2023-2024学年初中数学七年级上册 1.10 有理数的乘方 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·仪征期中）式子化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·曲阳期中）计算的结果是（ ）
A．8 B． C．4 D．
3．（2023七上·利州期末）下列说法中不正确的一项是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．绝对值等于自身的数只有0或1
C．平方等于自身的数只有0或1 D．立方等于自身的数只有0或
4．（2022七上·凤台期末）有理数a，b在数轴上的位置如下图所示，在下列结论中∶①ab＜0；②a+b＞0；③a3＞b2；④（a－b）3＜0；⑤a＜－b＜b＜－a；⑥|b－a|－|a|=b．正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（2022七上·浦江月考）求的值，可令，则，因此，仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020七上·重庆月考）计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（ ）
A．2100 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2100
7．（2019七上·乌鲁木齐月考）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8．（2019七上·南通月考）计算 其结果用幂的形式可表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022七上·永兴期末）比较大小： .
10．（2019七上·港南期中）某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
，则6的所有正约数之和为 ；
，则12的所有正约数之和为
，则36的所有正约数之和为
参照上述方法，那么144的所有正约数之和为 .
11．（2022七上·浦东新期中）若，，，则、、的大小关系是 （用“>”连接）．
12．（2023七下·镇海期中）已知m为整数，若m+2023，4m-2023的值都是整数的平方，则满足条件的m的最小值为 ．
13．（2020七上·上思月考）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第10次后拉出 根细面条．
三、计算题
14．（2022七上·龙岗期末）计算：
（1）
（2）
四、解答题
15．（2022七上·大田期中）请你将0，-2，，，在数轴上表示出来，并用“＞”将上列各数连接起来.
16．（2022七上·安化期中）在同一条数轴上表示下列各数，再把它们用“<”号连接起来．
，，， ，
五、综合题
17．（2021六下·哈尔滨期中）在解决数学问题时，我们常用到“分类讨论”的思想，下面是运用分类讨论的数学思想
解决问题的过程，请仔细阅读，并回答问题：
提出问题：两个有理数a、b，且ab>0，求的值．
2 当a、b都是正数时，即a>0，b>0时，==1+1=2
②当a、b都是负数时，即a<0， b<0时，==-1+(-1)=-2
根据上面的解题思路回答下面的问题：
（1）已知a>0，b>0，则=
（2）已知|a|=3，|b|=1，且a<0，的值为
（3）两个有理数a、b，且ab<0，求的值．
18．（2021七上·吴兴期末）[阅读理解]求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作a ，读作“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ＝ ；
（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
= （n≥2且n为正整数）
（3）[实践应用]
计算
①
② （其中n=2021）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】利用几个相同的数相加，可以转化为乘法运算，再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求出结果.
2．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】=-8
故答案为：B
【分析】利用乘方运算即可
3．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数及其分类；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、C、D均正确，
绝对值等于自身的数是所有非负数，所以B错误，符合题意，
故答案为：B.
【分析】0既不是正数，也不是负数，据此判断A；根据绝对值的概念可判断B；根据有理数的乘方法则可判断C、D.
4．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜0＜b，①ab＜0，故①符合题意；
②a+b＜0，故②不符合题意；
③a3＜0＜b2，故③不符合题意；
④a-b＜0，（a-b）3＜0，故④符合题意；
⑤由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜-b＜b＜-a，故⑤符合题意；
⑥|b-a|-|a|=b-a-（-a）=b-a+a=b，故⑥符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合数轴，再利用特殊值法逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：令S= ，则5S= ，
∴，
∴4S=52019-1，
∴
故答案为：C.
【分析】根据题干提供的方法可设S= ，在等式的两边同时乘以5得5S= ，进而将两式相减即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（﹣2）100+（﹣2）101＝2100﹣2×2100
＝2100×（1﹣2）
＝﹣2100，
故答案为：D.
【分析】根据乘方先确定符号后，再提取公因式即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵1- = ，
∴第2次后剩下的绳子的长度为( )2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
故答案为：C.
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为( )2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
8．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】对原式进行变形，然后利用有理数的乘方法则和积的乘方法则进行计算.
9．【答案】<
【知识点】有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：=-9，=-7，
∵|-9|>|-7|，
∴<，
故答案为：<.
【分析】根据有理数的乘方法则可得-(-3)2=-9，根据绝对值的性质可得-|-7|=-7，然后根据有理数比较大小的方法进行比较.
10．【答案】403
【知识点】有理数的加法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】 ,则144的所有正约数之和为
【分析】参照上述方法可得， ，然后类比后续方法求出正约数之和.
11．【答案】a＞c＞b
【知识点】有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： ，
，
，
∵ ．
∴ ．
故答案为：a＞c＞b．
【分析】先分别求出a、b、c的值，再比较大小即可。
12．【答案】578
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意知4m-2023＞0，
∴m＞505.75，
∴ m+2023＞2528.75，
∵502=2500，512=2601，
∴m+2023=2601=512时，m=578，
当m=578时，4m-2023=289=172，
∴ 满足条件的m的最小值为578.
故答案为：578.
【分析】由m为整数，且m+2023，4m-2023的值都是整数的平方 ，可得4m-2023＞0，可求m＞505.75，从而得出m+2023＞2528.75， 根据502=2500，512=2601，可得m+2023=2601=512时，m=578，再将578代入4m-2023验证即可.
13．【答案】1024
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：第一次捏合后可拉出1×2=2根面条，第二次捏合后可拉出2×2=4根面条，第三次捏合后可拉出2×2×2=8根面条，依此类推，第n次捏合可拉出2n根面条，
∴捏合到第10次后拉出细面条的根数：210=1024.
故答案为：1024.
【分析】分别列出第一次、第二次和第三次捏合后可拉出的面条根数，依此类推得出规律，则可求出捏合到第10次后拉出细面条的根数.
14．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）先计算乘方，再计算加减法即可；
（2）利用有理数的乘法运算律计算即可。
15．【答案】解：，，
数轴表示如下：
用“＞”将上列各数连接起来：.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数0，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点上方写出该点所表示的数，最后根据数轴上的点所表示的数，右边的数总比左边的大即可比出大小.
16．【答案】解： ， ， ， ，
如图所示：
所以：
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方法则可得-(-1)2022=-1，根据绝对值的概念可得|-2|=2，根据相反数的概念可得-(-0.5)=0.5，根据百分数与小数的互化可得-50%=-0.5，然后将各数表示在数轴上，再根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较.
17．【答案】（1）1
（2）-3
（3）解：
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）
（2）
【分析】关键是深刻理解绝对值的概念和性质，尤其是负数的绝对值是它的相反数；另外要理解乘方的概念和性质，如一对相反数的平方相等。
18．【答案】（1）
（2）；
（3）解：由（2）可知：
①
，
②原式，
令①
则②
②-①得，
∴，
故原式.
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：(1)依题意知，；
(2) ，
；
【分析】（1）根据题意，将4个（-6）连续相除计算即可求解；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据有理数的乘方运算法则，即可分别求解；
（3）①根据（2）中所得结论，依次代入进行计算即可求解；
②根据（2）中所得结论，原式可转化为，令其等于T，两边再同时乘以5，得到5T，两式进行相减，即可解得T，即为原式.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 1.10 有理数的乘方 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·仪征期中）式子化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】利用几个相同的数相加，可以转化为乘法运算，再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求出结果.
2．（2023七下·曲阳期中）计算的结果是（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】=-8
故答案为：B
【分析】利用乘方运算即可
3．（2023七上·利州期末）下列说法中不正确的一项是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．绝对值等于自身的数只有0或1
C．平方等于自身的数只有0或1 D．立方等于自身的数只有0或
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数及其分类；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、C、D均正确，
绝对值等于自身的数是所有非负数，所以B错误，符合题意，
故答案为：B.
【分析】0既不是正数，也不是负数，据此判断A；根据绝对值的概念可判断B；根据有理数的乘方法则可判断C、D.
4．（2022七上·凤台期末）有理数a，b在数轴上的位置如下图所示，在下列结论中∶①ab＜0；②a+b＞0；③a3＞b2；④（a－b）3＜0；⑤a＜－b＜b＜－a；⑥|b－a|－|a|=b．正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜0＜b，①ab＜0，故①符合题意；
②a+b＜0，故②不符合题意；
③a3＜0＜b2，故③不符合题意；
④a-b＜0，（a-b）3＜0，故④符合题意；
⑤由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜-b＜b＜-a，故⑤符合题意；
⑥|b-a|-|a|=b-a-（-a）=b-a+a=b，故⑥符合题意；
故答案为：B．
【分析】结合数轴，再利用特殊值法逐项判断即可。
5．（2022七上·浦江月考）求的值，可令，则，因此，仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：令S= ，则5S= ，
∴，
∴4S=52019-1，
∴
故答案为：C.
【分析】根据题干提供的方法可设S= ，在等式的两边同时乘以5得5S= ，进而将两式相减即可得出答案.
6．（2020七上·重庆月考）计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（ ）
A．2100 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣2100
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（﹣2）100+（﹣2）101＝2100﹣2×2100
＝2100×（1﹣2）
＝﹣2100，
故答案为：D.
【分析】根据乘方先确定符号后，再提取公因式即可得出答案.
7．（2019七上·乌鲁木齐月考）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵1- = ，
∴第2次后剩下的绳子的长度为( )2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
故答案为：C.
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为( )2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为( )6米.
8．（2019七上·南通月考）计算 其结果用幂的形式可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】对原式进行变形，然后利用有理数的乘方法则和积的乘方法则进行计算.
二、填空题
9．（2022七上·永兴期末）比较大小： .
【答案】<
【知识点】有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：=-9，=-7，
∵|-9|>|-7|，
∴<，
故答案为：<.
【分析】根据有理数的乘方法则可得-(-3)2=-9，根据绝对值的性质可得-|-7|=-7，然后根据有理数比较大小的方法进行比较.
10．（2019七上·港南期中）某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
，则6的所有正约数之和为 ；
，则12的所有正约数之和为
，则36的所有正约数之和为
参照上述方法，那么144的所有正约数之和为 .
【答案】403
【知识点】有理数的加法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】 ,则144的所有正约数之和为
【分析】参照上述方法可得， ，然后类比后续方法求出正约数之和.
11．（2022七上·浦东新期中）若，，，则、、的大小关系是 （用“>”连接）．
【答案】a＞c＞b
【知识点】有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： ，
，
，
∵ ．
∴ ．
故答案为：a＞c＞b．
【分析】先分别求出a、b、c的值，再比较大小即可。
12．（2023七下·镇海期中）已知m为整数，若m+2023，4m-2023的值都是整数的平方，则满足条件的m的最小值为 ．
【答案】578
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意知4m-2023＞0，
∴m＞505.75，
∴ m+2023＞2528.75，
∵502=2500，512=2601，
∴m+2023=2601=512时，m=578，
当m=578时，4m-2023=289=172，
∴ 满足条件的m的最小值为578.
故答案为：578.
【分析】由m为整数，且m+2023，4m-2023的值都是整数的平方 ，可得4m-2023＞0，可求m＞505.75，从而得出m+2023＞2528.75， 根据502=2500，512=2601，可得m+2023=2601=512时，m=578，再将578代入4m-2023验证即可.
13．（2020七上·上思月考）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第10次后拉出 根细面条．
【答案】1024
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：第一次捏合后可拉出1×2=2根面条，第二次捏合后可拉出2×2=4根面条，第三次捏合后可拉出2×2×2=8根面条，依此类推，第n次捏合可拉出2n根面条，
∴捏合到第10次后拉出细面条的根数：210=1024.
故答案为：1024.
【分析】分别列出第一次、第二次和第三次捏合后可拉出的面条根数，依此类推得出规律，则可求出捏合到第10次后拉出细面条的根数.
三、计算题
14．（2022七上·龙岗期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）先计算乘方，再计算加减法即可；
（2）利用有理数的乘法运算律计算即可。
四、解答题
15．（2022七上·大田期中）请你将0，-2，，，在数轴上表示出来，并用“＞”将上列各数连接起来.
【答案】解：，，
数轴表示如下：
用“＞”将上列各数连接起来：.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数0，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点上方写出该点所表示的数，最后根据数轴上的点所表示的数，右边的数总比左边的大即可比出大小.
16．（2022七上·安化期中）在同一条数轴上表示下列各数，再把它们用“<”号连接起来．
，，， ，
【答案】解： ， ， ， ，
如图所示：
所以：
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方法则可得-(-1)2022=-1，根据绝对值的概念可得|-2|=2，根据相反数的概念可得-(-0.5)=0.5，根据百分数与小数的互化可得-50%=-0.5，然后将各数表示在数轴上，再根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较.
五、综合题
17．（2021六下·哈尔滨期中）在解决数学问题时，我们常用到“分类讨论”的思想，下面是运用分类讨论的数学思想
解决问题的过程，请仔细阅读，并回答问题：
提出问题：两个有理数a、b，且ab>0，求的值．
2 当a、b都是正数时，即a>0，b>0时，==1+1=2
②当a、b都是负数时，即a<0， b<0时，==-1+(-1)=-2
根据上面的解题思路回答下面的问题：
（1）已知a>0，b>0，则=
（2）已知|a|=3，|b|=1，且a<0，的值为
（3）两个有理数a、b，且ab<0，求的值．
【答案】（1）1
（2）-3
（3）解：
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）
（2）
【分析】关键是深刻理解绝对值的概念和性质，尤其是负数的绝对值是它的相反数；另外要理解乘方的概念和性质，如一对相反数的平方相等。
18．（2021七上·吴兴期末）[阅读理解]求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作a ，读作“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ＝ ；
（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
= （n≥2且n为正整数）
（3）[实践应用]
计算
①
② （其中n=2021）
【答案】（1）
（2）；
（3）解：由（2）可知：
①
，
②原式，
令①
则②
②-①得，
∴，
故原式.
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：(1)依题意知，；
(2) ，
；
【分析】（1）根据题意，将4个（-6）连续相除计算即可求解；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据有理数的乘方运算法则，即可分别求解；
（3）①根据（2）中所得结论，依次代入进行计算即可求解；
②根据（2）中所得结论，原式可转化为，令其等于T，两边再同时乘以5，得到5T，两式进行相减，即可解得T，即为原式.
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