2023-2024学年初中数学七年级上册 2.6 角的大小 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七上·北碚期末）下列说法正确的有（ ）个
①两点确定一条直线；②两点之间，直线最短；③角的两边越长，角就越大；④若线段，则点B是线段的中点.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2021七上·云梦期末）在同一平面内，已知，，则等于（ ）.
A．80° B．40° C．80°或40° D．20°
3．（2022七上·广丰期末）下面所标注的四个角中最大的角是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七上·石景山期末）图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021七上·雁塔月考）下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离
②射线有两个端点
③若AB＝2CB，则点C是AB的中点
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，则有∠A＞∠C＞∠B
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021七上·卢龙期中）已知∠A＝ ，∠B＝30.45°，则∠A（ ）∠B
A． B． C．＝ D．无法确定
7．（2021七上·正定期中）如图， 与 之间的关系是（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小无法比较
8．（2021七上·信都期中）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB
作法：⑴如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
⑵画一条射线O′A′，以点O′为圆心，n为半径画弧，交O′A′于点C′；
⑶以点C′为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
⑷过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m＝p＞0 B．n＝p＞0 C．p＝n＞0 D．m＝n＞0
二、填空题
9．用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是 .
10．（2022七上·城固期末）比较大小：18.25° 18°25′（填“>”“<”或“＝”）
11．（2021七上·呼和浩特期末）比较图中、的大小：因为和是公共边，在的内部，所以 ．（填“>”，“<”或“=”）
12．（2021七上·义乌期末）如图，将量角器的中心与的顶点重合，读出射线OA，OB分别经过刻度18和140，把绕点O顺时针方向旋转到，读出的平分线OC经过刻度32，则的平分线经过的刻度是 ．
13．（2021七上·叶县期末）比较两个角 和 的大小关系：小明用度量法测得 ；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将 和 的顶点重合，边 与 重合，边 和 置于重合边的同侧，则边 .（填序号：①“在 的内部”；②“在 的外部”；③“与边 重合”）
三、解答题
14．（2023七上·益阳期末）如图，OC在∠BOD内.
（1）如果∠AOC和∠BOD都是直角.
①若∠BOC=60°，则∠AOD的度数是 ▲ ；
②猜想∠BOC与∠AOD的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠AOC=∠BOD=x°，∠AOD=y°，求∠BOC的度数.
四、作图题
15．（2020七上·怀柔期末）如图，测绘平面上有两个点A，B．应用量角器和圆规完成下列画图或测量：
①连接AB，点C在点B北偏东30°方向上，且BC=2AB，作出点C（保留作图痕迹）；
②在（1）所作图中，D为BC的中点，连接AD，AC，画出∠ADC的角平分线DE交AC于点E；
③在①②所作图中，用量角器测量∠BDE的大小（精确到度）．
五、综合题
16．（2020七上·温岭期末）如图①，已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OB上的点，线段OM、ON同时开始旋转，线段OM以30度/秒绕点O逆时针旋转，线段ON以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当OM旋转到与OB重合时，线段OM、ON都停止旋转.设OM的旋转时间为t秒.
（1）若∠AOB＝140°，当t＝2秒时，∠MON＝ ，当t＝4秒时，∠MON＝ ；
（2）如图②，若∠AOB＝140°，OC是∠AOB的平分线，求t为何值时，两个角∠NOB与∠COM中的其中一个角是另一个角的2倍.
（3）如图③，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM＝3∠CON，请直接写出 的值.
17．（2020七上·东阳期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE.
（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是 .
（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由.
（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数.
18．（2020七上·上城期末）已知，直线AB与直线CD相交于O，OB平分∠DOF.
（1）如图，若∠BOF=40°，求∠AOC的度数；
（2）作射线OE，使得∠COE=60°，若∠BOF=x°( )，求∠AOE的度数(用含x的代数式表示).
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；角的大小比较；线段的中点
【解析】【解答】解：经过两点有且只有一条直线，故①符合题意；
两点之间，线段最短，故②不符合题意；
角的大小与边的长短无关，故③不符合题意；
若，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段的中点，故④不符合题意.
正确的只有1个.
故答案为：D.
【分析】经过两点有且只有一条直线，据此判断①；根据线段的性质可判断②；角的大小与边的长短无关，据此判断③；根据线段中点的概念可判断④.
2．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图所示，当C点在OB上方，
则=60°-20°=40°
当C点在OB下方
则=60°+20°=80°
故答案为：C.
【分析】由题意可分两种情况：①当C点在OB上方，由角的构成∠AOC=∠AOB-∠COB可求解；②当C点在OB下方，由角的构成∠AOC=∠AOB+∠COB可求解.
3．【答案】D
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：A、是钝角，大于90°小于180°，不符合题意；
B、是锐角，小于90°，不符合题意；
C、是直角，90°，不符合题意；
D、是平角，180°，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据角的相关概念比较四个角大小即可。
4．【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：过点O作EO⊥OD，
∵OD是网格正方形的对角线，
∴∠DOB=45°，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOA=180°-∠EOD-∠2=45°，
∵OC在∠EOA内部，
∴∠1＜∠EOA=∠2，
∴不成立，选项A不符合题意，选项B符合题意；
∴∠1+∠2＜∠EOA+∠2=90°，C不符合题意；选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】先求出∠EOD=90°，再求出∠1＜∠EOA=∠2，最后求解即可。
5．【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；两点间的距离；角的大小比较；线段的中点
【解析】【解答】①连接两点之间的线段的长度叫两点间的距，故说法错误；
②射线只有一个端点，故说法错误；
③C不一定为AB中点，故说法错误；
④根据度分秒的换算，∠A=20°18'=20°1080"，∠B=20°28"，∠C=20.25°=20°900"，得∠A>∠C>∠B，故说法正确．
故答案为：A
【分析】根据两点距离的定义、射线的定义，度分秒的换算解决问题.
6．【答案】A
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：30.45°＝30°+0.45×60′＝30°27′，
∵30°45′＞30°27′，
∴30°45'＞30.45°，
∴∠A＞∠B，
故答案为：A．
【分析】利用角的大小比较方法求解即课。
7．【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】用度量法测得∠1=24°，∠2=24°
∴ ．
故答案为：B．
【分析】用度量法测得∠1=24°，∠2=24°，再比较大小即可。
8．【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′=m=n，CD=C′D′=p，
∵m为半径=OC，p为半径=C′D′，m≠P，A不符合题意；
∵n为半径=OC′，p为半径= C′D′，n≠p，B不符合题意；
p为半径确定角的张口大小，与n的大小没直接关系，，C不符合题意；
∵m与n均为半径确定夹角的两边要相同m=n>0．D符合题意．
故答案为：D．
【分析】首先利用作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后逐项进行判断。熟练掌握基本作图是解决问题的关键。
9．【答案】30°
【知识点】角的概念；角的大小比较
【解析】【解答】解：用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是30°.
故答案为：30°
【分析】角的大小与角的两边的长短无关，可得答案.
10．【答案】＜
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：
而
故答案为：＜.
【分析】根据角度之间的转化可得18.25°=18°+0.25×60′=18°15′，据此进行比较.
11．【答案】＜
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC＜∠BOD．
故答案为：＜．
【分析】根据图象即可直接求出角的大小。
12．【答案】93
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：射线OA，OB分别经过刻度18和140，
的平分线OC经过刻度32
旋转
∴的平分线经过的刻度为：18+=93.
故答案为：93.
【分析】 先根据射线OA，OB经过的刻度可得∠AOB＝122°，再根据OC经过的刻度得∠AOC＝14°，根据角的和差可得∠AOB′＝150°．
13．【答案】①
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵将 和 的顶点重合，边 与 重合，边 和 置于重合边的同侧， ；
∴边 在 的内部.
故答案为：①.
【分析】结合叠合法和两个角的大小关系即可得出答案.
14．【答案】（1）解：①120°；
②猜想∠BOC+∠AOD=180°.
证明：∵∠BOC=90°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=90°+∠AOB，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC=90°+90°=180°；
（2）解：类比②可得：∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC，
∵∠BOD=∠AOC=x°，∠AOD=y°，
∴∠BOC=（2x-y）°.
故答案为：（2x-y）°.
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）①∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∴∠AOD=120°；
【分析】（1）①由∠AOB=∠AOC-∠BOC及∠AOD=∠BOD+∠AOB，代入计算即可得出答案；
② ∠BOC+∠AOD=180°，理由如下：由 ∠AOD=∠BOD+∠AOB ， 则∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC 并结合∠AOC=90°=∠BOD，即可得出答案；
（2）由②的结论得∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD，进而代入计算即可得出答案.
15．【答案】解：①②如图：
③∠BDE=115°．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】根据题意作图，再通过测量求出角的大小即可。
16．【答案】（1）60°；20°
（2）解：若∠COM＝2∠BON时，|30°t﹣70°|＝2×10°×t，
∴t＝ 或7（不合题意舍去）
当∠BON＝2∠COM时，2|30°t﹣70°|＝10°×t，
∴t＝2或 ，
综上所述当t＝ 或2或 时，两个角∠NOB与∠COM中的其中一个角是另一个角的2倍.
（3）解：∵∠COM＝3∠CON，
∴∠AOB﹣∠BOC﹣30°×t＝3（∠BOC﹣10°×t），
∴∠AOB＝4∠BOC，
∴ ＝ .
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当t＝2s时，∠MON＝140°﹣10°×2﹣30°×2＝60°，如图，
当t＝4s时，∠MON＝4×10°-（140°-4×30°）＝20°，如图，
故答案为：60°，20°；
【分析】（1）当t=2秒时，线段OM与ON未相遇，根据∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON计算即可；当t=4时，线段OM与ON已相遇过，根据∠MON＝∠BON-（∠AOB-∠AOM）计算即可；
（2）分① 若∠COM＝2∠BON时与② 当∠BON＝2∠COM时 两种情况讨论，列出方程可求解；
（3）由∠COM＝3∠CON，列出关于∠AOB，∠BOC的等式，即可求解.
17．【答案】（1）35°
（2）解：∠BOE＝2∠FOH，理由如下：
设∠AOH＝x，
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝x
所以∠FOH＝90 °﹣∠HOE＝90°﹣x
∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x
所以∠BOE＝2∠FOH；
（3）解：如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝ AOE
因为OG平分∠BOF
∠FOG＝∠GOB＝ BOF
所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH
＝ BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF）
＝ （180°﹣∠AOF）﹣ AOE+∠AOF
＝90°﹣ AOF﹣ （90°+∠AOF）+∠AOF
＝90°﹣ AOF﹣45°﹣ AOF+∠AOF
＝45°；
所以∠GOH的度数为45°；
如图4，当OE落在其他位置时
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝ AOE
因为OG平分∠BOF
∠FOG＝∠GOB＝ BOF
所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH
＝ BOF+∠AOH+∠AOF
＝ （180°﹣∠AOF）+ AOE+∠AOF
＝90°﹣ AOF+ （90°﹣∠AOF）+∠AOF
＝90°﹣ AOF+45°﹣ AOF+∠AOF
＝135°；
所以∠GOH的度数为135°
综上所述：∠GOH的度数为45° 或135°.
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：（1）因为∠AOD＝90° ，∠DOE＝20°
所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝ AOE＝55°
所以∠FOH＝90° ﹣∠HOE＝35° ；
故答案为：35 ° ；
【分析】（1）根据∠AOD＝90°，∠DOE＝20° 得∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110 ° ，再根据OH平分∠AOE，即可求解；
（2）可以设∠AOH＝x，根据OH平分∠AOE，可得∠HOE＝∠AOH＝x，进而∠FOH＝90° ﹣∠HOE＝90° ﹣x，∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x，即可得结论；
（3）分两种情况解答：当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内，当OE落在其他位置时，根据OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解.
18．【答案】（1）解：如图，
∵OB平分∠DOF
∴∠BOD=∠BOF=40°
又∵∠AOC与∠BOD互为对顶角
∴∠AOC=∠BOD=40°
∴∠AOC=40°
（2）解：① 时分成两种情况：
如上图情况：∠AOE=∠AOC+∠COE=x°+60°
如上图情况：∠AOE=∠COE-∠AOC=60°-x°
② 时也分成两种情况：
如上图情况：∠AOE=∠AOC-∠COE=x°-60°
如上图情况：∠AOE=∠AOC+∠COE=x°+60°
综上所述：当 时，∠AOE为60°-x°或60°+x°
当 时，∠AOE为x°-60°或60°+x°
【知识点】角的大小比较
【解析】【分析】(1)根据 OB平分∠DOF，可知∠BOD=∠BOF=40°，进而根据对顶角相等可求∠AOC的度数；
(2)① 时分成两种情况：② 时也分成两种情况，画出图形可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 2.6 角的大小 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七上·北碚期末）下列说法正确的有（ ）个
①两点确定一条直线；②两点之间，直线最短；③角的两边越长，角就越大；④若线段，则点B是线段的中点.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；角的大小比较；线段的中点
【解析】【解答】解：经过两点有且只有一条直线，故①符合题意；
两点之间，线段最短，故②不符合题意；
角的大小与边的长短无关，故③不符合题意；
若，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段的中点，故④不符合题意.
正确的只有1个.
故答案为：D.
【分析】经过两点有且只有一条直线，据此判断①；根据线段的性质可判断②；角的大小与边的长短无关，据此判断③；根据线段中点的概念可判断④.
2．（2021七上·云梦期末）在同一平面内，已知，，则等于（ ）.
A．80° B．40° C．80°或40° D．20°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图所示，当C点在OB上方，
则=60°-20°=40°
当C点在OB下方
则=60°+20°=80°
故答案为：C.
【分析】由题意可分两种情况：①当C点在OB上方，由角的构成∠AOC=∠AOB-∠COB可求解；②当C点在OB下方，由角的构成∠AOC=∠AOB+∠COB可求解.
3．（2022七上·广丰期末）下面所标注的四个角中最大的角是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：A、是钝角，大于90°小于180°，不符合题意；
B、是锐角，小于90°，不符合题意；
C、是直角，90°，不符合题意；
D、是平角，180°，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据角的相关概念比较四个角大小即可。
4．（2021七上·石景山期末）图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：过点O作EO⊥OD，
∵OD是网格正方形的对角线，
∴∠DOB=45°，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOA=180°-∠EOD-∠2=45°，
∵OC在∠EOA内部，
∴∠1＜∠EOA=∠2，
∴不成立，选项A不符合题意，选项B符合题意；
∴∠1+∠2＜∠EOA+∠2=90°，C不符合题意；选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】先求出∠EOD=90°，再求出∠1＜∠EOA=∠2，最后求解即可。
5．（2021七上·雁塔月考）下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离
②射线有两个端点
③若AB＝2CB，则点C是AB的中点
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，则有∠A＞∠C＞∠B
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；两点间的距离；角的大小比较；线段的中点
【解析】【解答】①连接两点之间的线段的长度叫两点间的距，故说法错误；
②射线只有一个端点，故说法错误；
③C不一定为AB中点，故说法错误；
④根据度分秒的换算，∠A=20°18'=20°1080"，∠B=20°28"，∠C=20.25°=20°900"，得∠A>∠C>∠B，故说法正确．
故答案为：A
【分析】根据两点距离的定义、射线的定义，度分秒的换算解决问题.
6．（2021七上·卢龙期中）已知∠A＝ ，∠B＝30.45°，则∠A（ ）∠B
A． B． C．＝ D．无法确定
【答案】A
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：30.45°＝30°+0.45×60′＝30°27′，
∵30°45′＞30°27′，
∴30°45'＞30.45°，
∴∠A＞∠B，
故答案为：A．
【分析】利用角的大小比较方法求解即课。
7．（2021七上·正定期中）如图， 与 之间的关系是（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小无法比较
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】用度量法测得∠1=24°，∠2=24°
∴ ．
故答案为：B．
【分析】用度量法测得∠1=24°，∠2=24°，再比较大小即可。
8．（2021七上·信都期中）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB
作法：⑴如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
⑵画一条射线O′A′，以点O′为圆心，n为半径画弧，交O′A′于点C′；
⑶以点C′为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
⑷过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m＝p＞0 B．n＝p＞0 C．p＝n＞0 D．m＝n＞0
【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′=m=n，CD=C′D′=p，
∵m为半径=OC，p为半径=C′D′，m≠P，A不符合题意；
∵n为半径=OC′，p为半径= C′D′，n≠p，B不符合题意；
p为半径确定角的张口大小，与n的大小没直接关系，，C不符合题意；
∵m与n均为半径确定夹角的两边要相同m=n>0．D符合题意．
故答案为：D．
【分析】首先利用作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后逐项进行判断。熟练掌握基本作图是解决问题的关键。
二、填空题
9．用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是 .
【答案】30°
【知识点】角的概念；角的大小比较
【解析】【解答】解：用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是30°.
故答案为：30°
【分析】角的大小与角的两边的长短无关，可得答案.
10．（2022七上·城固期末）比较大小：18.25° 18°25′（填“>”“<”或“＝”）
【答案】＜
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：
而
故答案为：＜.
【分析】根据角度之间的转化可得18.25°=18°+0.25×60′=18°15′，据此进行比较.
11．（2021七上·呼和浩特期末）比较图中、的大小：因为和是公共边，在的内部，所以 ．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】＜
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：因为OB和OB是公共边，OC在∠BOD的内部，所以∠BOC＜∠BOD．
故答案为：＜．
【分析】根据图象即可直接求出角的大小。
12．（2021七上·义乌期末）如图，将量角器的中心与的顶点重合，读出射线OA，OB分别经过刻度18和140，把绕点O顺时针方向旋转到，读出的平分线OC经过刻度32，则的平分线经过的刻度是 ．
【答案】93
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：射线OA，OB分别经过刻度18和140，
的平分线OC经过刻度32
旋转
∴的平分线经过的刻度为：18+=93.
故答案为：93.
【分析】 先根据射线OA，OB经过的刻度可得∠AOB＝122°，再根据OC经过的刻度得∠AOC＝14°，根据角的和差可得∠AOB′＝150°．
13．（2021七上·叶县期末）比较两个角 和 的大小关系：小明用度量法测得 ；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将 和 的顶点重合，边 与 重合，边 和 置于重合边的同侧，则边 .（填序号：①“在 的内部”；②“在 的外部”；③“与边 重合”）
【答案】①
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵将 和 的顶点重合，边 与 重合，边 和 置于重合边的同侧， ；
∴边 在 的内部.
故答案为：①.
【分析】结合叠合法和两个角的大小关系即可得出答案.
三、解答题
14．（2023七上·益阳期末）如图，OC在∠BOD内.
（1）如果∠AOC和∠BOD都是直角.
①若∠BOC=60°，则∠AOD的度数是 ▲ ；
②猜想∠BOC与∠AOD的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠AOC=∠BOD=x°，∠AOD=y°，求∠BOC的度数.
【答案】（1）解：①120°；
②猜想∠BOC+∠AOD=180°.
证明：∵∠BOC=90°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=90°+∠AOB，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC=90°+90°=180°；
（2）解：类比②可得：∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC，
∵∠BOD=∠AOC=x°，∠AOD=y°，
∴∠BOC=（2x-y）°.
故答案为：（2x-y）°.
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）①∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∴∠AOD=120°；
【分析】（1）①由∠AOB=∠AOC-∠BOC及∠AOD=∠BOD+∠AOB，代入计算即可得出答案；
② ∠BOC+∠AOD=180°，理由如下：由 ∠AOD=∠BOD+∠AOB ， 则∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC 并结合∠AOC=90°=∠BOD，即可得出答案；
（2）由②的结论得∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD，进而代入计算即可得出答案.
四、作图题
15．（2020七上·怀柔期末）如图，测绘平面上有两个点A，B．应用量角器和圆规完成下列画图或测量：
①连接AB，点C在点B北偏东30°方向上，且BC=2AB，作出点C（保留作图痕迹）；
②在（1）所作图中，D为BC的中点，连接AD，AC，画出∠ADC的角平分线DE交AC于点E；
③在①②所作图中，用量角器测量∠BDE的大小（精确到度）．
【答案】解：①②如图：
③∠BDE=115°．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】根据题意作图，再通过测量求出角的大小即可。
五、综合题
16．（2020七上·温岭期末）如图①，已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OB上的点，线段OM、ON同时开始旋转，线段OM以30度/秒绕点O逆时针旋转，线段ON以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当OM旋转到与OB重合时，线段OM、ON都停止旋转.设OM的旋转时间为t秒.
（1）若∠AOB＝140°，当t＝2秒时，∠MON＝ ，当t＝4秒时，∠MON＝ ；
（2）如图②，若∠AOB＝140°，OC是∠AOB的平分线，求t为何值时，两个角∠NOB与∠COM中的其中一个角是另一个角的2倍.
（3）如图③，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM＝3∠CON，请直接写出 的值.
【答案】（1）60°；20°
（2）解：若∠COM＝2∠BON时，|30°t﹣70°|＝2×10°×t，
∴t＝ 或7（不合题意舍去）
当∠BON＝2∠COM时，2|30°t﹣70°|＝10°×t，
∴t＝2或 ，
综上所述当t＝ 或2或 时，两个角∠NOB与∠COM中的其中一个角是另一个角的2倍.
（3）解：∵∠COM＝3∠CON，
∴∠AOB﹣∠BOC﹣30°×t＝3（∠BOC﹣10°×t），
∴∠AOB＝4∠BOC，
∴ ＝ .
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当t＝2s时，∠MON＝140°﹣10°×2﹣30°×2＝60°，如图，
当t＝4s时，∠MON＝4×10°-（140°-4×30°）＝20°，如图，
故答案为：60°，20°；
【分析】（1）当t=2秒时，线段OM与ON未相遇，根据∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON计算即可；当t=4时，线段OM与ON已相遇过，根据∠MON＝∠BON-（∠AOB-∠AOM）计算即可；
（2）分① 若∠COM＝2∠BON时与② 当∠BON＝2∠COM时 两种情况讨论，列出方程可求解；
（3）由∠COM＝3∠CON，列出关于∠AOB，∠BOC的等式，即可求解.
17．（2020七上·东阳期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE.
（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是 .
（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由.
（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数.
【答案】（1）35°
（2）解：∠BOE＝2∠FOH，理由如下：
设∠AOH＝x，
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝x
所以∠FOH＝90 °﹣∠HOE＝90°﹣x
∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x
所以∠BOE＝2∠FOH；
（3）解：如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝ AOE
因为OG平分∠BOF
∠FOG＝∠GOB＝ BOF
所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH
＝ BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF）
＝ （180°﹣∠AOF）﹣ AOE+∠AOF
＝90°﹣ AOF﹣ （90°+∠AOF）+∠AOF
＝90°﹣ AOF﹣45°﹣ AOF+∠AOF
＝45°；
所以∠GOH的度数为45°；
如图4，当OE落在其他位置时
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝ AOE
因为OG平分∠BOF
∠FOG＝∠GOB＝ BOF
所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH
＝ BOF+∠AOH+∠AOF
＝ （180°﹣∠AOF）+ AOE+∠AOF
＝90°﹣ AOF+ （90°﹣∠AOF）+∠AOF
＝90°﹣ AOF+45°﹣ AOF+∠AOF
＝135°；
所以∠GOH的度数为135°
综上所述：∠GOH的度数为45° 或135°.
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：（1）因为∠AOD＝90° ，∠DOE＝20°
所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝ AOE＝55°
所以∠FOH＝90° ﹣∠HOE＝35° ；
故答案为：35 ° ；
【分析】（1）根据∠AOD＝90°，∠DOE＝20° 得∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110 ° ，再根据OH平分∠AOE，即可求解；
（2）可以设∠AOH＝x，根据OH平分∠AOE，可得∠HOE＝∠AOH＝x，进而∠FOH＝90° ﹣∠HOE＝90° ﹣x，∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x，即可得结论；
（3）分两种情况解答：当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内，当OE落在其他位置时，根据OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解.
18．（2020七上·上城期末）已知，直线AB与直线CD相交于O，OB平分∠DOF.
（1）如图，若∠BOF=40°，求∠AOC的度数；
（2）作射线OE，使得∠COE=60°，若∠BOF=x°( )，求∠AOE的度数(用含x的代数式表示).
【答案】（1）解：如图，
∵OB平分∠DOF
∴∠BOD=∠BOF=40°
又∵∠AOC与∠BOD互为对顶角
∴∠AOC=∠BOD=40°
∴∠AOC=40°
（2）解：① 时分成两种情况：
如上图情况：∠AOE=∠AOC+∠COE=x°+60°
如上图情况：∠AOE=∠COE-∠AOC=60°-x°
② 时也分成两种情况：
如上图情况：∠AOE=∠AOC-∠COE=x°-60°
如上图情况：∠AOE=∠AOC+∠COE=x°+60°
综上所述：当 时，∠AOE为60°-x°或60°+x°
当 时，∠AOE为x°-60°或60°+x°
【知识点】角的大小比较
【解析】【分析】(1)根据 OB平分∠DOF，可知∠BOD=∠BOF=40°，进而根据对顶角相等可求∠AOC的度数；
(2)① 时分成两种情况：② 时也分成两种情况，画出图形可求解.
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