2023-2024学年初中数学七年级上册 2.8 平面图形的旋转 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·泉港期末）如图，与关于点成中心对称，连结、，以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·来宾期末）如图，三角形是由三角形绕点顺时针旋转后得到的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·西安期末）在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·揭东期中）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2023八下·揭东期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，此时点E恰在边上，则旋转角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·南山期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
7．（2023·双阳模拟）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接，当、、在同一直线上时，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·龙岗期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D． +1
二、填空题
9．（2023·宝山模拟）如图，已知中，，，如果将绕点C顺时针旋转到，使点B的对应点落在边上，那么的度数是 ．
10．（2023八下·莲湖期中）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝45°，∠BOD＝60°，则∠BOC＝ ．
11．（2023七下·石家庄期中）如图（1），在三角形中，，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置（即旋转角），在旋转过程中（图2），当时，旋转角为 度；当所在直线垂直于时，旋转角为 度．
12．（2023七上·苍南期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm.
13．（2022七上·密云期末）如图，数轴上放置的正方形的周长为个单位，它的两个顶点A、分别与数轴上表示和的两个点重合．现将该正方形绕顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动的翻滚，当正方形翻滚一周后，点A落在数轴上所对应的数为．
（1）当正方形翻滚三周后，点A落在数轴上所对应的数为 ；
（2）如此继续下去，当正方形翻滚周后表示正整数，用含的式子表示点A落在数轴上所对应的数为 ．
三、解答题
14．（2022九上·大安期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到．使点B的对应点E落在边上，求的度数．
15．（2022八下·礼泉期末）如图，逆时针旋转一定角度后与重合，且点在上.若，，求出旋转角的度数，并写出旋转中心.
四、综合题
16．（2023七上·义乌期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.
如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角.
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，，若是的内半角，则 ；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至.若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有角的三角板按图3方式放置.使边与边重合，边与边重合.如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值.
17．（2022七下·遂宁期末）有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC和CDE，其中∠ACB＝∠DCE＝90°．将两个直角三角板ABC和CDE如图①放置，点A，C，E在直线MN上．
（1）三角板CDE位置不动，将三角板ABC绕点C顺时针旋转一周，
①在旋转过程中，若∠BCD＝35°，则∠ACE＝ ▲ °；
②在旋转过程中，∠BCD与∠ACE有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．
（2）在图①基础上，三角板ABC和CDE同时绕点C顺时针旋转，若三角板ABC的边AC从CM处开始绕点C顺时针旋转，转速为12°/秒，同时三角板CDE的边CE从CN处开始绕点C顺时针旋转，转速为2°/秒，当AC旋转一周再落到CM上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t秒，则在旋转过程中，当∠ACE＝2∠BCD时，t为多少秒？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△AOD与△BOC关于点O成中心对称，
∴AO=CO，BO=DO，△AOD≌△COB，AD=BC，
∴S△AOD=S△COB，
∴S△AOD+S△VOD=S△COB+S△VOD，即S△ACD=S△BCD.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称的性质可得AO=CO，BO=DO，△AOD≌△COB，AD=BC，则S△AOD=S△COB，然后根据面积间的和差关系即可判断.
2．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠BOD=40°，
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质可得∠BOD=40°．
3．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A、C、D经过旋转可以得到，B经过翻折可以得到.
故答案为：B.
【分析】旋转前后，对应线段相等，对应角相等，图形的形状、大小都不改变，据此判断.
4．【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：①地下水位逐年下降，不是旋转现象；
②传送带的移动，不是旋转现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④水龙头的转动，是旋转现象，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的定义逐个判断可得答案。
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：，，
，
绕点C按顺时针方向旋转后得到
，等于旋转角
旋转角为
故答案为：C
【分析】根据直角三角形的性质和旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理进行求解即可。
6．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，∠AOB＝15°，
∴∠AOA′＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∵∠AOA′＝∠A′OB′+∠AOB′，
∴∠AOB′＝∠AOA′-∠A′OB′＝30°．
故答案为：B．
【分析】利用旋转的性质可得AOA′＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，再结合∠AOA′＝∠A′OB′+∠AOB′，求出∠AOB′＝∠AOA′-∠A′OB′＝30°即可。
7．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：A、根据图形旋转的性质，可知
．
∵为的外角，
∴．
∴．
∴．
A项不符合题意．
B、∵中为钝角，
∴．
根据图形旋转的性质，可知
．
∴．
B项不符合题意．
C、根据图形旋转的性质，可知
．
又，
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∴．
即．
C项不符合题意．
D、根据图形旋转的性质，可知
．
由前面证明知，
∴.
∴．
∴．
D项符合题意．
故答案为：D.
【分析】需要根据图形旋转的性质，得到对应边和对应角相等，据此依次判断各项是否符合题意。
8．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过点D、F作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N。设DM=x。
在Rt△CDM中,tan∠C=∴CM=
又∵EM+CM=EC=2
∴EM=2-CM=2-
又∵线段EF是由线段ED绕点E逆时针旋转90°得到的
∴ED=EF，∠DEF=90°
∴利用余角关系可得∠FEN=∠EDM
∴△EDM≌△FEN
①当D在BC上时：DM=EN=x， EM=NF=2-
在R△AFN中,AF2=（2-）2+（2+）2=，此时AF2没有最小值，则AF也没有最小值；
②当D在BC的延长线上时,,AF2=（2+）2+（2-x）2=
当x=时，AF2有最小值为，所以AF的最小值为.
故答案为：D.
【分析】作DM⊥AC，FN⊥AC，设DM=x。先在Rt△CDM中,利用锐角三角函数求得∴CM=，
则EM=2-CM=2-；然后利用旋转的性质以及余角关系证得△EDM≌△FEN，然后分当D在BC上和当D在BC的延长线上时两种情况解答。
9．【答案】 /20度
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】∵，，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=80°，
根据旋转的性质可得：∠ACB=∠ACA'=80°，CA=CA'，（如图）
∴∠CAA'=∠CA'A=×（180°-80°）=50°，
∴∠AA'B'=∠CA'A-∠CA'B'=20°，
故答案为：20°。
【分析】先求出∠ACB=180°-∠B-∠BAC=80°，再求出∠CAA'=∠CA'A=×（180°-80°）=50°，最后求出∠AA'B'=∠CA'A-∠CA'B'=20°即可。
10．【答案】15°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转得到△COD，∠AOB＝45°，
∴∠AOB=∠COD=45°.
∵∠BOD＝60°，
∴∠BOC=∠BOD-∠COD=60°-45°=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据旋转的性质可得∠AOB=∠COD=45°，然后根据∠BOC=∠BOD-∠COD 进行计算.
11．【答案】70或250；160或340
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】
∵ ∠A=38°，∠C＝72°；
∴ ∠B=70°；
如图1，当BC边绕点C逆时针方向旋转到C'B∥AB时；
∠BCB'=70°；
∴ 旋转角为70°或70°＋180°=250°；
故答案为：70°或250°；
如图2，当CB’⊥AB时，∠BCB'=20°；
∴ ∠BCB'=160°；
∴ 旋转角为160°或160°＋180°=340°；
故答案为160°或340°；
【分析】根据三角形的内角和为180°求得∠B=70°，如图1，当CB'∥AB时，根据平行线的性质，可求得；如图2，当CB’⊥AB时，由垂径定理可得结论。
12．【答案】24
【知识点】旋转的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，
由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：24.
【分析】由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，则BE1=OD1+OD2=2OD2，由线段和差易得OC1=OD2+50，CD=OC1+OD2，故可得2OD2=24mm，从而即可解决问题.
13．【答案】（1）23
（2）-1+8n
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵正方形的周长为9个单位，
当正方形翻滚三周后，点A落在数轴上所对应的数为；
故答案为：23；
（2）∵正方形的周长为9个单位，
当正方形翻滚n周后，点A落在数轴上所对应的数为；
故答案为：．
【分析】（1）用-1加上正方形的周长的3倍即可求解；
（2） 用-1加上正方形的周长的n倍即可求解。
14．【答案】解：由旋转的性质可知，，
∴
∴．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，，再利用三角形的内角和求出即可。
15．【答案】解：点A是不动点，AC绕点A旋转到AE，旋转角∠CAE；AB绕点A旋转到AD，旋转角为∠BAD
∴点A是旋转中心，∠CAE为旋转角.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠ACB=26°，∠D=∠B=21°，
对于△ADE，∠CAE=180°-∠E-∠D=133°.
所以旋转角度为133°；旋转中心是点A.
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，点A是旋转中心，∠CAE为旋转角；根据旋转前后三角形全等的性质可知，∠E=∠ACB，∠D=∠B，由三角形的内角和公式可求得∠CAE.
16．【答案】（1）10°
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得，
∴的值为；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得；
②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的内半角，
由旋转性质可得，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得 ；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知 ，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得 .
综上所述，当射线、、、构成内半角时，的值为或30或90或.
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
【分析】（1）根据内半角的定义得∠COD=35°，进而根据∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD代入计算即可；
（2）根据旋转的性质得∠AOC=∠BOD=，∠COD=∠AOB=60°，故∠AOD=60°+，∠COB=60°-，根据内半角的定义得∠AOD=2∠COB，据此建立方程，求解即可；
（3）分四类讨论：① 如图4所示，此时∠COB是∠AOD的内半角，② 如图所示，此时∠BOC是∠AOD的内半角， ③如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角， ④如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，分别根据旋转的性质表示出∠AOD及∠BOC，进而根据内半角的定义得出∠AOD与经爱鸥BOC的关系，从而分别列出方程，求解即可.
17．【答案】（1）①145；
②∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠BCD+∠ACE＝∠BCD+∠ACB+∠BCE＝∠ACB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）解：三角板ABC和CDE重合之前，
∠ACE＝180°-10°t，∠BCD＝10°t，
依题意有180°-10°t＝2×10°t，
解得t＝6；
三角板ABC和CDE重合之后，
∠ACE＝10°t-180°，∠BCD＝360°-10°t，
依题意有10°t-180°＝2×（360°-10°t），
解得t＝30．
故当t＝6或30秒时，有∠ACE＝2∠BCD．
故答案为：6或30．
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）①在旋转过程中，若∠BCD＝35°，则∠ACE＝90°+90°-35°＝145°.
故答案为：145；
【分析】（1）①根据角的和差关系可得∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠BCD，据此计算；
②根据角的和差关系可得∠ACE＝∠ACB+∠BCE，则∠BCD+∠ACE＝∠BCD+∠ACB+∠BCE＝∠ACB+∠DCE，据此计算；
（2）三角板ABC和CDE重合之前，∠ACE＝180°-10°t，∠BCD＝10°t，根据 ∠ACE＝2∠BCD 可得180°-10°t＝2×10°t，求解即可；同理可求出三角板ABC和CDE重合之后t的值.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 2.8 平面图形的旋转 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·泉港期末）如图，与关于点成中心对称，连结、，以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△AOD与△BOC关于点O成中心对称，
∴AO=CO，BO=DO，△AOD≌△COB，AD=BC，
∴S△AOD=S△COB，
∴S△AOD+S△VOD=S△COB+S△VOD，即S△ACD=S△BCD.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称的性质可得AO=CO，BO=DO，△AOD≌△COB，AD=BC，则S△AOD=S△COB，然后根据面积间的和差关系即可判断.
2．（2023七下·来宾期末）如图，三角形是由三角形绕点顺时针旋转后得到的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠BOD=40°，
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质可得∠BOD=40°．
3．（2023八下·西安期末）在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A、C、D经过旋转可以得到，B经过翻折可以得到.
故答案为：B.
【分析】旋转前后，对应线段相等，对应角相等，图形的形状、大小都不改变，据此判断.
4．（2023八下·揭东期中）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：①地下水位逐年下降，不是旋转现象；
②传送带的移动，不是旋转现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④水龙头的转动，是旋转现象，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的定义逐个判断可得答案。
5．（2023八下·揭东期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，此时点E恰在边上，则旋转角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：，，
，
绕点C按顺时针方向旋转后得到
，等于旋转角
旋转角为
故答案为：C
【分析】根据直角三角形的性质和旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理进行求解即可。
6．（2023八下·南山期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，∠AOB＝15°，
∴∠AOA′＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∵∠AOA′＝∠A′OB′+∠AOB′，
∴∠AOB′＝∠AOA′-∠A′OB′＝30°．
故答案为：B．
【分析】利用旋转的性质可得AOA′＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，再结合∠AOA′＝∠A′OB′+∠AOB′，求出∠AOB′＝∠AOA′-∠A′OB′＝30°即可。
7．（2023·双阳模拟）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接，当、、在同一直线上时，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：A、根据图形旋转的性质，可知
．
∵为的外角，
∴．
∴．
∴．
A项不符合题意．
B、∵中为钝角，
∴．
根据图形旋转的性质，可知
．
∴．
B项不符合题意．
C、根据图形旋转的性质，可知
．
又，
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∴．
即．
C项不符合题意．
D、根据图形旋转的性质，可知
．
由前面证明知，
∴.
∴．
∴．
D项符合题意．
故答案为：D.
【分析】需要根据图形旋转的性质，得到对应边和对应角相等，据此依次判断各项是否符合题意。
8．（2020九上·龙岗期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D． +1
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过点D、F作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N。设DM=x。
在Rt△CDM中,tan∠C=∴CM=
又∵EM+CM=EC=2
∴EM=2-CM=2-
又∵线段EF是由线段ED绕点E逆时针旋转90°得到的
∴ED=EF，∠DEF=90°
∴利用余角关系可得∠FEN=∠EDM
∴△EDM≌△FEN
①当D在BC上时：DM=EN=x， EM=NF=2-
在R△AFN中,AF2=（2-）2+（2+）2=，此时AF2没有最小值，则AF也没有最小值；
②当D在BC的延长线上时,,AF2=（2+）2+（2-x）2=
当x=时，AF2有最小值为，所以AF的最小值为.
故答案为：D.
【分析】作DM⊥AC，FN⊥AC，设DM=x。先在Rt△CDM中,利用锐角三角函数求得∴CM=，
则EM=2-CM=2-；然后利用旋转的性质以及余角关系证得△EDM≌△FEN，然后分当D在BC上和当D在BC的延长线上时两种情况解答。
二、填空题
9．（2023·宝山模拟）如图，已知中，，，如果将绕点C顺时针旋转到，使点B的对应点落在边上，那么的度数是 ．
【答案】 /20度
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】∵，，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=80°，
根据旋转的性质可得：∠ACB=∠ACA'=80°，CA=CA'，（如图）
∴∠CAA'=∠CA'A=×（180°-80°）=50°，
∴∠AA'B'=∠CA'A-∠CA'B'=20°，
故答案为：20°。
【分析】先求出∠ACB=180°-∠B-∠BAC=80°，再求出∠CAA'=∠CA'A=×（180°-80°）=50°，最后求出∠AA'B'=∠CA'A-∠CA'B'=20°即可。
10．（2023八下·莲湖期中）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝45°，∠BOD＝60°，则∠BOC＝ ．
【答案】15°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转得到△COD，∠AOB＝45°，
∴∠AOB=∠COD=45°.
∵∠BOD＝60°，
∴∠BOC=∠BOD-∠COD=60°-45°=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据旋转的性质可得∠AOB=∠COD=45°，然后根据∠BOC=∠BOD-∠COD 进行计算.
11．（2023七下·石家庄期中）如图（1），在三角形中，，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置（即旋转角），在旋转过程中（图2），当时，旋转角为 度；当所在直线垂直于时，旋转角为 度．
【答案】70或250；160或340
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】
∵ ∠A=38°，∠C＝72°；
∴ ∠B=70°；
如图1，当BC边绕点C逆时针方向旋转到C'B∥AB时；
∠BCB'=70°；
∴ 旋转角为70°或70°＋180°=250°；
故答案为：70°或250°；
如图2，当CB’⊥AB时，∠BCB'=20°；
∴ ∠BCB'=160°；
∴ 旋转角为160°或160°＋180°=340°；
故答案为160°或340°；
【分析】根据三角形的内角和为180°求得∠B=70°，如图1，当CB'∥AB时，根据平行线的性质，可求得；如图2，当CB’⊥AB时，由垂径定理可得结论。
12．（2023七上·苍南期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm.
【答案】24
【知识点】旋转的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，
由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：24.
【分析】由图3得，当点D在O的右侧时，即D1位置时，B与点E的距离为BE1，由图4得，当点D在O的左侧时，即D2位置时，B与点E重合，即E2位置，则BE1=OD1+OD2=2OD2，由线段和差易得OC1=OD2+50，CD=OC1+OD2，故可得2OD2=24mm，从而即可解决问题.
13．（2022七上·密云期末）如图，数轴上放置的正方形的周长为个单位，它的两个顶点A、分别与数轴上表示和的两个点重合．现将该正方形绕顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动的翻滚，当正方形翻滚一周后，点A落在数轴上所对应的数为．
（1）当正方形翻滚三周后，点A落在数轴上所对应的数为 ；
（2）如此继续下去，当正方形翻滚周后表示正整数，用含的式子表示点A落在数轴上所对应的数为 ．
【答案】（1）23
（2）-1+8n
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵正方形的周长为9个单位，
当正方形翻滚三周后，点A落在数轴上所对应的数为；
故答案为：23；
（2）∵正方形的周长为9个单位，
当正方形翻滚n周后，点A落在数轴上所对应的数为；
故答案为：．
【分析】（1）用-1加上正方形的周长的3倍即可求解；
（2） 用-1加上正方形的周长的n倍即可求解。
三、解答题
14．（2022九上·大安期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到．使点B的对应点E落在边上，求的度数．
【答案】解：由旋转的性质可知，，
∴
∴．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，，再利用三角形的内角和求出即可。
15．（2022八下·礼泉期末）如图，逆时针旋转一定角度后与重合，且点在上.若，，求出旋转角的度数，并写出旋转中心.
【答案】解：点A是不动点，AC绕点A旋转到AE，旋转角∠CAE；AB绕点A旋转到AD，旋转角为∠BAD
∴点A是旋转中心，∠CAE为旋转角.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠ACB=26°，∠D=∠B=21°，
对于△ADE，∠CAE=180°-∠E-∠D=133°.
所以旋转角度为133°；旋转中心是点A.
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，点A是旋转中心，∠CAE为旋转角；根据旋转前后三角形全等的性质可知，∠E=∠ACB，∠D=∠B，由三角形的内角和公式可求得∠CAE.
四、综合题
16．（2023七上·义乌期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.
如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角.
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，，若是的内半角，则 ；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至.若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有角的三角板按图3方式放置.使边与边重合，边与边重合.如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值.
【答案】（1）10°
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得，
∴的值为；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得；
②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的内半角，
由旋转性质可得，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得 ；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知 ，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得 .
综上所述，当射线、、、构成内半角时，的值为或30或90或.
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
【分析】（1）根据内半角的定义得∠COD=35°，进而根据∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD代入计算即可；
（2）根据旋转的性质得∠AOC=∠BOD=，∠COD=∠AOB=60°，故∠AOD=60°+，∠COB=60°-，根据内半角的定义得∠AOD=2∠COB，据此建立方程，求解即可；
（3）分四类讨论：① 如图4所示，此时∠COB是∠AOD的内半角，② 如图所示，此时∠BOC是∠AOD的内半角， ③如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角， ④如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，分别根据旋转的性质表示出∠AOD及∠BOC，进而根据内半角的定义得出∠AOD与经爱鸥BOC的关系，从而分别列出方程，求解即可.
17．（2022七下·遂宁期末）有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC和CDE，其中∠ACB＝∠DCE＝90°．将两个直角三角板ABC和CDE如图①放置，点A，C，E在直线MN上．
（1）三角板CDE位置不动，将三角板ABC绕点C顺时针旋转一周，
①在旋转过程中，若∠BCD＝35°，则∠ACE＝ ▲ °；
②在旋转过程中，∠BCD与∠ACE有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．
（2）在图①基础上，三角板ABC和CDE同时绕点C顺时针旋转，若三角板ABC的边AC从CM处开始绕点C顺时针旋转，转速为12°/秒，同时三角板CDE的边CE从CN处开始绕点C顺时针旋转，转速为2°/秒，当AC旋转一周再落到CM上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t秒，则在旋转过程中，当∠ACE＝2∠BCD时，t为多少秒？
【答案】（1）①145；
②∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠BCD+∠ACE＝∠BCD+∠ACB+∠BCE＝∠ACB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）解：三角板ABC和CDE重合之前，
∠ACE＝180°-10°t，∠BCD＝10°t，
依题意有180°-10°t＝2×10°t，
解得t＝6；
三角板ABC和CDE重合之后，
∠ACE＝10°t-180°，∠BCD＝360°-10°t，
依题意有10°t-180°＝2×（360°-10°t），
解得t＝30．
故当t＝6或30秒时，有∠ACE＝2∠BCD．
故答案为：6或30．
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）①在旋转过程中，若∠BCD＝35°，则∠ACE＝90°+90°-35°＝145°.
故答案为：145；
【分析】（1）①根据角的和差关系可得∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠BCD，据此计算；
②根据角的和差关系可得∠ACE＝∠ACB+∠BCE，则∠BCD+∠ACE＝∠BCD+∠ACB+∠BCE＝∠ACB+∠DCE，据此计算；
（2）三角板ABC和CDE重合之前，∠ACE＝180°-10°t，∠BCD＝10°t，根据 ∠ACE＝2∠BCD 可得180°-10°t＝2×10°t，求解即可；同理可求出三角板ABC和CDE重合之后t的值.
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