可。
8．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：根据题意得：a=-1，b=0，c=1，
则原式=1+0+1=2，
故答案为：D.
【分析】根据最大的负整数是-1，绝对值最小的有理数是0，倒数等于它本身的自然数 是1，计算即可.
9．【答案】（1）1；
（2）2或7
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；有理数大小比较；有理数的加法
【解析】【解答】解：（1）当x=4时，4＞2，
∴4+（-5）=-1＜2
∴-1的相反数是1
1的倒数为1
∴输出的数为1；
当x=-2时
∴-2的相反数为2＞0
∴2的倒数为，
∴输出的数为.
故答案为：1，
（2）当按照绝对值，输出的数是2时，
|-2|=2，-2的相反数是2；
|2|=2，2的相反数是-2，5-（-2）=7；
∴输入的数是2或7；
当按倒数，输出的数是2时，输入的数在小于10的正整数范围内无解.
故答案为：2或7
【分析】（1）由于4＞2，因此求出4与-5的和，它的和小于2，求出4与-5的和的相反数，它的相反数为正数，然后求出其倒数，可得到输出的数；根据-2＜2，因此求出-2的相反数，它的相反数大于0，然后求出-2的相反数的倒数，即可得到输出的数.
（2）分情况讨论：当按照绝对值，输出的数是2时，倒推回去，可知|-2|=2，-2的相反数是2；|2|=2，2的相反数是-2，5-（-2）=7；可得到输入的数；当按倒数，输出的数是2时，输入的数在小于10的正整数范围内无解.
10．【答案】-4
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得：
a+b＝0，cd＝1，
∴
＝0-4×1
＝0-4
＝-4，
故答案为：-4.
【分析】由a、b互为相反数，c、d互为倒数，可得a+b＝0，cd＝1，再整体代入计算即可.
11．【答案】
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：(-2 )2012×( )2013
=( )2012× ×( )2012
=( × )2012× =1× = .
故答案为： .
【分析】若指数相同的两个数相乘，可转换为两数积的幂的值，又因互为倒数的两数相乘为1，可求解出结果。
12．【答案】5
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】5＋0.2＝5.2，且5与 互为倒数，所以自然数是5。
【分析】通过审题，5.2＝5＋0.2，由此可以得到这个自然数的倒数是0.2，从而求出这个自然数，据此即可解答问题。
13．【答案】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵m的绝对值为2，
∴m=±2，
当m=2时，
=2+1+0=3；
当m=-2时，
=-2+1+0=-1
故答案为3或-1.
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】 由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，可得a+b=0，cd=1，m=±2， 然后分别代入计算即可.
14．【答案】（1）解：解法二错误，因为除法没有分配律，他利用了除法分配律进行计算肯定出现错误．
（2）解：因为原式的倒数为
，
，
，
，
，
所以原式．
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法运算律
【解析】【分析】（1）利用除法没有分配律，可作出判断；
（2）利用倒数法，将原式变形为，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，接着利用乘法分配律进行计算得出结果，最后再求倒数，可求出原式的结果.
15．【答案】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b=0，cd＝1，m=±2，
∴原式=+3×（±2）2-2×1=10.
（2）解：∵a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b-a＞0，
∴原式=-（a+b）-2（b-a）+a=-a-b-2b+2a+a=2a-3b
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】（1）由a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，可得a+b=0，cd＝1，m=±2，代入式子中计算求值即可.
（2）观察数轴可知a＜0＜b，|a|＞|b|，利用有理数的加减法法则可得到a+b＜0，b-a＞0；再利用绝对值的性质，化简绝对值，然后合并同类项即可.
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一、选择题
1．（2023·郴州）的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得的倒数是，
故答案为：B
【分析】根据倒数的定义结合题意即可求解。
2．（2023·定远模拟）x的相反数是，则x的倒数为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】∵x的相反数是，
∴x=，
∴x的倒数为3.
故答案为：B
【分析】利用相反数和倒数的定义求解即可。
3．（2023·丰润模拟）与互为倒数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
∴的倒数为：30；
A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用有理数的乘法法则，互为倒数的两数相乘等于1，计算求解即可。
4．（2022七上·安化期中）如图，数轴上的点A表示的数的倒数是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵由数轴可知点A表示的数为，
∴的倒数是.
故答案为：C.
【分析】由数轴可得点A表示的数为-3，然后根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
5．（2022七上·义乌月考）下列说法不正确的是：（ ）
① a一定是正数； ②0的倒数是0 ； ③最大的负整数是-1；④只有负数的绝对值是它的相反数； ⑤倒数等于本身的有理数只有1
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【解答】解：① a不一定是正数，故①不正确；
②0没有倒数，故 ②不正确；
③最大的负整数是-1，故③正确；
④负数和0的绝对值是它的相反数，故④不正确；
⑤倒数等于本身的有理数有1和-1，故⑤不正确；
不正确的序号为①②④⑤.
故答案为：C
【分析】a可能是正数，也可能是负数和0，可对①作出判断；0没有倒数，可对②作出判断；最大的负整数是-1，可对③作出判断；利用绝对值的性质可对④作出判断；倒数等于本身的有理数有1和-1，可对⑤作出判断；综上所述可得到不正确的序号.
6．（2022七上·延安月考）下列说法中正确（ ）
A．如果a与b的差是正数，那么a一定是正数
B．不存在最小的正数，也不存在最大的正数
C．﹣a一定小于a
D．任何有理数都有倒数
【答案】B
【知识点】正数和负数的认识及应用；有理数的倒数；有理数大小比较
【解析】【解答】解：A、若a=0，b=-1，则a-b=1，A选项不符合题意；
B、不存在最小的正数，也不存在最大的正数，说法正确，B选项符合题意；
C、a为不确定的数，故无法判断-a和a的大小，C选项不符合题意；
D、0为有理数，0没有倒数，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】因为a和b的值不确定，故a和b的差若为正数，a可以为正数、零或负数，故A选项错误；根据数轴的意义，不存在最小的正数，也不存在最大的正数正确，故B选项正确；因为a的值不确定，所以无法比较-a和a的大小，故C选项错误；0为有理数，但0没有倒数，故D选项错误. 据此逐项判断即可.
7．（2021六下·哈尔滨期中）下列几种说法中，正确的是（ ）
A．0是最小的数 B．最大的负有理数是-1
C．任何有理数的绝对值都是正数 D．0没有倒数
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数大小比较
【解析】【解答】A、0是最小的自然数，故A错误；
B、最大的负整数是-1，故B错误；
C、0是有理数，它的绝对值是0，但0不是正数，故C错误；
D、0不能作除数，所以0没有倒数，故D正确。
故答案为：D
【分析】根据有理数的相关概念逐项分析即可。
8．（2021七上·商城期末）若 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是倒数等于它本身的自然数，则 的值为（ ）
A．2019 B．2014 C．2015 D．2
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：根据题意得：a=-1，b=0，c=1，
则原式=1+0+1=2，
故答案为：D.
【分析】根据最大的负整数是-1，绝对值最小的有理数是0，倒数等于它本身的自然数 是1，计算即可.
二、填空题
9．（2022七上·义乌月考）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）．
（1）当小明输入4，-2这两个数时，则两次输出的结果依次为 ， ；
（2）有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是 ．
【答案】（1）1；
（2）2或7
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；有理数大小比较；有理数的加法
【解析】【解答】解：（1）当x=4时，4＞2，
∴4+（-5）=-1＜2
∴-1的相反数是1
1的倒数为1
∴输出的数为1；
当x=-2时
∴-2的相反数为2＞0
∴2的倒数为，
∴输出的数为.
故答案为：1，
（2）当按照绝对值，输出的数是2时，
|-2|=2，-2的相反数是2；
|2|=2，2的相反数是-2，5-（-2）=7；
∴输入的数是2或7；
当按倒数，输出的数是2时，输入的数在小于10的正整数范围内无解.
故答案为：2或7
【分析】（1）由于4＞2，因此求出4与-5的和，它的和小于2，求出4与-5的和的相反数，它的相反数为正数，然后求出其倒数，可得到输出的数；根据-2＜2，因此求出-2的相反数，它的相反数大于0，然后求出-2的相反数的倒数，即可得到输出的数.
（2）分情况讨论：当按照绝对值，输出的数是2时，倒推回去，可知|-2|=2，-2的相反数是2；|2|=2，2的相反数是-2，5-（-2）=7；可得到输入的数；当按倒数，输出的数是2时，输入的数在小于10的正整数范围内无解.
10．（2022七下·柳州期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 .
【答案】-4
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得：
a+b＝0，cd＝1，
∴
＝0-4×1
＝0-4
＝-4，
故答案为：-4.
【分析】由a、b互为相反数，c、d互为倒数，可得a+b＝0，cd＝1，再整体代入计算即可.
11．计算：（-2 ）2012×（ ）2013= ．
【答案】
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：(-2 )2012×( )2013
=( )2012× ×( )2012
=( × )2012× =1× = .
故答案为： .
【分析】若指数相同的两个数相乘，可转换为两数积的幂的值，又因互为倒数的两数相乘为1，可求解出结果。
12．一个自然数和它倒数的和是5.2，这个自然数是 。
【答案】5
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】5＋0.2＝5.2，且5与 互为倒数，所以自然数是5。
【分析】通过审题，5.2＝5＋0.2，由此可以得到这个自然数的倒数是0.2，从而求出这个自然数，据此即可解答问题。
三、解答题
13．（2022七上·江城期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.求的值.
【答案】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵m的绝对值为2，
∴m=±2，
当m=2时，
=2+1+0=3；
当m=-2时，
=-2+1+0=-1
故答案为3或-1.
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】 由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，可得a+b=0，cd=1，m=±2， 然后分别代入计算即可.
四、综合题
14．（2021七上·黔南月考）请你认真阅读下列材料：
计算：
解法一：因为原式的倒数=
．
所以原式，
解法二：原式
．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？
（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：．
【答案】（1）解：解法二错误，因为除法没有分配律，他利用了除法分配律进行计算肯定出现错误．
（2）解：因为原式的倒数为
，
，
，
，
，
所以原式．
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法运算律
【解析】【分析】（1）利用除法没有分配律，可作出判断；
（2）利用倒数法，将原式变形为，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，接着利用乘法分配律进行计算得出结果，最后再求倒数，可求出原式的结果.
15．（2022七上·港北期中）
（1）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的值；
（2）若在数轴上的位置如图所示，化简式子：。
【答案】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b=0，cd＝1，m=±2，
∴原式=+3×（±2）2-2×1=10.
（2）解：∵a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b-a＞0，
∴原式=-（a+b）-2（b-a）+a=-a-b-2b+2a+a=2a-3b
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】（1）由a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，可得a+b=0，cd＝1，m=±2，代入式子中计算求值即可.
（2）观察数轴可知a＜0＜b，|a|＞|b|，利用有理数的加减法法则可得到a+b＜0，b-a＞0；再利用绝对值的性质，化简绝对值，然后合并同类项即可.
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