2023-2024学年初中数学七年级上册 5.2 等式的基本性质 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七上·镇海区期末）下列对方程进行的变形中，正确的是（ ）
A．4x-5=3x+2变形得4x-3x=-2+5 B．x-1=x+3变形得4x-6=3x+18
C．3(x-1)=2(x+3)变形得3x-1-2x+6 D．3x=2变形得x=
【答案】B
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：A、根据等式的性质1，两边都加应得到故本选项错误；
B、根据等式性质2，，两边都乘以6，应得到 故本选项正确；
C、，两边都变形应得 故本选项错误；
D、根据等式性质2，两边都除以3，即可得到 故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
2．（2023七上·陈仓期末）代数式与互为相反数，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．无法计算
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得5x-7+13-2x=0，求解可得x的值.
3．（2022七上·密云期末）已知，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A．，则，所以A选项不符合题意；
B．，则，所以B选项符合题意；
C．，则，所以C选项不符合题意；
D．，则，所以D选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
4．（2022七上·新乡期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则a＝b B．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝c D．若4x＝a，则x＝4a
【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】A. 若，则a＝b，故该选项正确，符合题意；
B. 若，则3x＋4x＝12，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若ab＝bc，当时，a＝c，故该选项不正确，不符合题意；
D. 若4x＝a，则x＝a，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：A
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一判断即可.
5．（2022七上·南宁月考）整式与的值互为相反数，则（ ）
A．-6 B．-2 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵整式2x-9与3-x的值互为相反数，
∴2x-9+3-x＝0，
∴x＝6．
故答案为：C．
【分析】由整式2x-9与3-x的值互为相反数，可得方程：2x-9+3-x＝0，再解方程即可求解．
6．（2023七上·成都期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、如果a=b，那么a-7=b-7，故A不符合题意；
B、如果a=b，那么3a与5b不一定相等，故B不符合题意；
C、如果a+c=b+c，那么a=b，故B符合题意；
D、如果ax=ay，a≠0，那么x=y，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用等式的性质，在等式的两边同时加上或减去同一个数（或同一个整式），所得的结果仍是等式，可对A，C作出判断；在等式的两边同时乘以一个数或同一个等式，所得结果仍是等式，可对B作出判断；在等式的两边同时除以一个不等于0的数或等式，所得结果仍是等式，可对D作出判断.
7．下列判断错误的是（ ）
A．若a=b，则ac-3=bc-3 B．若a=b，则
C．若x=2，则x2=2x D．若ax=bx，则a=b
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】A．若a=b，根据等式的性质，两边同时乘以c,再同时-3即可解得ac-3=bc-3，正确.
B．因为c2+1＞0，若a=b，根据等式的性质，两边同时除以c2+1,得，正确.
C．若x=2，根据等式的性质，两边同时乘以x,得x2=2x，正确.
D．若ax=bx，若x=0，则不可得出a=b，故错误. 故选D.
【分析】利用等式的性质即可解答，特别注意：等式的性质2中两边同时除以的数必须不能等于0.
8．下列各对等式，是根据等式的性质进行变形的，其中错误的是（ ）．
A．4x-1=5x+2→x=-3
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】 A.4x-1=5x+2，根据等式的性质1，两边同时-4x-2得x=-3，正确； B．，等号的左边没变，右边乘以了10，故错误； C.，根据等式的性质2，两边同时乘以了100可得，正确；D.，根据等式的性质2，两边同时乘以了6可得，正确；故答案选：B
【分析】根据等式的性质判断即可，注意分式的分子分母同时乘以不为零的数，分式的值不变.
二、填空题
9．（2023七上·宣汉期末）若与互为相反数，则的值是 ．
【答案】-5
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵3x+2与-2x+1互为相反数，
∴3x+2-2x+1=0，
∴x=-3，
∴x-2=-3-2=-5.
故答案为：-5.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得3x+2-2x+1=0，求出x的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
10．（2023七上·沙坡头期末）若代数式和的值互为相反数，则 .
【答案】4
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式和的值互为相反数，
∴，
解得，
故答案为：4.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0结合题意可得3x-5+1-2x=0，求解可得x的值.
11．（2023七上·北碚期末）当 时，与的值互为相反数.
【答案】1
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵与的值互为相反数，
∴，
解得：，
故答案为：1.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得4a-5+5a-4=0，求解可得a的值.
12．（2022七上·无棣期中）若代数式3x＋2与代数式x-10的值互为相反数，则x＝ ．
【答案】2
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式3x＋2与代数式x-10的值互为相反数，
∴3x＋2＋x-10＝0，
整理得：4x-8＝0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【分析】根据相反数的定义可得3x＋2＋x-10＝0，解之即可。
三、解答题
13．下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？
由3x+2=7x+5，3x+7x=2+5，10x=7，x=0.7．
【答案】不对，第二步计算错误，由3x+2=7x+5，3x-7x=5-2，-4x=3，x=-.
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】由3x+2=7x+5
根据等式的性质1，两边同时加上（-7x-2）得：
3x+2-7x-2=7x+5-7x-2
3x-7x=5-2
-4x=3
根据等式的性质2，两边同时除以-4得：
x=.
【分析】根据等式的性质两边同时加上-7x-2，整理后在两边同时除以-4即可解得到正确答案.
14．（2020七上·海淀期中）设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【知识点】等式的性质；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
15．（1）小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄．
（2）若干年前，创维牌25英寸彩电的价格为3000元，现在只卖1600元，求降低了百分之几？
【答案】（1）设约翰的年龄是x岁，得3x=13×2+10（2）设降低了x，得：3000×（1-x）=1600
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】（1）设约翰的年龄是x岁.
根据题意列方程：3x=13×2+10
（2）设降低的百分数为x.
根据题意列方程:3000×（1-x）=1600
【分析】解决本题主要是找准题干中的等量关系，两题的等量关系分别是：小兵年龄×2+10=约翰的年龄×3；原价×（1-降低率）=现价.
四、综合题
16．（2023七上·利州期末）已知方程和方程的解相同.
（1）求m的值；
（2）求代数式的值.
【答案】（1）解：由解得：，
由解得：，
由题知：，
解得：；
（2）解：当时，
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】（1）分别求出方程的解，根据方程的解相同可得关于m的方程，求解可得m的值；
（2）将m的值代入，然后利用有理数的乘法、减法、乘方法则进行计算.
17．（2022七上·南宁月考）阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．
例题：利用一元一次方程将化成分数，设0.7＝x，由于0.7＝0.777…，可知10×0.7＝7.777…＝7+0.7，于是7+x＝10x 可解得，x＝，即0.7＝.
请你仿照上述方法完成下列问题：
（1）将化成分数形式；
（2）将化成分数形式．
【答案】（1）解：设=
可列方程：10x=4+x
解得：x=
∴=.
（2）解：设=x
可列方程：100x=25+x
解得：x=
∴=.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】（1）设＝x，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可；
（2）设＝x，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可．
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 5.2 等式的基本性质 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七上·镇海区期末）下列对方程进行的变形中，正确的是（ ）
A．4x-5=3x+2变形得4x-3x=-2+5 B．x-1=x+3变形得4x-6=3x+18
C．3(x-1)=2(x+3)变形得3x-1-2x+6 D．3x=2变形得x=
2．（2023七上·陈仓期末）代数式与互为相反数，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．无法计算
3．（2022七上·密云期末）已知，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七上·新乡期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则a＝b B．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝c D．若4x＝a，则x＝4a
5．（2022七上·南宁月考）整式与的值互为相反数，则（ ）
A．-6 B．-2 C．6 D．4
6．（2023七上·成都期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
7．下列判断错误的是（ ）
A．若a=b，则ac-3=bc-3 B．若a=b，则
C．若x=2，则x2=2x D．若ax=bx，则a=b
8．下列各对等式，是根据等式的性质进行变形的，其中错误的是（ ）．
A．4x-1=5x+2→x=-3
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2023七上·宣汉期末）若与互为相反数，则的值是 ．
10．（2023七上·沙坡头期末）若代数式和的值互为相反数，则 .
11．（2023七上·北碚期末）当 时，与的值互为相反数.
12．（2022七上·无棣期中）若代数式3x＋2与代数式x-10的值互为相反数，则x＝ ．
三、解答题
13．下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？
由3x+2=7x+5，3x+7x=2+5，10x=7，x=0.7．
14．（2020七上·海淀期中）设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
15．（1）小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄．
（2）若干年前，创维牌25英寸彩电的价格为3000元，现在只卖1600元，求降低了百分之几？
四、综合题
16．（2023七上·利州期末）已知方程和方程的解相同.
（1）求m的值；
（2）求代数式的值.
17．（2022七上·南宁月考）阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．
例题：利用一元一次方程将化成分数，设0.7＝x，由于0.7＝0.777…，可知10×0.7＝7.777…＝7+0.7，于是7+x＝10x 可解得，x＝，即0.7＝.
请你仿照上述方法完成下列问题：
（1）将化成分数形式；
（2）将化成分数形式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：A、根据等式的性质1，两边都加应得到故本选项错误；
B、根据等式性质2，，两边都乘以6，应得到 故本选项正确；
C、，两边都变形应得 故本选项错误；
D、根据等式性质2，两边都除以3，即可得到 故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
2．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得5x-7+13-2x=0，求解可得x的值.
3．【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A．，则，所以A选项不符合题意；
B．，则，所以B选项符合题意；
C．，则，所以C选项不符合题意；
D．，则，所以D选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】A. 若，则a＝b，故该选项正确，符合题意；
B. 若，则3x＋4x＝12，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若ab＝bc，当时，a＝c，故该选项不正确，不符合题意；
D. 若4x＝a，则x＝a，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：A
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵整式2x-9与3-x的值互为相反数，
∴2x-9+3-x＝0，
∴x＝6．
故答案为：C．
【分析】由整式2x-9与3-x的值互为相反数，可得方程：2x-9+3-x＝0，再解方程即可求解．
6．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、如果a=b，那么a-7=b-7，故A不符合题意；
B、如果a=b，那么3a与5b不一定相等，故B不符合题意；
C、如果a+c=b+c，那么a=b，故B符合题意；
D、如果ax=ay，a≠0，那么x=y，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用等式的性质，在等式的两边同时加上或减去同一个数（或同一个整式），所得的结果仍是等式，可对A，C作出判断；在等式的两边同时乘以一个数或同一个等式，所得结果仍是等式，可对B作出判断；在等式的两边同时除以一个不等于0的数或等式，所得结果仍是等式，可对D作出判断.
7．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】A．若a=b，根据等式的性质，两边同时乘以c,再同时-3即可解得ac-3=bc-3，正确.
B．因为c2+1＞0，若a=b，根据等式的性质，两边同时除以c2+1,得，正确.
C．若x=2，根据等式的性质，两边同时乘以x,得x2=2x，正确.
D．若ax=bx，若x=0，则不可得出a=b，故错误. 故选D.
【分析】利用等式的性质即可解答，特别注意：等式的性质2中两边同时除以的数必须不能等于0.
8．【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】 A.4x-1=5x+2，根据等式的性质1，两边同时-4x-2得x=-3，正确； B．，等号的左边没变，右边乘以了10，故错误； C.，根据等式的性质2，两边同时乘以了100可得，正确；D.，根据等式的性质2，两边同时乘以了6可得，正确；故答案选：B
【分析】根据等式的性质判断即可，注意分式的分子分母同时乘以不为零的数，分式的值不变.
9．【答案】-5
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵3x+2与-2x+1互为相反数，
∴3x+2-2x+1=0，
∴x=-3，
∴x-2=-3-2=-5.
故答案为：-5.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得3x+2-2x+1=0，求出x的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
10．【答案】4
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式和的值互为相反数，
∴，
解得，
故答案为：4.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0结合题意可得3x-5+1-2x=0，求解可得x的值.
11．【答案】1
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵与的值互为相反数，
∴，
解得：，
故答案为：1.
【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得4a-5+5a-4=0，求解可得a的值.
12．【答案】2
【知识点】相反数及有理数的相反数；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代数式3x＋2与代数式x-10的值互为相反数，
∴3x＋2＋x-10＝0，
整理得：4x-8＝0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【分析】根据相反数的定义可得3x＋2＋x-10＝0，解之即可。
13．【答案】不对，第二步计算错误，由3x+2=7x+5，3x-7x=5-2，-4x=3，x=-.
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】由3x+2=7x+5
根据等式的性质1，两边同时加上（-7x-2）得：
3x+2-7x-2=7x+5-7x-2
3x-7x=5-2
-4x=3
根据等式的性质2，两边同时除以-4得：
x=.
【分析】根据等式的性质两边同时加上-7x-2，整理后在两边同时除以-4即可解得到正确答案.
14．【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【知识点】等式的性质；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
15．【答案】（1）设约翰的年龄是x岁，得3x=13×2+10（2）设降低了x，得：3000×（1-x）=1600
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】（1）设约翰的年龄是x岁.
根据题意列方程：3x=13×2+10
（2）设降低的百分数为x.
根据题意列方程:3000×（1-x）=1600
【分析】解决本题主要是找准题干中的等量关系，两题的等量关系分别是：小兵年龄×2+10=约翰的年龄×3；原价×（1-降低率）=现价.
16．【答案】（1）解：由解得：，
由解得：，
由题知：，
解得：；
（2）解：当时，
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】（1）分别求出方程的解，根据方程的解相同可得关于m的方程，求解可得m的值；
（2）将m的值代入，然后利用有理数的乘法、减法、乘方法则进行计算.
17．【答案】（1）解：设=
可列方程：10x=4+x
解得：x=
∴=.
（2）解：设=x
可列方程：100x=25+x
解得：x=
∴=.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】（1）设＝x，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可；
（2）设＝x，根据例题的解法，列出关于x的一元一次方程，解之即可．
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