2023-2024学年初中数学八年级上册 13.2 全等图形 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八上·中山期末）如图，，点B，C，D在同一条直线上，且，，则的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
2．（2022八上·蚌山月考）如图，，若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
3．（2022八上·太原月考）如图，在的正方形网格中，等于（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
4．（2022八上·乐亭期中）如图1，在中，，．若，，则的度数为 （ ）
A．18° B．30° C．32° D．38°
5．（2022八上·无为月考）如图，，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
7．（2020八上·怀仁期中）如图，四边形 中， ，点 是 的中点，连接 、 ， ，给出下列五个结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ；⑤ S四边形ABCD，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
8．（2020八上·秦淮月考）如图，锐角△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB' ， 且C'D∥EB'∥BC ， BE 、CD 交于点 F ，若∠BAC = α， ∠BFC = β，则（ ）
A．2α+β= 180° B．2β-α= 145°
C．α+β= 135° D．β-α= 60°
二、填空题
9．（2023八上·宁海期末）如图，若，且，，则 °.
10．（2023八上·扶沟期末）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 .
11．（2022八上·成武期中）如图，若，，，，则的周长为 ．
12．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ,BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
13．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
三、解答题
14．（2022八上·武清期中）如图，已知，点D在上，与交于点P．若，，求的度数．
15．（2022八上·自贡期末）如图，△ABE≌△DCE，点A，C，B在一条直线上，∠AED和∠BEC相等吗？为什么？
四、综合题
16．（2021八上·梅里斯期末）在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．
（1）探索：连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=45°，若BD=7，将边AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．连接DE、CE，求线段CE的长．
（3）AD与CE交于点N，BD与CE交于点M，在（2）的条件下，试探究BD与CE的位置关系，并加以证明
17．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， cm， ， cm，点F从点B出发，沿线段 以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
（1）分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）
（2）当 时，求t的值；
（3）当 时，直接写出所有满足条件的 值.
18．（2020八上·建湖月考）
（1）问题背景：如图1，在四边形 中， ， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F.探究图中线段 ， ， 之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论就是 ；
（2）探究延伸1：如图2，在四边形 中， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由.
（3）探究延伸2：如图3，在四边形 中， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.
（4）实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处舰艇乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出BD的长即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，与是对应角，与是对应边，
，
又，
，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出CD的长即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图：
，，
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的性质可得，再结合，即可得到。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180° 80° 30°＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝70°，
∴∠EAC＝∠DAE ∠DAC＝70° 32°＝38°，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE＝70°，再利用角的运算求出∠EAC即可。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，，，，
，即，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的性质及角的运算逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AE交BC延长线于M，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠M，
∵∠EAD＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠M，
∴AB＝BM，
∵E为CD中点，
∴DE＝EC，
∵∠DEA＝∠CEM，
∴△DAE≌△CME，
∴AD＝CM，AE＝EM，
∴AD＋BC=CM+BC=BM＝AB，
∵AB＝BM，AE＝EM，
∴BE⊥AE；BE平分∠ABC；
∴∠ABE＝∠CBE，
取AB中点，连接EF，
∵E，F分别是AB，DC的中点，
∴EF是梯形ABCD是中位线
∴EF= ，
设梯形的高为h，
∴ ×h×EF，S四边形ABCD=
∴ S四边形ABCD正确；
即①②③⑤正确；
根据已知不能得出AB⊥BC ；故④错误；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质先求出∠DAE＝∠M，再证明△DAE≌△CME，最后根据三角形的面积进行求解即可。
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：延长C'D 交 AC 于 M ，如图，
∵ △ADC≌△ADC' ， △AEB≌△AEB'
∴ ∠C' = ∠ACD ， ∠C'AD = ∠CAD = ∠B'AE = a
∴ ∠C'MC = ∠C' + ∠C'AM = ∠C' + 2a
∵ C'D∥B'E
∴ ∠AEB' = ∠C'MC
∵ ∠AEB' = 180° - ∠B'- ∠B'AE = 180° - ∠B' -a
∴ ∠C' + 2a= 180° - ∠B' -a
∴ ∠C' + ∠B' = 180° - 3a，
b= ∠BFC
= ∠BDF + ∠DBF
= ∠DAC + ∠ACD + ∠B'
= a+ ∠ACD + ∠B'
= a+ ∠C' + ∠B'
= a+ 180° - 3a
= 180° - 2a
∴ 2a+ b= 180°，
故答案为：A.
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=α，再利用三角形外角性质得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°-∠B′-α，则∠C′+2α=180°-∠B′-α，所以∠C′+∠B′=180°-3α，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=α+∠C′+∠B′，所以∠BFC=β=180°-2α，进一步变形后即可得到答案.
9．【答案】50
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：50.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB=95°，由外角的性质可得∠AEC=∠1+∠B，据此计算.
10．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由图形可得：，
∵三个三角形全等，
∴，
又∵，
∴，
∴的度数是180°.
故答案为：.
【分析】对图形进行角标注，根据平角的概念可得∠1+∠2+∠α+∠3+∠4+∠β+∠5+∠6+∠γ=540°，由全等三角形的性质结合内角和定理可得∠1+∠3+∠5=180°，根据内角和定理可得∠2+∠4+∠6=180°，据此求解.
11．【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴则的周长，
故答案为：12．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用三角形的周长公式计算即可。
12．【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
13．【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
14．【答案】解：∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由， 利用全等三角形的性质得，则即∠ABD=∠CBE，然后利用角的和差关系即可求解.
15．【答案】解：相等；
理由：
∵△ABE≌△DCE，
∴∠AEB=∠DEC，
∴∠DEC-∠AEC=∠AEB-∠AEC，
即：∠AED=∠BEC.
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的对应角相等可得∠AEB=∠DEC，则∠DEC-∠AEC=∠AEB-∠AEC，据此证明.
16．【答案】（1）结论：BC=CE+DC
证明如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
∵BC=BD+DC，
∴BC=CE+DC ；
（2）解：∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=7；
（3）结论：BD⊥CE．设EC与AD交于N，BD与CE交于M，
如图2，由（2）得△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠EAD=90°，
∴∠AEN+∠ANE=90°，
∵∠ANE=∠DNM ，
∴∠DNM+∠ADB=∠ANE+∠AEC=90°，
∴∠NMD=90°，
∴BD⊥CE．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BAD=∠CAE， 再利用SAS证明 △BAD≌△CAE ，最后利用全等三角形的性质求解即可；
（2）根据题意求出 ∠BAD=∠CAE， 再求出 △BAD≌△CAE ，最后求解即可；
（3）先求出 ∠AEN+∠ANE=90°， 再求出 ∠NMD=90°， 最后证明即可。
17．【答案】（1）解：∵BC=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，
∴当 时，点F是从B向C运动，当 ，F是从C向B运动，
∴当 时， ，当 时， ；
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴当 ， 解得 不符合题意；
当 时， ，解得 ，
∴当 ， ；
（3）所有满足条件的 值是 或4
【知识点】三角形全等及其性质；用字母表示数；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（3）∵ ，
∴AE=CF，
∵当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 ， 解得 ；
当 时， ，解得 ，
∴当 时， 或 .
【分析】（1）由题意可得：当0（2）由题意得：AE=2tcm，然后分当 及当 时两种情况，根据AE=BF进行求解；
（3）由全等三角形的性质可得AE=CF，当018．【答案】（1）EF=AE+CF
（2）解：结论EF=AE+CF成立.
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
在△BCG和△BAE中，
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，
即∠GBF= ∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF.
（3）解：结论EF=AE+CF仍然成立.
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
∵ ，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，
即∠GBF= ∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF.
（4）解：连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里.
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）EF=AE+CF
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
在△BCG和△BAE中，
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF；
故答案为：EF=AE+CF；
【分析】（1）延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；
（2）探究延伸1：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；
（3）探究延伸2：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；(4)实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 13.2 全等图形 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八上·中山期末）如图，，点B，C，D在同一条直线上，且，，则的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出BD的长即可。
2．（2022八上·蚌山月考）如图，，若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，与是对应角，与是对应边，
，
又，
，
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出CD的长即可。
3．（2022八上·太原月考）如图，在的正方形网格中，等于（ ）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】如图：
，，
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的性质可得，再结合，即可得到。
4．（2022八上·乐亭期中）如图1，在中，，．若，，则的度数为 （ ）
A．18° B．30° C．32° D．38°
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180° 80° 30°＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝70°，
∴∠EAC＝∠DAE ∠DAC＝70° 32°＝38°，
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE＝70°，再利用角的运算求出∠EAC即可。
5．（2022八上·无为月考）如图，，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
，，，，
，即，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的性质及角的运算逐项判断即可。
6．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
7．（2020八上·怀仁期中）如图，四边形 中， ，点 是 的中点，连接 、 ， ，给出下列五个结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ；⑤ S四边形ABCD，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AE交BC延长线于M，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠M，
∵∠EAD＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠M，
∴AB＝BM，
∵E为CD中点，
∴DE＝EC，
∵∠DEA＝∠CEM，
∴△DAE≌△CME，
∴AD＝CM，AE＝EM，
∴AD＋BC=CM+BC=BM＝AB，
∵AB＝BM，AE＝EM，
∴BE⊥AE；BE平分∠ABC；
∴∠ABE＝∠CBE，
取AB中点，连接EF，
∵E，F分别是AB，DC的中点，
∴EF是梯形ABCD是中位线
∴EF= ，
设梯形的高为h，
∴ ×h×EF，S四边形ABCD=
∴ S四边形ABCD正确；
即①②③⑤正确；
根据已知不能得出AB⊥BC ；故④错误；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质先求出∠DAE＝∠M，再证明△DAE≌△CME，最后根据三角形的面积进行求解即可。
8．（2020八上·秦淮月考）如图，锐角△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB' ， 且C'D∥EB'∥BC ， BE 、CD 交于点 F ，若∠BAC = α， ∠BFC = β，则（ ）
A．2α+β= 180° B．2β-α= 145°
C．α+β= 135° D．β-α= 60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：延长C'D 交 AC 于 M ，如图，
∵ △ADC≌△ADC' ， △AEB≌△AEB'
∴ ∠C' = ∠ACD ， ∠C'AD = ∠CAD = ∠B'AE = a
∴ ∠C'MC = ∠C' + ∠C'AM = ∠C' + 2a
∵ C'D∥B'E
∴ ∠AEB' = ∠C'MC
∵ ∠AEB' = 180° - ∠B'- ∠B'AE = 180° - ∠B' -a
∴ ∠C' + 2a= 180° - ∠B' -a
∴ ∠C' + ∠B' = 180° - 3a，
b= ∠BFC
= ∠BDF + ∠DBF
= ∠DAC + ∠ACD + ∠B'
= a+ ∠ACD + ∠B'
= a+ ∠C' + ∠B'
= a+ 180° - 3a
= 180° - 2a
∴ 2a+ b= 180°，
故答案为：A.
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=α，再利用三角形外角性质得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°-∠B′-α，则∠C′+2α=180°-∠B′-α，所以∠C′+∠B′=180°-3α，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=α+∠C′+∠B′，所以∠BFC=β=180°-2α，进一步变形后即可得到答案.
二、填空题
9．（2023八上·宁海期末）如图，若，且，，则 °.
【答案】50
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：50.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB=95°，由外角的性质可得∠AEC=∠1+∠B，据此计算.
10．（2023八上·扶沟期末）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 .
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由图形可得：，
∵三个三角形全等，
∴，
又∵，
∴，
∴的度数是180°.
故答案为：.
【分析】对图形进行角标注，根据平角的概念可得∠1+∠2+∠α+∠3+∠4+∠β+∠5+∠6+∠γ=540°，由全等三角形的性质结合内角和定理可得∠1+∠3+∠5=180°，根据内角和定理可得∠2+∠4+∠6=180°，据此求解.
11．（2022八上·成武期中）如图，若，，，，则的周长为 ．
【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴则的周长，
故答案为：12．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用三角形的周长公式计算即可。
12．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ,BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
13．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
三、解答题
14．（2022八上·武清期中）如图，已知，点D在上，与交于点P．若，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由， 利用全等三角形的性质得，则即∠ABD=∠CBE，然后利用角的和差关系即可求解.
15．（2022八上·自贡期末）如图，△ABE≌△DCE，点A，C，B在一条直线上，∠AED和∠BEC相等吗？为什么？
【答案】解：相等；
理由：
∵△ABE≌△DCE，
∴∠AEB=∠DEC，
∴∠DEC-∠AEC=∠AEB-∠AEC，
即：∠AED=∠BEC.
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的对应角相等可得∠AEB=∠DEC，则∠DEC-∠AEC=∠AEB-∠AEC，据此证明.
四、综合题
16．（2021八上·梅里斯期末）在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．
（1）探索：连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=45°，若BD=7，将边AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE．连接DE、CE，求线段CE的长．
（3）AD与CE交于点N，BD与CE交于点M，在（2）的条件下，试探究BD与CE的位置关系，并加以证明
【答案】（1）结论：BC=CE+DC
证明如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
∵BC=BD+DC，
∴BC=CE+DC ；
（2）解：∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=7；
（3）结论：BD⊥CE．设EC与AD交于N，BD与CE交于M，
如图2，由（2）得△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠EAD=90°，
∴∠AEN+∠ANE=90°，
∵∠ANE=∠DNM ，
∴∠DNM+∠ADB=∠ANE+∠AEC=90°，
∴∠NMD=90°，
∴BD⊥CE．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BAD=∠CAE， 再利用SAS证明 △BAD≌△CAE ，最后利用全等三角形的性质求解即可；
（2）根据题意求出 ∠BAD=∠CAE， 再求出 △BAD≌△CAE ，最后求解即可；
（3）先求出 ∠AEN+∠ANE=90°， 再求出 ∠NMD=90°， 最后证明即可。
17．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， cm， ， cm，点F从点B出发，沿线段 以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
（1）分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）
（2）当 时，求t的值；
（3）当 时，直接写出所有满足条件的 值.
【答案】（1）解：∵BC=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，
∴当 时，点F是从B向C运动，当 ，F是从C向B运动，
∴当 时， ，当 时， ；
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴当 ， 解得 不符合题意；
当 时， ，解得 ，
∴当 ， ；
（3）所有满足条件的 值是 或4
【知识点】三角形全等及其性质；用字母表示数；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（3）∵ ，
∴AE=CF，
∵当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 ， 解得 ；
当 时， ，解得 ，
∴当 时， 或 .
【分析】（1）由题意可得：当0（2）由题意得：AE=2tcm，然后分当 及当 时两种情况，根据AE=BF进行求解；
（3）由全等三角形的性质可得AE=CF，当018．（2020八上·建湖月考）
（1）问题背景：如图1，在四边形 中， ， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F.探究图中线段 ， ， 之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论就是 ；
（2）探究延伸1：如图2，在四边形 中， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由.
（3）探究延伸2：如图3，在四边形 中， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.
（4）实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处舰艇乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离.
【答案】（1）EF=AE+CF
（2）解：结论EF=AE+CF成立.
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
在△BCG和△BAE中，
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，
即∠GBF= ∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF.
（3）解：结论EF=AE+CF仍然成立.
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
∵ ，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，
即∠GBF= ∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF.
（4）解：连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里.
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）EF=AE+CF
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
在△BCG和△BAE中，
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF；
故答案为：EF=AE+CF；
【分析】（1）延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；
（2）探究延伸1：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；
（3）探究延伸2：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；(4)实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可.
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