2023-2024学年初中数学八年级上册 12.1 分式 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·龙岗期末）若分式的值为0，则（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 分式的值为0，
，
，
故答案为：B.
【分析】当分子为零分母不为零时，分式的值为零.
2．（2023七下·贵池期末）若把分式中和的值都扩大为原来的倍，则分式的值 （ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把原式中x和y都扩大为原来的2倍得，
=
=
∴把原式中x和y都扩大为原来的2倍后， 分式的值扩大为原来的2倍。
故选：A
【分析】把原式中x和y都扩大为原来的2倍后化简进行比较。
3．（2023八下·惠来期末）将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍
C．不变 D．扩大为原来的倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式中的x、y的值同时扩大为原来的3倍，得，故分式的值扩大为原来的9倍.
故答案为：B.
【分析】将分式中的x、y的值同时扩大为原来的3倍，得，由分式的基本性质进行约分，然后判断即可.
4．（2023八下·霍州期中）下列各式从左往右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： A：，变形错误；
B：不一定和相等，变形错误；
C：，变形错误；
D：，变形正确；
故答案为；D.
【分析】根据分式的基本性质对每个选项判断求解即可。
5．（2023八下·泰山期末）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】 把分式中的x和y都扩大3倍 ，则：
，
所以分式的值缩小了3倍；
故答案为：D。
【分析】根据分式的性质求出答案即可。
6．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
7．（2021九上·丽水期末）关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵xy﹣x+y＝﹣3，
∴，解得，
则x，y为整数，（其中）
当x>3时，y的分母永远比分子大，故不可能为整数，
当x=3时，y=0，符合题意，
当x=2时，y=，舍去，
当x=1时，y=-2，符合题意，
当x=0时，y=-3，符合题意，
当x=-2时，y=5，符合题意，
当x=-3时，y=3，符合题意，
当x=-4时，y=，舍去，
当x=-5时，y=2，符合题意，
当x<-5时，y不可能有整数解，
∴关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数共6对，
故答案为：D.
【分析】分别将x用含有y的代数式表示出来，将y用含有x的代数式表示出来，因为x，y均为整数，且各自的分母不能为0，分类讨论，即可求解.
8．（2019七上·杨浦月考）若 的值为 ,则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】由题意得： ，则 = .
故答案为：C.
【分析】利用整体思想进行求解即可.
二、填空题
9．（2023八下·二七期末）若分式有意义，则应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
，
，
故答案为：.
【分析】分式中字母的取值不能使分母为零.
10．（2023八下·深圳期末）若分式的值为0，则x的值为 .
【答案】2或-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为0，
∴x2-4=0且x+1≠0
解之：x=±2且x≠-1，
∴x=±2.
故答案为：2或-2
【分析】利用分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，列出方程和不等式，求解即可.
11．（2023·双柏模拟）若，则 ．
【答案】0或1
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】由题知：分两种情况讨论
当a=0时，==0
当a≠0时：a3+3a2+a=0
a（a2+3a+1）=0
即：a2+3a+1=0
两边同除a得： a+=-3
（a+）2=9
∴a2+=（a+）-2=7
=
故答案为0或1
【分析】分a2+3a+1=0或a=0两种情况讨论，
当a≠0时，两边同时除a得： a+=-3，再根据完全平方式变形a2+=（a+）-2=7求解。
12．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
13．（2019七下·温州期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3．若 ，则S3= ．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分
【解析】【解答】解：设DG=a, 则HD=a, GC=DC-DG=10-a,
AE=AB-BE=10-a, AH=AD-HD=13-a,
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a),
S2=GC×GC=(10-a)(10-a),
，
(a≠10),
∴,
∴70-7a=39-3a,
∴4a=31,
∴,
∴GC=10-a=10-=,
∴重合部分的正方形边长是10-2×=,
∴
故答案为：.
【分析】设DG为a, 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式， 根据 ，求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
三、解答题
14．综艺类节目《奔跑吧》火爆荧幕﹐给观众带来激情和欢乐的同时，也启示我们，团队合作、互助友爱是成功的重要因素，瞧!“撕名牌”游戏正在火热进行，下列“名牌”上的分式中，哪些是最简分式，哪些不是最简分式 如果不是最简分式，请你将其化成最简分式.
【答案】解：① 是最简分式；
② 不是最简分式，原式 ；
③ 不是最简分式，原式
【知识点】分式的约分；最简分式
【解析】【分析】利用最简分式就是分子分母中没有公因式，可得到三个分式中的最简分式；再利用分式约分的方法，将②③化成最简分式.
15．（2022八下·长沙竞赛）已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，两边同时平方得 ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理可得 ， ，
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值
【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算.
四、综合题
16．（2021七下·北仑期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y= ，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为 ．问题：
（1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解 ．
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）
2020－2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【答案】（1）
（2）B
（3）解：设购买笔记本x本，钢笔y支.
3x+5y=48
所以，方案为：
x y
方案一 1 9
方案一 6 6
方案一 11 3
【知识点】分式的值；二元一次方程的解
【解析】【解答】（1）∵x、y为正整数
∴方程3x﹣y=6的正整数解如下表所示，
x 3 4 5 6 7 8 ...
y 3 6 9 12 15 18 ...
（2）∵ 为自然数
∴12能整除x-3
又∵x-3＞0
∴x-3=1，或2、3、4、6、12
∴正整数x的值有6个.
故答案为：B.
【分析】(1)把握住x、y都是正整数，列举取值，当x=1时，或x=2时等等，选择合适的解即可.
（2） 为自然数，说明x-3=1，或2、3、4、6、12，所以x=4，或5、6、7、9、15.
（3）根据题意列二元一次方程，因为笔记本和钢笔的数量都是正整数，所以，可以通过列举求解.
17．（2020八上·昌平月考）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．
所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）
故答案为： ；
【分析】（1）根据“真分式”定义，仿照例题解答即可；
（2）先把分式化为真分式为，由于x的值是整数，分式的值也是整数，可得 或
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 12.1 分式 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·龙岗期末）若分式的值为0，则（ ）
A． B．1 C． D．0
2．（2023七下·贵池期末）若把分式中和的值都扩大为原来的倍，则分式的值 （ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的倍
3．（2023八下·惠来期末）将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍
C．不变 D．扩大为原来的倍
4．（2023八下·霍州期中）下列各式从左往右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·泰山期末）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
6．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2021九上·丽水期末）关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2019七上·杨浦月考）若 的值为 ,则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·二七期末）若分式有意义，则应满足的条件是 ．
10．（2023八下·深圳期末）若分式的值为0，则x的值为 .
11．（2023·双柏模拟）若，则 ．
12．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
13．（2019七下·温州期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3．若 ，则S3= ．
三、解答题
14．综艺类节目《奔跑吧》火爆荧幕﹐给观众带来激情和欢乐的同时，也启示我们，团队合作、互助友爱是成功的重要因素，瞧!“撕名牌”游戏正在火热进行，下列“名牌”上的分式中，哪些是最简分式，哪些不是最简分式 如果不是最简分式，请你将其化成最简分式.
15．（2022八下·长沙竞赛）已知实数a，b，c满足 ， ，求 的值.
四、综合题
16．（2021七下·北仑期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y= ，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为 ．问题：
（1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解 ．
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）
2020－2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
17．（2020八上·昌平月考）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 分式的值为0，
，
，
故答案为：B.
【分析】当分子为零分母不为零时，分式的值为零.
2．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把原式中x和y都扩大为原来的2倍得，
=
=
∴把原式中x和y都扩大为原来的2倍后， 分式的值扩大为原来的2倍。
故选：A
【分析】把原式中x和y都扩大为原来的2倍后化简进行比较。
3．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将分式中的x、y的值同时扩大为原来的3倍，得，故分式的值扩大为原来的9倍.
故答案为：B.
【分析】将分式中的x、y的值同时扩大为原来的3倍，得，由分式的基本性质进行约分，然后判断即可.
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： A：，变形错误；
B：不一定和相等，变形错误；
C：，变形错误；
D：，变形正确；
故答案为；D.
【分析】根据分式的基本性质对每个选项判断求解即可。
5．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】 把分式中的x和y都扩大3倍 ，则：
，
所以分式的值缩小了3倍；
故答案为：D。
【分析】根据分式的性质求出答案即可。
6．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
7．【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵xy﹣x+y＝﹣3，
∴，解得，
则x，y为整数，（其中）
当x>3时，y的分母永远比分子大，故不可能为整数，
当x=3时，y=0，符合题意，
当x=2时，y=，舍去，
当x=1时，y=-2，符合题意，
当x=0时，y=-3，符合题意，
当x=-2时，y=5，符合题意，
当x=-3时，y=3，符合题意，
当x=-4时，y=，舍去，
当x=-5时，y=2，符合题意，
当x<-5时，y不可能有整数解，
∴关于x，y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x，y）的对数共6对，
故答案为：D.
【分析】分别将x用含有y的代数式表示出来，将y用含有x的代数式表示出来，因为x，y均为整数，且各自的分母不能为0，分类讨论，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】由题意得： ，则 = .
故答案为：C.
【分析】利用整体思想进行求解即可.
9．【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
，
，
故答案为：.
【分析】分式中字母的取值不能使分母为零.
10．【答案】2或-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为0，
∴x2-4=0且x+1≠0
解之：x=±2且x≠-1，
∴x=±2.
故答案为：2或-2
【分析】利用分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，列出方程和不等式，求解即可.
11．【答案】0或1
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】由题知：分两种情况讨论
当a=0时，==0
当a≠0时：a3+3a2+a=0
a（a2+3a+1）=0
即：a2+3a+1=0
两边同除a得： a+=-3
（a+）2=9
∴a2+=（a+）-2=7
=
故答案为0或1
【分析】分a2+3a+1=0或a=0两种情况讨论，
当a≠0时，两边同时除a得： a+=-3，再根据完全平方式变形a2+=（a+）-2=7求解。
12．【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
13．【答案】
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分
【解析】【解答】解：设DG=a, 则HD=a, GC=DC-DG=10-a,
AE=AB-BE=10-a, AH=AD-HD=13-a,
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a),
S2=GC×GC=(10-a)(10-a),
，
(a≠10),
∴,
∴70-7a=39-3a,
∴4a=31,
∴,
∴GC=10-a=10-=,
∴重合部分的正方形边长是10-2×=,
∴
故答案为：.
【分析】设DG为a, 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式， 根据 ，求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
14．【答案】解：① 是最简分式；
② 不是最简分式，原式 ；
③ 不是最简分式，原式
【知识点】分式的约分；最简分式
【解析】【分析】利用最简分式就是分子分母中没有公因式，可得到三个分式中的最简分式；再利用分式约分的方法，将②③化成最简分式.
15．【答案】解：∵ ，
∴ ，两边同时平方得 ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理可得 ， ，
原式=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的值
【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-，同理得ac=b2-，bc=a2-，待求式可变形为，据此计算.
16．【答案】（1）
（2）B
（3）解：设购买笔记本x本，钢笔y支.
3x+5y=48
所以，方案为：
x y
方案一 1 9
方案一 6 6
方案一 11 3
【知识点】分式的值；二元一次方程的解
【解析】【解答】（1）∵x、y为正整数
∴方程3x﹣y=6的正整数解如下表所示，
x 3 4 5 6 7 8 ...
y 3 6 9 12 15 18 ...
（2）∵ 为自然数
∴12能整除x-3
又∵x-3＞0
∴x-3=1，或2、3、4、6、12
∴正整数x的值有6个.
故答案为：B.
【分析】(1)把握住x、y都是正整数，列举取值，当x=1时，或x=2时等等，选择合适的解即可.
（2） 为自然数，说明x-3=1，或2、3、4、6、12，所以x=4，或5、6、7、9、15.
（3）根据题意列二元一次方程，因为笔记本和钢笔的数量都是正整数，所以，可以通过列举求解.
17．【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．
所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）
故答案为： ；
【分析】（1）根据“真分式”定义，仿照例题解答即可；
（2）先把分式化为真分式为，由于x的值是整数，分式的值也是整数，可得 或
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