2023-2024学年初中数学八年级上册 12.4 分式方程 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·黑龙江）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x-2）约去分母，
得m+x-2=-x，
解得x=1-m，
∵原方程的解是非负数，
∴1-m≥0且1-m≠2，
解得m≤2且m≠-2.
故答案为：C.
【分析】将m作为常数，方程两边同时乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，进而根据原方程的解是非负数列出不等式组1-m≥0且1-m≠2，再求解即可.
2．（2019九上·重庆开学考）从 这五个数中，随机抽取一个数，记为 ，若数 使关于 的不等式组 无解，且使分式方程 的解为正分数，那么这五个数中所有满足条件的 的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得
若数 使关于 的不等式组 无解
为 中所取.满足条件的 为
解分式方程
得 是正分数，符合题意
得 是正分数，符合题意
得 不是正分数，不符合题意
得 ，解是增根，不符合题意
则满足条件的 的和为-2-1=-3
故答案为：A.
【分析】解出不等式的解集，满足无解可确定出 的值，同时 的值可代入，验证是否满足分式方程的解是正分数，舍去不符合题意的 ，求出符合条件的 的和
3．（2023·宜宾）分式方程的解为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
去分母得x-2=2，
移项得x=4，
经检验，x=4为原方程的解，
故答案为：C
【分析】根据题意直接解分式方程即可。
4．（2023·长宁模拟）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得原方程可化为，
∴，
故答案为：B
【分析】根据换元法的定义进行换元，进而即可求解。
5．（2023八下·南溪期中）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
6．（2022九上·铜梁开学考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
7．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
8．已知a，b为实数，则解可以为–2＜x＜2的不等式组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解).
【解答】A、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，如果a，b为一正一负，设a＞0，则b＜0，解得，，∴原不等式组无解，同理得到把2个数的符号全部改变后也无解，故错误，不符合题意；
B、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，如果a，b同号，设a＞0，则b＞0，解得，，解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数；故错误，不符合题意；
C、理由同上，故错误，不符合题意；
D、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，如果a，b为一正一负，设a＞0，则b＜0，解得，，∴原不等式组有解，可能为-2＜x＜2，把2个数的符号全部改变后也如此，故正确，符合题意；
故选D．
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握求不等式组解集的口诀，即可完成.
二、填空题
9．（2023·巴中）关于的分式方程有增根，则 ．
【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
10．（2023七下·六安期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：原方程化为
去分母，得x+m-（2x-1）=x-2
去括号，得x+m-2x+1=x-2
移项，得x-2x-x=-2-1-m
合并同类项，得-2x=-3-m
化系数为1，得x=
由题意得：
解得m＞-3且m≠1
故答案为：m＞-3且m≠1.
【分析】把m当作已知数求出方程的解，根据题意列出关于m的不等式组即可求解。
11．（2019八上·泰安期中）当 时，解分式方程 会出现增根.
【答案】4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：分式方程可化为： ，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当 ， ，
解得： 4；
故答案为：4．
【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
12．（2023八下·上海市期中）方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设，则原方程组可化为，
解得，
∴，经检验为原方程组的解，
故答案为：
【分析】设，运用换元法解方程组即可求解。
13．（2021七下·浦江期末）已知 ＝ ，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+=8，
∴ ，
故答案为： .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
三、计算题
14．（2023八下·西安期末）
（1）解方程，
（2），从、、、几个数中选取一个作为的值代入．
【答案】（1）解：方程两边同乘以得：
，
则，
解得：，
检验：当时，，
故此方程无解；
（2）解：原式
，
当，，时，分式无意义，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）给方程两边同时乘以(x2-4)，得x(x+2)-(x2-4)=8，求出x的值，然后进行检验即可；
（2）对分子、分母进行分解，然后约分，再根据异分母分式加法法则即可对原式进行化简，接下来根据分式有意义的条件从0、1、2、3中选择一个代入计算即可.
四、解答题
15．（2023七下·六安期末）先化简：，然后从不等式组的整数解中选一个合适的数作为a的值，代入求值．
【答案】解：
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为1，2，3，
∵分式要用意义，
∴，即且，
∴当时，原式．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则将分式化简，然后解出不等式组的解集并找出整数解，最后根据分式有意义的条件得到a的值，把a的值代入计算即可求解。
16．（2022七下·桐城期末）先化简，再求值：，其中x是分式方程的解．
【答案】解：
＝÷
＝
＝x-2，
∵
∴，
解得，x＝6，
检验：当x＝6时，x-2≠0，
∴方程的解是x＝6，
当x＝6时，原式＝6-2＝4．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先化简再求值，因式分解先考虑提公因式法；分式通分；有分式除法的先依照法则转变成乘法；本题x值没有直接给，通过分式方程求取，求解后一定要验根。
五、综合题
17．（2021八下·崇州期中）对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 ，所以关于x的方程x+ ＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b.
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4.则p＝ ，q＝ ；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+ ＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）.求 的值.
【答案】（1）﹣4；3
（2）解：∵2x+ ＝2n，
∴2x+1+ ＝2n+1，
2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），
∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，
x＝ 或 ，
∵x1＜x2，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴原式＝
＝
＝1.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）∵方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，
∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，
故答案为：﹣4，3；
【分析】（1）将x1＝﹣1、x2＝4代入原方程即可求解；
（2）先求出2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），进而得到2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，解出x的代表式，将x1、x2的值代入原式即可求解.
18．（2020七上·广水期末）观察下面的变形规律：
……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ；
（2）计算：.
（3）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如.
解法如下：
通分，得，
化简，得，
去分母，得14×6=21x，
解得x=4
分式方程要检验，当x=4时，原方程的分母不为0，所以x=4是原方程的解.
受第（1）问启发，请你解方程：
【答案】（1）
（2）
（3）原方程变形为：，
整理得：，
解得：
当时，原方程的分母不为0，
所以是原方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）
；
【分析】（1）由已知的等式可得规律：=；
（2）由（1）中的规律可得原式=1-+-+-+…+-=1-=；
（3）由题意先将方程左边通分，再去分母可得关于x的一元一次方程，解方程求得x的值，再检验即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 12.4 分式方程 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023·黑龙江）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
2．（2019九上·重庆开学考）从 这五个数中，随机抽取一个数，记为 ，若数 使关于 的不等式组 无解，且使分式方程 的解为正分数，那么这五个数中所有满足条件的 的值之和是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·宜宾）分式方程的解为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023·长宁模拟）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·南溪期中）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
6．（2022九上·铜梁开学考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
7．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
8．已知a，b为实数，则解可以为–2＜x＜2的不等式组是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·巴中）关于的分式方程有增根，则 ．
10．（2023七下·六安期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
11．（2019八上·泰安期中）当 时，解分式方程 会出现增根.
12．（2023八下·上海市期中）方程组的解是 ．
13．（2021七下·浦江期末）已知 ＝ ，则 ＝ ．
三、计算题
14．（2023八下·西安期末）
（1）解方程，
（2），从、、、几个数中选取一个作为的值代入．
四、解答题
15．（2023七下·六安期末）先化简：，然后从不等式组的整数解中选一个合适的数作为a的值，代入求值．
16．（2022七下·桐城期末）先化简，再求值：，其中x是分式方程的解．
五、综合题
17．（2021八下·崇州期中）对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为0，则x＝a或x＝b.
因为 ，所以关于x的方程x+ ＝a+b的两个解分别为x1＝a，x2＝b.
利用上面建构的模型，解决下列问题：
（1）若方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4.则p＝ ，q＝ ；（直接写出结论）
（2）已知关于x的方程2x+ ＝2n的两个解分别为x1，x2（x1＜x2）.求 的值.
18．（2020七上·广水期末）观察下面的变形规律：
……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想 ；
（2）计算：.
（3）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如.
解法如下：
通分，得，
化简，得，
去分母，得14×6=21x，
解得x=4
分式方程要检验，当x=4时，原方程的分母不为0，所以x=4是原方程的解.
受第（1）问启发，请你解方程：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x-2）约去分母，
得m+x-2=-x，
解得x=1-m，
∵原方程的解是非负数，
∴1-m≥0且1-m≠2，
解得m≤2且m≠-2.
故答案为：C.
【分析】将m作为常数，方程两边同时乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，进而根据原方程的解是非负数列出不等式组1-m≥0且1-m≠2，再求解即可.
2．【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得
若数 使关于 的不等式组 无解
为 中所取.满足条件的 为
解分式方程
得 是正分数，符合题意
得 是正分数，符合题意
得 不是正分数，不符合题意
得 ，解是增根，不符合题意
则满足条件的 的和为-2-1=-3
故答案为：A.
【分析】解出不等式的解集，满足无解可确定出 的值，同时 的值可代入，验证是否满足分式方程的解是正分数，舍去不符合题意的 ，求出符合条件的 的和
3．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
去分母得x-2=2，
移项得x=4，
经检验，x=4为原方程的解，
故答案为：C
【分析】根据题意直接解分式方程即可。
4．【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得原方程可化为，
∴，
故答案为：B
【分析】根据换元法的定义进行换元，进而即可求解。
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
7．【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
8．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解).
【解答】A、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，如果a，b为一正一负，设a＞0，则b＜0，解得，，∴原不等式组无解，同理得到把2个数的符号全部改变后也无解，故错误，不符合题意；
B、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，如果a，b同号，设a＞0，则b＞0，解得，，解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数；故错误，不符合题意；
C、理由同上，故错误，不符合题意；
D、所给不等式组的解集为-2＜x＜2，如果a，b为一正一负，设a＞0，则b＜0，解得，，∴原不等式组有解，可能为-2＜x＜2，把2个数的符号全部改变后也如此，故正确，符合题意；
故选D．
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握求不等式组解集的口诀，即可完成.
9．【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
10．【答案】且
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：原方程化为
去分母，得x+m-（2x-1）=x-2
去括号，得x+m-2x+1=x-2
移项，得x-2x-x=-2-1-m
合并同类项，得-2x=-3-m
化系数为1，得x=
由题意得：
解得m＞-3且m≠1
故答案为：m＞-3且m≠1.
【分析】把m当作已知数求出方程的解，根据题意列出关于m的不等式组即可求解。
11．【答案】4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：分式方程可化为： ，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当 ， ，
解得： 4；
故答案为：4．
【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
12．【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设，则原方程组可化为，
解得，
∴，经检验为原方程组的解，
故答案为：
【分析】设，运用换元法解方程组即可求解。
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴x2-x+1=7x，
∴x2+1=8x，
∵x=0，无解，
∴x+=8，
∴ ，
故答案为： .
【分析】将分式方程化为整式方程，由于x≠0，两边同除以x可得x+=8，再将原式分子分母同除以x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果.
14．【答案】（1）解：方程两边同乘以得：
，
则，
解得：，
检验：当时，，
故此方程无解；
（2）解：原式
，
当，，时，分式无意义，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）给方程两边同时乘以(x2-4)，得x(x+2)-(x2-4)=8，求出x的值，然后进行检验即可；
（2）对分子、分母进行分解，然后约分，再根据异分母分式加法法则即可对原式进行化简，接下来根据分式有意义的条件从0、1、2、3中选择一个代入计算即可.
15．【答案】解：
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为1，2，3，
∵分式要用意义，
∴，即且，
∴当时，原式．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则将分式化简，然后解出不等式组的解集并找出整数解，最后根据分式有意义的条件得到a的值，把a的值代入计算即可求解。
16．【答案】解：
＝÷
＝
＝x-2，
∵
∴，
解得，x＝6，
检验：当x＝6时，x-2≠0，
∴方程的解是x＝6，
当x＝6时，原式＝6-2＝4．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先化简再求值，因式分解先考虑提公因式法；分式通分；有分式除法的先依照法则转变成乘法；本题x值没有直接给，通过分式方程求取，求解后一定要验根。
17．【答案】（1）﹣4；3
（2）解：∵2x+ ＝2n，
∴2x+1+ ＝2n+1，
2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），
∴2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，
x＝ 或 ，
∵x1＜x2，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∴原式＝
＝
＝1.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）∵方程x+ ＝q的两个解分别为x1＝﹣1、x2＝4，
∴p＝﹣1×4＝﹣4，q＝﹣1+4＝3，
故答案为：﹣4，3；
【分析】（1）将x1＝﹣1、x2＝4代入原方程即可求解；
（2）先求出2x+1+ ＝（n+2）+（n﹣1），进而得到2x+1＝n+2或2x+1＝n﹣1，解出x的代表式，将x1、x2的值代入原式即可求解.
18．【答案】（1）
（2）
（3）原方程变形为：，
整理得：，
解得：
当时，原方程的分母不为0，
所以是原方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）
；
【分析】（1）由已知的等式可得规律：=；
（2）由（1）中的规律可得原式=1-+-+-+…+-=1-=；
（3）由题意先将方程左边通分，再去分母可得关于x的一元一次方程，解方程求得x的值，再检验即可求解.
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