2023-2024学年初中数学八年级上册 12.5 分式方程的应用 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·深圳期末）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·西安期末）千里江山图是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是：，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·本溪）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·温州期末）从温州轨道交通线惠民路站到动车南站，线车程约12千米，自驾车车程约15千米.小明乘坐线比自驾车平均速度提高了15%，时间缩短了0.1小时.设小明自驾车平均速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）.
A． B． C． D．
7．（2019七下·苍南期末）商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（ ）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
8．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（x+ ）；当矩形成为正方形时，就有x= （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ ）=4最小，因此x+ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 （x＞0）的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．10
二、填空题
9．（2023八下·江都期末）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围为 .
10．（2023·济南模拟）代数式与代数式的值相等，则 ．
11．（2023·肇东模拟）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲乙两人工效率相同，结果提前天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 ．
12．（2021八下·乐山期中）甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
13．（2020九上·万州月考）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是 米.
三、解答题
14．（2023八下·宿城期末）市政府为残疾人办实事，在某一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加了，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米？
15．（2023七下·新昌期末）根据以下素材，探索完成任务.
设计购买与兑换方案
素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是成青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买成青团的数量少了4个.”
素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且成青团的数量是10的倍数.
素材3 小明妈妈按素材⒉中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券m(1问题解决
任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和成青团的单价.
任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案.
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定m的值，并说明小明妈妈的兑换方式.
四、综合题
16．（2023七下·潼南期中）一艘轮船在甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用小时，从乙地到甲地逆流航行用小时已知当时平均水流速度为每小时千米．
（1）求该轮船在静水中的速度及甲乙两地的距离；
（2）若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地匀速航行到丙地和从乙地匀速航行到丙地所用的航行时间相同其中轮船的静水速度不变，问甲、丙两地相距多少千米？
17．（2022八上·柯城开学考）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米 且 原计划每天修建盲道米 ，
∴实际每天修建盲道（x+10）米.
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x十10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
2．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设边衬的宽度为x米，由题意可得.
故答案为：D.
【分析】由题意可得装裱后，宽为1.4+2x，长为2.4+2x，然后根据宽与长的比是8：13就可列出方程.
3．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，慢车的行驶时间为：，快车的行驶时间为.根据题干“他们同时到达”，以“快车的行驶时间”为等量关系，可建立方程：，
故答案选B.
【分析】题干中有路程和时间两个量，因为可以利用速度=路程÷时间，得到两车的速度，再由出发时间差得到等量关系建立分式方程.
4．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设小明自驾车平均速度为每小时x千米，则乘坐S1线的速度为每小时（1+15％）x千米，由题意得 .
故答案为：C.
【分析】设小明自驾车平均速度为每小时x千米，则乘坐S1线的速度为每小时（1+15％）x千米，根据路程除以速度等于时间及小明乘坐S1线比自驾车时间缩短了0.1小时，列出方程即可.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，由题意得，
故答案为：A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，根据“学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
6．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设有大货车每辆运输x吨， 则小货车每辆运输（x-5）吨，由题意，
得 .
故答案为：B.
【分析】设有大货车每辆运输x吨， 则小货车每辆运输（x-5）吨，根据货物的总重量除以每辆车的运输量等于需要车的辆数及大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同列出方程即可.
7．【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
8．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即 =x+ ，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，
矩形的周长是2（x+ ）；
当矩形成为正方形时，就有x= ，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+ ）=12最小，
因此x+ （x＞0）的最小值是6．
故答案为：C
【分析】因为题中的已知解释了的意义，所以可以按照这个解释将进行化简，可得，由此可知该矩形的面积应为9，两边长分别为x、，因为面积一定的矩形，当是正方形时，其周长最小，由此可知，周长是两边的和乘以2，即可求出最小值.
9．【答案】且
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
方程的解是负数，
，
，
，
，
，
且，
故答案为：且.
【分析】先求出分式方程的解，再按照解的要求求出m的范围，m的值不能使分母为零是本题易错点.
10．【答案】-4
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
去分母得，，
解得，，
经检验是分式方程的根，
故答案为：-4
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
11．【答案】10
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解析：设甲计划完成的天数为，
甲的工作效率为，
．
解得：经检验为原方程的解．
故答案为：10
【分析】甲计划完成的天数为，根据题意列出方程，再求解即可。
12．【答案】②
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲：，
乙：，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【分析】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
13．【答案】1500
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，
解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣ ）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为： ＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000× ×（12﹣9）＝1500（m），
故答案为：1500.
【分析】设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“ 刚好在事先预计的时间到达该小区 ”结合图象列出方程，可分别求出甲乙的速度和到达公司的时间，故可得甲进小区时，乙距公司的路程.
14．【答案】解：设原计划每天修建盲道xm，
则
解得，
经检验，是原方程的解，
实际每天修建盲道：（米）．
答：实际每天修建盲道750米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设原计划每天修建盲道x米，则实际每天修建盲道（1+50%）x米，根据工作总量除以工作效率=工作时间及实际比原计划少用2天完成任务，列方程求解即可．
15．【答案】解任务1：
设咸青团的单价为x元/个，则米鸭蛋的单价为2x元/个，
根据素材1可列方程：
解得，
经检验，是原方程的解，
(元/个)
答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个
分任务2：
设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根据素材2可列方程：
，
都不少于20，且是10的倍数，
答： 小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A咸青团20个，米鸭蛋30个；B咸青团30个，米鸭蛋25个：C咸青团40个，米鸭蛋20个.
任务3：
根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，结合任务2可知，对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，可列方程：，解得，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；对于方案B，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，可列方程：，解得，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等.
，小明妈妈的兑换方式有两种：用5张兑换券换10个咸青团或5个米鸭蛋.
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）对于应用题一般采用直接设元的方式，然后找到等量关系，列出方程.
（2）先找到两个量之间的关系，列出二元一次方程，然后用一个未知数表示另一个未知数，再根据范围确定取值.
（3）有多个方案符合条件时，可以进行分类讨论，根据每一个方案的要求找到等量关系并求解.
16．【答案】（1）解：设该轮船在静水中的速度是千米时，
依题意，得：，
，
，
答：该轮船在静水中的速度是千米时，甲乙两地的距离千米．
（2）解：设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲、丙两地相距千米．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再解方程即可。
17．【答案】（1）解：设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
，
解得，，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A款和B款T恤衫各60件；
（2）解：由题意可得，
，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为＝100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元.
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，根据购A款40件，B款60件需进价8400元可得40a+60b=8400；根据购A款45件，B款50件需进价8050元可得45a+50b=8050，联立求出a、b的值，然后根据A款的单价×60+B款的单价×60求出所需费用，再与10000进行比较即可判断；
（2）由题意可得4月份购进A款T恤衫数量为件，5月份购进A款T恤衫数量为件，然后根据数量是4月份的1.2倍列出关于a的方程，求出a的值，然后求出4月份、5月份的销售量，根据(销售量-30)×150-进价+150×0.8×30可得毛利润.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 12.5 分式方程的应用 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·深圳期末）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道米，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米 且 原计划每天修建盲道米 ，
∴实际每天修建盲道（x+10）米.
根据题意得： .
故答案为：A.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天修建盲道(x十10)米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成修建任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解.
2．（2023八下·西安期末）千里江山图是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是：，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设边衬的宽度为x米，由题意可得.
故答案为：D.
【分析】由题意可得装裱后，宽为1.4+2x，长为2.4+2x，然后根据宽与长的比是8：13就可列出方程.
3．（2023·本溪）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，慢车的行驶时间为：，快车的行驶时间为.根据题干“他们同时到达”，以“快车的行驶时间”为等量关系，可建立方程：，
故答案选B.
【分析】题干中有路程和时间两个量，因为可以利用速度=路程÷时间，得到两车的速度，再由出发时间差得到等量关系建立分式方程.
4．（2023七下·温州期末）从温州轨道交通线惠民路站到动车南站，线车程约12千米，自驾车车程约15千米.小明乘坐线比自驾车平均速度提高了15%，时间缩短了0.1小时.设小明自驾车平均速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设小明自驾车平均速度为每小时x千米，则乘坐S1线的速度为每小时（1+15％）x千米，由题意得 .
故答案为：C.
【分析】设小明自驾车平均速度为每小时x千米，则乘坐S1线的速度为每小时（1+15％）x千米，根据路程除以速度等于时间及小明乘坐S1线比自驾车时间缩短了0.1小时，列出方程即可.
5．某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，由题意得，
故答案为：A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，根据“学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
6．（2023·深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设有大货车每辆运输x吨， 则小货车每辆运输（x-5）吨，由题意，
得 .
故答案为：B.
【分析】设有大货车每辆运输x吨， 则小货车每辆运输（x-5）吨，根据货物的总重量除以每辆车的运输量等于需要车的辆数及大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同列出方程即可.
7．（2019七下·苍南期末）商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（ ）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
8．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（x+ ）；当矩形成为正方形时，就有x= （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ ）=4最小，因此x+ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 （x＞0）的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．10
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即 =x+ ，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，
矩形的周长是2（x+ ）；
当矩形成为正方形时，就有x= ，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+ ）=12最小，
因此x+ （x＞0）的最小值是6．
故答案为：C
【分析】因为题中的已知解释了的意义，所以可以按照这个解释将进行化简，可得，由此可知该矩形的面积应为9，两边长分别为x、，因为面积一定的矩形，当是正方形时，其周长最小，由此可知，周长是两边的和乘以2，即可求出最小值.
二、填空题
9．（2023八下·江都期末）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围为 .
【答案】且
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
方程的解是负数，
，
，
，
，
，
且，
故答案为：且.
【分析】先求出分式方程的解，再按照解的要求求出m的范围，m的值不能使分母为零是本题易错点.
10．（2023·济南模拟）代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】-4
【知识点】解分式方程；列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
去分母得，，
解得，，
经检验是分式方程的根，
故答案为：-4
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
11．（2023·肇东模拟）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲乙两人工效率相同，结果提前天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 ．
【答案】10
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解析：设甲计划完成的天数为，
甲的工作效率为，
．
解得：经检验为原方程的解．
故答案为：10
【分析】甲计划完成的天数为，根据题意列出方程，再求解即可。
12．（2021八下·乐山期中）甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是 ．（只需填入序号）
【答案】②
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，
甲：，
乙：，整理得
甲到达用的时间更多，所以乙先到。
【分析】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。
13．（2020九上·万州月考）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是 米.
【答案】1500
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，
解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣ ）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为： ＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000× ×（12﹣9）＝1500（m），
故答案为：1500.
【分析】设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“ 刚好在事先预计的时间到达该小区 ”结合图象列出方程，可分别求出甲乙的速度和到达公司的时间，故可得甲进小区时，乙距公司的路程.
三、解答题
14．（2023八下·宿城期末）市政府为残疾人办实事，在某一道路改造工程中，为盲人修建一条长3000米的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加了，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米？
【答案】解：设原计划每天修建盲道xm，
则
解得，
经检验，是原方程的解，
实际每天修建盲道：（米）．
答：实际每天修建盲道750米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设原计划每天修建盲道x米，则实际每天修建盲道（1+50%）x米，根据工作总量除以工作效率=工作时间及实际比原计划少用2天完成任务，列方程求解即可．
15．（2023七下·新昌期末）根据以下素材，探索完成任务.
设计购买与兑换方案
素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是成青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买成青团的数量少了4个.”
素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且成青团的数量是10的倍数.
素材3 小明妈妈按素材⒉中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券m(1问题解决
任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和成青团的单价.
任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案.
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定m的值，并说明小明妈妈的兑换方式.
【答案】解任务1：
设咸青团的单价为x元/个，则米鸭蛋的单价为2x元/个，
根据素材1可列方程：
解得，
经检验，是原方程的解，
(元/个)
答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个
分任务2：
设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根据素材2可列方程：
，
都不少于20，且是10的倍数，
答： 小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A咸青团20个，米鸭蛋30个；B咸青团30个，米鸭蛋25个：C咸青团40个，米鸭蛋20个.
任务3：
根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，结合任务2可知，对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，可列方程：，解得，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；对于方案B，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，可列方程：，解得，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等.
，小明妈妈的兑换方式有两种：用5张兑换券换10个咸青团或5个米鸭蛋.
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）对于应用题一般采用直接设元的方式，然后找到等量关系，列出方程.
（2）先找到两个量之间的关系，列出二元一次方程，然后用一个未知数表示另一个未知数，再根据范围确定取值.
（3）有多个方案符合条件时，可以进行分类讨论，根据每一个方案的要求找到等量关系并求解.
四、综合题
16．（2023七下·潼南期中）一艘轮船在甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用小时，从乙地到甲地逆流航行用小时已知当时平均水流速度为每小时千米．
（1）求该轮船在静水中的速度及甲乙两地的距离；
（2）若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地匀速航行到丙地和从乙地匀速航行到丙地所用的航行时间相同其中轮船的静水速度不变，问甲、丙两地相距多少千米？
【答案】（1）解：设该轮船在静水中的速度是千米时，
依题意，得：，
，
，
答：该轮船在静水中的速度是千米时，甲乙两地的距离千米．
（2）解：设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲、丙两地相距千米．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再解方程即可。
17．（2022八上·柯城开学考）某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.
（1）商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？
（2）根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【答案】（1）解：设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，
，
解得，，
∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000，
∴商店3月份的进货金额只有10000元，不能同时购进A款和B款T恤衫各60件；
（2）解：由题意可得，
，
解得，a＝8，
经检验，a＝8是原分式方程的解，
则4月份购进的T恤衫的数量为＝100（件），5月份购进的T恤衫的数量为100×1.2＝120（件），
（100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元），
答：商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润10060元.
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A款T恤衫的单价为a元，B款T恤衫的单价为b元，根据购A款40件，B款60件需进价8400元可得40a+60b=8400；根据购A款45件，B款50件需进价8050元可得45a+50b=8050，联立求出a、b的值，然后根据A款的单价×60+B款的单价×60求出所需费用，再与10000进行比较即可判断；
（2）由题意可得4月份购进A款T恤衫数量为件，5月份购进A款T恤衫数量为件，然后根据数量是4月份的1.2倍列出关于a的方程，求出a的值，然后求出4月份、5月份的销售量，根据(销售量-30)×150-进价+150×0.8×30可得毛利润.
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