2023-2024学年初中数学八年级上册 12.4 分式方程 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·射阳月考）关于x的分式方程＝1有增根，则a的值为（ ）
A．-1 B．5 C．1 D．3
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：分式方程的增根是，
求得方程的解是，
所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】 如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零，那么这个根就是原方程的增根 分式的增根即使分母为零的根，故得x=2.
2．（2023七下·伊川期中）解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同时乘上最简公分母15，得
化简得：3（2x-3）=5×2x-3×15
故答案为：B.
【分析】先找到最简公分母，然后等号两边同时乘以最简公分母，即可去分母。同时注意-3页需要乘上最简公分母.
3．（2023·道外模拟）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母，得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
故答案为：A。
【分析】利用解分式方程的方法求解即可。
4．（2023·东方模拟）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘，得：，
移项，合并得：；
经检验，是原方程的解；
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以（5-x）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程可求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
5．（2023八下·武功期末）若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x+3)，得x+a-2=0，
∵分式方程有增根，
∴x=-3，
∴-3+a-2=0，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】给方程两边同时乘以(x+3)，得x+a-2=0，然后将x=-3代入计算即可.
6．（2023·大连）将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)，得1+3(x-1)=-3x.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)即可.注意：常数项不可忽略.
7．（2023·牡丹江）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，
∴x=a+1.
∵方程的解为负数，
∴a+1<0且a+1≠-2，
解得a<-1且a≠-3.
故答案为：D.
【分析】给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，则x=a+1，由方程的解为负数可得a+1<0且a+1≠-2，求解即可.
8．（2023八下·二七期末）若分式方程有增根，则增根为（ ）
A．0 B．1 C．1或0 D．-5
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
，
，
经检验，是原方程的增根，
故答案为：B.
【分析】选项C是本题的易错点，增根是使分母为零的根，但同时也是通过解分式方程得到的根.
二、填空题
9．（2023·邵阳）分式方程的解是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得2（x-2）-x=0，
解得x=4，
经检验，x=4为原方程的解，
故答案为：
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
10．（2023·苏州）分式方程的解为 ．
【答案】-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以3x，
得3（x+1）=2x，
解得x=-3，
检验：当x=-3时，3x≠0，
∴x=-3是原方程的解.
故答案为：-3.
【分析】方程两边同时乘以3x，约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
11．（2023八下·玄武期末）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 .
【答案】a>-1且a≠
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵+1=0，
∴ax-3+x-2=0，
∴(a+1)x=5，
∴x=.
∵方程的解为正数，
∴>0且≠2，
∴a>-1且a≠.
故答案为：a>-1且a≠.
【分析】给方程两边同时乘以(x-2)并化简可得x=，由方程的解为正数可得>0且≠2，求解即可.
12．（2023八下·龙岗期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母，得，
分式方程有增根，
，
把代入，得，
故答案为：2.
【分析】使分母为零的根是分式方程的增根.
13．（2023·无锡）方程的解是： ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
经检验，是方程的解，
故答案为：-1.
【分析】按照解分式方程的步骤求方程的解即可.
三、计算题
14．（2023八下·射阳月考）解方程：
（1）
（2）x2+2x-2＝0．
【答案】（1）两边同时乘以（x-1）（x+1）去分母得
去括号得
移项得
合并同类项得
系数化为1得
检验：当x=1时，（x-1）（x+1）=0
∴x=1是原方程的增根
∴原分式方程无解
（2）解：
方程两边同时加上一次项系数的一半的平方
配方得
开方
解得：
【知识点】解二元一次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母同时乘以最小公分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1.最后检验
（2）利用配方法解一元二次方程。
四、解答题
15．（2023·临安模拟）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，合并同类项，得：．
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：有错误，理由如下：
分式方程两边同时乘以
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察小明的解答过程可知第一步出错，先将两方程转化为 ，再在方程的两边同时乘以（x-2） ，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
16．（2022八上·石景山期末）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值．
【答案】解：原方程可化为：，
．
原方程的解为正数，
，
，
，
，
，
，
∴的取值范围为且，
正整数的值为1．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先求出分式方程的解，再根据题意列出不等式组，，最后求出a的值即可。
五、综合题
17．（2023·永康模拟）以下是小亮同学在解分式方程的过程：
解：去分母得x(x+2)-x+1=1……………………① 化简得x2 +x=0…………………………………② 解得x1= 0，x2=-1…………………………………③ 经检验，x1=0，x2=-1是原方程的解……………④ 所以原方程的解为x1=0，x2=-1
根据小亮的解题过程，回答下列问题：
（1）小亮的解题过程中第 步开始出现了错误.
（2）请你写出正确的解答过程.
【答案】（1）①
（2）解：x(x+2)-(x+1)=x2-4
X2+2x-x-1=x2-4
x=-3
经检验：原方程的解是x=-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）由解题过程可知小亮的解题过程中第①步开始出现了错误.
故答案为：①
【分析】（1）利用去分母是在方程的两边同时乘以最简公分母（右边的1不能漏乘），可得到出错的地方.
（2）先去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母（右边的1不能漏乘），再去括号，移项合并，然后将x的系数化为1，最后检验可得方程的解.
18．（2023八下·宜宾月考）已知关于x的方程
（1）m为何值时，这个方程的解是5？
（2）m为何值时，这个方程有增根？
【答案】（1）解：∵方程的解是5，
∴把x＝5代入 ，得
解得m＝3；
（2）解：
两边都乘以（x-3）（x-4），得
x（x-4）-（x-3）（x-4）＝m，
整理得3x-12＝m，
∵方程有增根，
∴x＝3或x＝4，
当x＝3时，
m＝3×3-12＝-3，
当x＝4时，
m＝3×4-12＝0，
∴m的值为-3或0.
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）将x=5代入方程中进行计算可得m的值；
（2）两边都乘以(x-3)(x-4)，得x(x-4)-(x-3)(x-4)＝m，整理得3x-12＝m，根据分式方程有增根可得x＝3或x＝4，然后代入3x-12＝m中进行计算可得m的值.
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一、选择题
1．（2023八下·射阳月考）关于x的分式方程＝1有增根，则a的值为（ ）
A．-1 B．5 C．1 D．3
2．（2023七下·伊川期中）解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·道外模拟）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·东方模拟）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
5．（2023八下·武功期末）若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023·大连）将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·牡丹江）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．（2023八下·二七期末）若分式方程有增根，则增根为（ ）
A．0 B．1 C．1或0 D．-5
二、填空题
9．（2023·邵阳）分式方程的解是 ．
10．（2023·苏州）分式方程的解为 ．
11．（2023八下·玄武期末）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 .
12．（2023八下·龙岗期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
13．（2023·无锡）方程的解是： ．
三、计算题
14．（2023八下·射阳月考）解方程：
（1）
（2）x2+2x-2＝0．
四、解答题
15．（2023·临安模拟）解分式方程：
小明同学是这样解答的：
解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，合并同类项，得：．
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
16．（2022八上·石景山期末）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值．
五、综合题
17．（2023·永康模拟）以下是小亮同学在解分式方程的过程：
解：去分母得x(x+2)-x+1=1……………………① 化简得x2 +x=0…………………………………② 解得x1= 0，x2=-1…………………………………③ 经检验，x1=0，x2=-1是原方程的解……………④ 所以原方程的解为x1=0，x2=-1
根据小亮的解题过程，回答下列问题：
（1）小亮的解题过程中第 步开始出现了错误.
（2）请你写出正确的解答过程.
18．（2023八下·宜宾月考）已知关于x的方程
（1）m为何值时，这个方程的解是5？
（2）m为何值时，这个方程有增根？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：分式方程的增根是，
求得方程的解是，
所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】 如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零，那么这个根就是原方程的增根 分式的增根即使分母为零的根，故得x=2.
2．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同时乘上最简公分母15，得
化简得：3（2x-3）=5×2x-3×15
故答案为：B.
【分析】先找到最简公分母，然后等号两边同时乘以最简公分母，即可去分母。同时注意-3页需要乘上最简公分母.
3．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母，得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
故答案为：A。
【分析】利用解分式方程的方法求解即可。
4．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同乘，得：，
移项，合并得：；
经检验，是原方程的解；
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以（5-x）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程可求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
5．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x+3)，得x+a-2=0，
∵分式方程有增根，
∴x=-3，
∴-3+a-2=0，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】给方程两边同时乘以(x+3)，得x+a-2=0，然后将x=-3代入计算即可.
6．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)，得1+3(x-1)=-3x.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)即可.注意：常数项不可忽略.
7．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，
∴x=a+1.
∵方程的解为负数，
∴a+1<0且a+1≠-2，
解得a<-1且a≠-3.
故答案为：D.
【分析】给方程两边同时乘以(x+2)，得a=x+2-3，则x=a+1，由方程的解为负数可得a+1<0且a+1≠-2，求解即可.
8．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
，
，
经检验，是原方程的增根，
故答案为：B.
【分析】选项C是本题的易错点，增根是使分母为零的根，但同时也是通过解分式方程得到的根.
9．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得2（x-2）-x=0，
解得x=4，
经检验，x=4为原方程的解，
故答案为：
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
10．【答案】-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以3x，
得3（x+1）=2x，
解得x=-3，
检验：当x=-3时，3x≠0，
∴x=-3是原方程的解.
故答案为：-3.
【分析】方程两边同时乘以3x，约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
11．【答案】a>-1且a≠
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵+1=0，
∴ax-3+x-2=0，
∴(a+1)x=5，
∴x=.
∵方程的解为正数，
∴>0且≠2，
∴a>-1且a≠.
故答案为：a>-1且a≠.
【分析】给方程两边同时乘以(x-2)并化简可得x=，由方程的解为正数可得>0且≠2，求解即可.
12．【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母，得，
分式方程有增根，
，
把代入，得，
故答案为：2.
【分析】使分母为零的根是分式方程的增根.
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
经检验，是方程的解，
故答案为：-1.
【分析】按照解分式方程的步骤求方程的解即可.
14．【答案】（1）两边同时乘以（x-1）（x+1）去分母得
去括号得
移项得
合并同类项得
系数化为1得
检验：当x=1时，（x-1）（x+1）=0
∴x=1是原方程的增根
∴原分式方程无解
（2）解：
方程两边同时加上一次项系数的一半的平方
配方得
开方
解得：
【知识点】解二元一次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母同时乘以最小公分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1.最后检验
（2）利用配方法解一元二次方程。
15．【答案】解：有错误，理由如下：
分式方程两边同时乘以
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
两边同时除以，得：．
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察小明的解答过程可知第一步出错，先将两方程转化为 ，再在方程的两边同时乘以（x-2） ，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
16．【答案】解：原方程可化为：，
．
原方程的解为正数，
，
，
，
，
，
，
∴的取值范围为且，
正整数的值为1．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先求出分式方程的解，再根据题意列出不等式组，，最后求出a的值即可。
17．【答案】（1）①
（2）解：x(x+2)-(x+1)=x2-4
X2+2x-x-1=x2-4
x=-3
经检验：原方程的解是x=-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）由解题过程可知小亮的解题过程中第①步开始出现了错误.
故答案为：①
【分析】（1）利用去分母是在方程的两边同时乘以最简公分母（右边的1不能漏乘），可得到出错的地方.
（2）先去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母（右边的1不能漏乘），再去括号，移项合并，然后将x的系数化为1，最后检验可得方程的解.
18．【答案】（1）解：∵方程的解是5，
∴把x＝5代入 ，得
解得m＝3；
（2）解：
两边都乘以（x-3）（x-4），得
x（x-4）-（x-3）（x-4）＝m，
整理得3x-12＝m，
∵方程有增根，
∴x＝3或x＝4，
当x＝3时，
m＝3×3-12＝-3，
当x＝4时，
m＝3×4-12＝0，
∴m的值为-3或0.
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）将x=5代入方程中进行计算可得m的值；
（2）两边都乘以(x-3)(x-4)，得x(x-4)-(x-3)(x-4)＝m，整理得3x-12＝m，根据分式方程有增根可得x＝3或x＝4，然后代入3x-12＝m中进行计算可得m的值.
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