2023-2024学年初中数学七年级上册 2.7 角的和与差 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·樟树期中）如图，AO⊥CO，直线BD经过O点，且∠1＝20°，则∠COD的度数为（ ）
A．70° B．110° C．140° D．160°
2．（2023·龙港模拟）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·顺德期中）已知，则它的补角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西模拟）如图，从A点发出的光线，经平面镜反射后得到反射光线，，m，n为法线，设，，，那么之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·秦皇岛模拟）如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022七上·大冶期末）如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020七上·祁县期末）如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（ ）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
8．（2020七上·合肥期末）如图∠AOC=∠BOD= ，4位同学观察图形后分别说了自己的观点.甲：∠AOB=∠COD；乙：图中小于平角的角有6个；丙：∠AOB+∠COD = ；丁：∠BOC+∠AOD = .其中正确的结论有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2023七下·福田期末）一个角的余角为，则这个角的度数是 ．
10．（2023七下·槐荫期中）若，则的余角为 度．
11．（2023七下·云浮期末）已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则 ．
12．（2021七上·洪山期末）如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
13．（2021七上·长沙期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
三、解答题
14．（2023七下·汨罗期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE：∠AOD=1：3，∠COB：∠DOF=3：4，求∠DOE的度数．
15．（2023七下·蒲城期中）已知与互余，若，求的补角的度数．
四、综合题
16．（2022七上·双阳期末）如图为半圆形计时器，指针绕点从开始逆时针匀速向旋转，速度为10°每秒，指针绕点从开始先顺时针匀速向旋转，到达后立即按原速度逆时针匀速向旋转，速度为20°每秒，两指针同时从起始位置出发，当到达时，两指针都停止旋转．设旋转时间为秒
（1）当时， 度；
（2） 度（用含的代数式表示）；
（3）当 时，与首次重合；
（4）求的度数（用含的代数式表示，并写出相对应的的取值范围）；
17．（2022七上·新乡期末）如图，两条直线相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒，两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）.
（1）图中一定有 个直角；当，的度数为 ；当，的度数为 ；
（2）当时，若，试求出t的值；
（3）当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】∵AO⊥CO，
∴∠AOC=90°，
∵∠1=20°，
∴∠COB=∠AOC-∠1=90°-20°=70°，
∴∠COD=180°-∠COB=180°-70°=110°，
故答案为：B.
【分析】先利用角的运算求出∠COB的度数，再利用邻补角求出∠COD的度数即可。
2．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】如图：
根据图象可得：∠ACE=30°，∠ACB=45°，∠B=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACE=45°-30°=15°，
在△BCD中，∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-90°-15°=75°，
∴=，
故答案为： C.
【分析】先利用角的运算求出∠BCD=∠ACB-∠ACE=45°-30°=15°，再利用三角形的内角和求出的度数即可。
3．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：它的补角为：，
故答案为：C．
【分析】利用补角的计算方法求出答案即可。
4．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
∵，
即
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据，可得，再求出即可。
5．【答案】D
【知识点】角的运算；作图-角
【解析】【解答】解：根据作图可知，
A. ，不符合题意；
B. ∵，即，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. 不能判断，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据作图可知，再根据角的和差关系逐一判断即可.
6．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念；余角、补角及其性质；线段的长短比较
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
7．【答案】B
【知识点】角的概念；角的运算；线段的计算
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项不符合题意；
，
，
，即 ，
所以B选项符合题意；
由中点定义可得： ， ，
，
，
，
所以C选项不符合题意；
由角平分线的定义可得： ， ，
，
，
，
，
，
所以D选项不符合题意，
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可；
B，根据线段的关系判断即可；
C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论；
D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。
8．【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：甲∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，∠AOB=∠COD，故甲符合题意；
乙∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，故乙符合题意；
丙∠AOB=∠COD，故丙不符合题意；
丁：∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=180°，故丁符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据余角的性质，补角的性质，可得答案．
9．【答案】70
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：70.
【分析】如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角.
10．【答案】67
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角为67°，
故答案为：67
【分析】根据余角的性质结合题意即可求解。
11．【答案】100°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
12．【答案】①③④
【知识点】直线、射线、线段；角的运算
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据线段的概念找出直线CD上线段的条数，据此判断①；当AM、AN在三角形外部时，易得∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，则∠BAM+∠EAN=∠BAD+∠EAC=90°，结合周角的概念可得∠MAN＝150°，据此判断②；根据图形可得∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝420°，据此判断③；当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC，据此判断④.
13．【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠BOE= ∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE= ，
故答案为： .
【分析】由∠BOE= ∠BOC可得∠BOC=n∠BOE，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，即得∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，利用∠DOE=∠BOD-∠BOE即可求解.
14．【答案】解：∵∠AOE：∠AOD=1：3，
∴设∠AOE=k，∠AOD=3k，
则∠COB=∠AOD=3k，
∵∠COB：∠DOF=3：4，
∴∠DOF=4k，
∴∠AOE+∠AOD+∠DOF=k+3k+4k=180°，
解得k=22.5°，
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=k+3k=4k=4×22.5°=90°，
即∠DOE=90°．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】 设∠AOE=k，∠AOD=3k， 求出 ∠DOF=4k， 再结合 ∠AOE+∠AOD+∠DOF=k+3k+4k=180°， 求出k的值，再利用角的运算求出 ∠DOE=∠AOE+∠AOD=k+3k=4k=4×22.5°=90°即可。
15．【答案】解：∵与互余，，
∴，
∵，
∴的补角的度数为．
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】由题意可得∠1+∠2=90°，结合∠1的度数可求出∠2的度数，然后根据互为补角的两角之和为180°进行计算.
16．【答案】（1）60
（2）
（3）6
（4）解：分三种情况：
①、首次相遇之前，如图：
此时，，，
即时，；
②、首次相遇之后，到达之前，如图：
，，
即时，；
③到达之后，如图：
，，
当时，，
综上：当时，；当时，；当时，．
【知识点】角的运算
【解析】【解答】（1）解：当时，．
（2），
（3）与首次重合时，，
与互补，
∴，
∴．
【分析】（1）根据题意直接求出∠AON的度数即可；
（2）根据题意的计算方法求出∠BOM的度数即可；
（3）根据题意列出方程，再求出t的值即可；
（4）分类讨论：①、首次相遇之前，②、首次相遇之后，到达之前，③到达之后，再分别列出方程求解即可。
17．【答案】（1）4；；
（2）解：当与重合时，，
当与重合时，，
∴当时，，
由，得，
解得；
当时，，
由，得，
解得，
综上，当时，t的值为2或；
（3）解：当时，，
∴，
解得，
当时，，
，
∴
；
当时，，
，
∴
，
综上，当时，的值是定值5；当时，的值不是定值.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴图中共有4直角；
由题意得：，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：4，，；
【分析】（1）根据两直线AB、CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数，当t=4时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数；
（2）分两种情况： ①当时 ， ②当时 ，根据，分别列出方程并求解即可；
（3）先判断当∠MON为平角时t值，然后分两种情况： 当时，当时 ，分别计算的值，根据结果作出判断即可.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 2.7 角的和与差 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·樟树期中）如图，AO⊥CO，直线BD经过O点，且∠1＝20°，则∠COD的度数为（ ）
A．70° B．110° C．140° D．160°
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】∵AO⊥CO，
∴∠AOC=90°，
∵∠1=20°，
∴∠COB=∠AOC-∠1=90°-20°=70°，
∴∠COD=180°-∠COB=180°-70°=110°，
故答案为：B.
【分析】先利用角的运算求出∠COB的度数，再利用邻补角求出∠COD的度数即可。
2．（2023·龙港模拟）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】如图：
根据图象可得：∠ACE=30°，∠ACB=45°，∠B=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACE=45°-30°=15°，
在△BCD中，∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-90°-15°=75°，
∴=，
故答案为： C.
【分析】先利用角的运算求出∠BCD=∠ACB-∠ACE=45°-30°=15°，再利用三角形的内角和求出的度数即可。
3．（2023七下·顺德期中）已知，则它的补角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：它的补角为：，
故答案为：C．
【分析】利用补角的计算方法求出答案即可。
4．（2023·江西模拟）如图，从A点发出的光线，经平面镜反射后得到反射光线，，m，n为法线，设，，，那么之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
∵，
即
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据，可得，再求出即可。
5．（2023·秦皇岛模拟）如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；作图-角
【解析】【解答】解：根据作图可知，
A. ，不符合题意；
B. ∵，即，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. 不能判断，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据作图可知，再根据角的和差关系逐一判断即可.
6．（2022七上·大冶期末）如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念；余角、补角及其性质；线段的长短比较
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
7．（2020七上·祁县期末）如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（ ）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
【答案】B
【知识点】角的概念；角的运算；线段的计算
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项不符合题意；
，
，
，即 ，
所以B选项符合题意；
由中点定义可得： ， ，
，
，
，
所以C选项不符合题意；
由角平分线的定义可得： ， ，
，
，
，
，
，
所以D选项不符合题意，
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可；
B，根据线段的关系判断即可；
C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论；
D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。
8．（2020七上·合肥期末）如图∠AOC=∠BOD= ，4位同学观察图形后分别说了自己的观点.甲：∠AOB=∠COD；乙：图中小于平角的角有6个；丙：∠AOB+∠COD = ；丁：∠BOC+∠AOD = .其中正确的结论有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：甲∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，∠AOB=∠COD，故甲符合题意；
乙∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，故乙符合题意；
丙∠AOB=∠COD，故丙不符合题意；
丁：∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=180°，故丁符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据余角的性质，补角的性质，可得答案．
二、填空题
9．（2023七下·福田期末）一个角的余角为，则这个角的度数是 ．
【答案】70
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：70.
【分析】如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角.
10．（2023七下·槐荫期中）若，则的余角为 度．
【答案】67
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角为67°，
故答案为：67
【分析】根据余角的性质结合题意即可求解。
11．（2023七下·云浮期末）已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则 ．
【答案】100°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
12．（2021七上·洪山期末）如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
【答案】①③④
【知识点】直线、射线、线段；角的运算
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据线段的概念找出直线CD上线段的条数，据此判断①；当AM、AN在三角形外部时，易得∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，则∠BAM+∠EAN=∠BAD+∠EAC=90°，结合周角的概念可得∠MAN＝150°，据此判断②；根据图形可得∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝420°，据此判断③；当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC，据此判断④.
13．（2021七上·长沙期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠BOE= ∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE= ，
故答案为： .
【分析】由∠BOE= ∠BOC可得∠BOC=n∠BOE，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，即得∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，利用∠DOE=∠BOD-∠BOE即可求解.
三、解答题
14．（2023七下·汨罗期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE：∠AOD=1：3，∠COB：∠DOF=3：4，求∠DOE的度数．
【答案】解：∵∠AOE：∠AOD=1：3，
∴设∠AOE=k，∠AOD=3k，
则∠COB=∠AOD=3k，
∵∠COB：∠DOF=3：4，
∴∠DOF=4k，
∴∠AOE+∠AOD+∠DOF=k+3k+4k=180°，
解得k=22.5°，
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=k+3k=4k=4×22.5°=90°，
即∠DOE=90°．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】 设∠AOE=k，∠AOD=3k， 求出 ∠DOF=4k， 再结合 ∠AOE+∠AOD+∠DOF=k+3k+4k=180°， 求出k的值，再利用角的运算求出 ∠DOE=∠AOE+∠AOD=k+3k=4k=4×22.5°=90°即可。
15．（2023七下·蒲城期中）已知与互余，若，求的补角的度数．
【答案】解：∵与互余，，
∴，
∵，
∴的补角的度数为．
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】由题意可得∠1+∠2=90°，结合∠1的度数可求出∠2的度数，然后根据互为补角的两角之和为180°进行计算.
四、综合题
16．（2022七上·双阳期末）如图为半圆形计时器，指针绕点从开始逆时针匀速向旋转，速度为10°每秒，指针绕点从开始先顺时针匀速向旋转，到达后立即按原速度逆时针匀速向旋转，速度为20°每秒，两指针同时从起始位置出发，当到达时，两指针都停止旋转．设旋转时间为秒
（1）当时， 度；
（2） 度（用含的代数式表示）；
（3）当 时，与首次重合；
（4）求的度数（用含的代数式表示，并写出相对应的的取值范围）；
【答案】（1）60
（2）
（3）6
（4）解：分三种情况：
①、首次相遇之前，如图：
此时，，，
即时，；
②、首次相遇之后，到达之前，如图：
，，
即时，；
③到达之后，如图：
，，
当时，，
综上：当时，；当时，；当时，．
【知识点】角的运算
【解析】【解答】（1）解：当时，．
（2），
（3）与首次重合时，，
与互补，
∴，
∴．
【分析】（1）根据题意直接求出∠AON的度数即可；
（2）根据题意的计算方法求出∠BOM的度数即可；
（3）根据题意列出方程，再求出t的值即可；
（4）分类讨论：①、首次相遇之前，②、首次相遇之后，到达之前，③到达之后，再分别列出方程求解即可。
17．（2022七上·新乡期末）如图，两条直线相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒，两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）.
（1）图中一定有 个直角；当，的度数为 ；当，的度数为 ；
（2）当时，若，试求出t的值；
（3）当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？
【答案】（1）4；；
（2）解：当与重合时，，
当与重合时，，
∴当时，，
由，得，
解得；
当时，，
由，得，
解得，
综上，当时，t的值为2或；
（3）解：当时，，
∴，
解得，
当时，，
，
∴
；
当时，，
，
∴
，
综上，当时，的值是定值5；当时，的值不是定值.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴图中共有4直角；
由题意得：，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：4，，；
【分析】（1）根据两直线AB、CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数，当t=4时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数；
（2）分两种情况： ①当时 ， ②当时 ，根据，分别列出方程并求解即可；
（3）先判断当∠MON为平角时t值，然后分两种情况： 当时，当时 ，分别计算的值，根据结果作出判断即可.
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