2023-2024学年初中数学八年级上册 13.3 全等三角形的判定 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·和平期末）如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使ΔABC≌ΔDEC，则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
，
，
当时，，B不符合题意；
当时，，C不符合题意；
当时，，D不符合题意，
故答案为：A.
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
2．（2023七下·和平期末）如图，已知是的中线，E、F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法中：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：是的中线，
，正确；
，
，，
，正确；
，，
， 正确；
条件不足，无法判断，
故答案为：A.
【分析】先通过中线的定义判定正确，再利用平行线的性质通过AAS证得，判定正确，然后利用领补角的定义和三角形的内角和定理判定正确.
3．（2023七下·福田期末）如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、，
，
，，
不能使，A符合题意；
B、，
，
，，
，B不符合题意；
C、，
，
，，
，C不符合题意；
D、，
，
，，
，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
4．（2023七下·罗湖期末）如图，在和中，，，添加一个条件后，你无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠F.
∵AD=CF，
∴AC=DF.
∵AC=DF，∠A=∠F，AB=EF，
∴△ABC≌△FED（SAS），故A正确，不符合题意；
∵∠B=∠E，AC=DF，∠A=∠F，
∴△ABC≌△FED（AAS），故B正确，不符合题意；
∵BC∥DE，
∴∠BCA=∠EDF.
∵∠A=∠F，AC=DF，∠BCA=∠EDF.，
∴△ABC≌△FED（ASA），故D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠F，由已知条件可知AD=CF，结合线段的和差关系可得AC=DF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
5．（2023七下·罗湖期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠OCF=∠ODG=90°，∠COF=∠DOG，OF=OG，
∴△COF≌△DOG（AAS），
∴DG=FC=20cm，
∴小明离地面的高度是45+20=65cm.
故答案为：D.
【分析】利用AAS可证明△COF≌△DOG，得到DG=FC=20cm，据此不难求出小明离地面的高度.
6．（2023七下·罗湖期末）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为（ ）
A．2cm B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB.
∵∠ACB=∠DBC，∠A=∠DEB，AB=DE，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE.
∵E为BC的中点，BD=8cm，
∴BE=BC=BD=4cm，
∴AC=BE=4cm.
故答案为：C.
【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠DEB，利用AAS证明△ABC≌△EDB，得到BD=BC，AC=BE，结合中点的概念可得AC=BE=BC=BD，据此求解.
7．（2022·叶县期末）乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量池塘两端，的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
乐乐：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
明明：如图，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离．
聪聪：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使这时只要测出的长即为，的距离．
以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ）
A．乐乐和明明 B．乐乐和聪聪
C．明明和聪聪 D．三人的方案都可行
【答案】D
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE，故乐乐的方案可行.
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=90°，∠EDC=90°.
∵∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，故明明的方案可行.
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∠BDC=∠BDA，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=BC，故聪聪的方案可行.
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定定理以及性质进行判断即可.
8．（2023七下·通州期末）如图，在五边形ABCDE中，，，则五边形ABCDE的面积等于（ ）
A．16 B．20 C．24 D．26
【答案】B
【知识点】图形的旋转；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：将△ABC绕着点A，顺时针旋转∠BAE度，则AB和AE重合，∵∠ABC和∠AED=90°，所以旋转后，C'E和DE在同一直线上.
∵
∴
即∠C'AD=∠CAD
又∵C'A=CA，AD=AD
∴△C'AD≌△CAD（SAS）
∴S△C'AD=S△CAD
∵
∴S五边形ABCDE的面积为20，故答案选B.
【分析】因为，AB=AE，符合“半角模型”基本特征，因此将△ABC绕着点A旋转，旋转角度为∠BAE，使得AB和AE重合到一起.又因为∠E和∠B均为90°，相加为180°，则旋转后 BC和DE必在同一条直线上。设C旋转后对应点为C'，根据半角模型性质，△AC
二、填空题
9．（2023七下·福田期末）如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为 米．
【答案】10
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：点是的中点，
，
在和中，
，
，
米，
米，
故答案为：10.
【分析】由中点的定义可得BP、CP相等，再通过SAS判定和全等，然后由全等三角形的性质即可得到AB的长度.
10．（2023七下·光明期末）如图，已知B，D，C，F在同一条直线上，，，，若，，则 ．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，AC∥DE，
∴∠B=∠F，∠ACB=∠EDF.
∵AC=DE，
∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴BC=DF，
∴BC-CD=DF-CD，即BD=CF.
∵BF=8，CD=2，
∴BD+CF=BC-CD=6，
∴BD=3.
故答案为：3.
【分析】由平行线的性质可得∠B=∠F，∠ACB=∠EDF，利用AAS证明△ABC≌△EFD，得到BC=DF，由线段的和差关系可得BD=CF，据此求解.
11．（2023七下·哈尔滨期末）如图，已知D是△ABC的边BC上一点，且，，AE是△ABD的中线，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AE到F，使EF=AE，连接DF
∵BE=DE，∠AEB=∠FED，AE=EF，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB=DF，∠B=∠FDE.
∵CD=AB，
∴CD=DF.
∵∠BAD+∠B=90°，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴∠B+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠FDE+∠BDA，∠BAD=∠BDA，
∴∠ADC=∠ADF.
又∵AD=AD，CD=DF，∠ADC=∠ADF，
∴△ADC≌△ADF（SAS），
∴AC=AF=AE+EF=2AE.
∵AE=，
∴AC=2AE=.
故答案为：.
【分析】延长AE到F，使EF=AE，连接DF，利用SAS证明⊿ABE≌⊿FDE，得到AB=DF，∠B=∠FDE，由已知条件可知CD=AB，则CD=DF，根据∠BAD+∠B=90°结合内角和定理可得∠B+∠ADB=90°，则∠BAD=∠BDA，由外角的性质可得∠ADC=∠B+∠BAD，根据角的和差关系可得∠ADF=∠FDE+∠BDA，进而推出∠ADC=∠ADF，利用SAS证明△ADC≌△ADF，得到AC=AF=AE+EF=2AE，据此计算.
12．（2023·五华模拟）已知正方形的边长为，点E是边上一点，，连接，将绕点D旋转，得到，则的面积为 ．
【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得
①当ED绕点D逆时针旋转90°时，如图所示：
由旋转得ED=FD，∠ADC=∠FDE=90°，
∴∠EDA=90°-∠CDE，
∴∠DCF=∠DAE，
∴△FDC≌△EDA（SAS），
∴∠FCD=∠EAD=∠BCD=90°，EA=FC=1，
∴，
∴，
②当ED绕点D顺时针旋转90°时，过点F作HF⊥AD于点H，如图所示：
由旋转得∠EAD=∠DHF=90°，
∴∠FDH=∠DEA，
∴△FDH≌△DEA（AAS），
∴DH=EA=1，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或，
故答案为：或.
【分析】根据题意进行分类讨论：①当ED绕点D逆时针旋转90°时，②当ED绕点D顺时针旋转90°时，过点F作HF⊥AD于点H，进而根据旋转的性质、运用三角形全等的判定与性质结合题意即可求解。
13．（2023·福田模拟）如图8，正方形ABCD的边长为8，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MON＝90°，连接MN交OC于P，若BM＝2，则OP·OC= .
【答案】20
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠OBD＝∠OCD＝45°，
∴∠BOC＝∠MON＝90°，
∴∠MOB＝∠NOC，
∴△BOM≌△CON，
∴OM=ON，
∵∠MON＝90°，
∴∠OMN＝45°，∠OCM＝45°，
∴∠OMN＝∠OCM，
∵∠MOP＝∠COM，
∴△OPM∽△OMC，
∴OM2＝OP OC，过点O作OH⊥CB于H，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴BH=OH=4，∵BM＝2，
∴MH＝2，
∴OM2＝22+42＝20，
∴OP OC＝20．
故答案20．
【分析】过点O作OE⊥BC于点E，根据正方形的性质可得OB＝OC＝OD，∠BOC＝∠COD＝90°，∠OBC＝∠OCB＝∠OCD＝45°，再根据同角的余角相等可得∠BOM＝∠CON，以此即可通过ASA证明△OBM≌△OCN，得到BM＝CN＝2，OM＝ON，进而得到∠OMP＝∠OCM＝45°，易证明△OMP∽△OCM，根据相似三角形的性质可得OM2＝OP OC，由等腰直角三角形的性质可得OE＝BE＝4，则ME＝2，最后根据勾股定理即可求解．
三、解答题
14．（2022七上·海阳期中）如图，在中，，垂足为点，点在上，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．请判断线段与线段的关系，并说明理由．
【答案】解：且，理由如下：
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
∵为中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴且．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质证明即可。
四、综合题
15．（2023七下·历下期末）小琳在学习等腰三角形性质“三线合一”时，发现：
（1）如图1，在中，若，可以得出．请你用所学知识证明此结论．
（2）小琳提出了一个问题：如图2，如果，能不能说明？小琳不知道这个问题如何解决，便询问老师，老师进行了指导：条件里有“”和“”，我们可以尝试将和 “变成”一条线段，将和 “变成”一条线段，为了确保的条件可以使用，和的位置最好不要改变，所以我们可以“延长至E，使，延长至F，使”．老师指导后，小琳还是没有思路．请你帮助小琳，完成问题的解答，
（3）小琳又提出了新的问题：如图3，如果，能不能说明？请你帮助小琳，完成问题的解答．
【答案】（1）解：
在与中，
；
（2）解：
即
在与中，
即；
（3）解：延长至点E，使；延长至点F，使；
即
在与中，
即
又
．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定；全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明△ADB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由题意先证 DE= DF，∠ADE=∠ADF，进而证明△ADE≌△ADF，从而得到∠BAE=∠DAF，∠E=∠F，根据等边对等角可得∠BAE=∠E，∠CAF=∠F，再根据角的关系即可得出结论；
（3）由题意先证 AE= AF，进而证明△ADE≌△ADF，从而得到∠ADE=∠ADF，∠E=∠F，根据等边对等角可得∠3=∠E，∠4=∠F，再根据角的关系可得∠ADB=∠ADC，最后根据邻补角的性质可得∠ADB=90°，故而得出结论。
16．（2023七下·锦江期末）
（1）【操作发现】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为： （用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是 ；
（2）【灵活应用】运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值；
（3）【拓展迁移】将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）可得
∴，
∴，解得：；
（3）解：∵两块直角三角板全等，
∴，
∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴，
设，
∴，
∵，即
∴
∵，
∴，解得：，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）由题意得图2中的阴影部分的面积为：；
∴，
故答案为：；；
【分析】（1）直接观察图像结合题意即可求解；
（2）根据（1）可得，进而即可得到，从而解方程即可；
（3）先根据三角形全等的性质即可得到，进而根据题意设，从而得到，再根据题意即可得到，进而即可解出xy，再根据三角形的面积结合即可求解。
17．（2023七下·金堂期末）在中，，，点D是AC边上一点，交于点F，交直线于点E．
（1）如图1，当D为的中点时，证明：．
（2）如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则与有何数量关系，并说明理由．
（3）连接，当时，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，则，
∵为的中点时，，
∴，则，
在与中，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由余角的性质可得∠B=∠EAC，由平行线的性质可得， 利用线段的中点及已知，可推出AD=BC=a，根据ASA证明△ADE≌△BCA；
（2），理由：根据ASA证明△ABC≌△EFA，可得AE=AC，再根据AAS证明△EAD≌△CAM，利用全等三角形的对应边相等即得结论；
（3）过点作，根据ASA证明△DCF≌△HCF，可得DF=HF，利用三角形的面积公式可得 ， 利用角平分线相似定理可得，据此即可求解．
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 13.3 全等三角形的判定 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·和平期末）如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使ΔABC≌ΔDEC，则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·和平期末）如图，已知是的中线，E、F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法中：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2023七下·福田期末）如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·罗湖期末）如图，在和中，，，添加一个条件后，你无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·罗湖期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·罗湖期末）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为（ ）
A．2cm B． C． D．
7．（2022·叶县期末）乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量池塘两端，的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
乐乐：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
明明：如图，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离．
聪聪：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使这时只要测出的长即为，的距离．
以上三位同学所设计的方案中可行的是（ ）
A．乐乐和明明 B．乐乐和聪聪
C．明明和聪聪 D．三人的方案都可行
8．（2023七下·通州期末）如图，在五边形ABCDE中，，，则五边形ABCDE的面积等于（ ）
A．16 B．20 C．24 D．26
二、填空题
9．（2023七下·福田期末）如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为 米．
10．（2023七下·光明期末）如图，已知B，D，C，F在同一条直线上，，，，若，，则 ．
11．（2023七下·哈尔滨期末）如图，已知D是△ABC的边BC上一点，且，，AE是△ABD的中线，若，则 ．
12．（2023·五华模拟）已知正方形的边长为，点E是边上一点，，连接，将绕点D旋转，得到，则的面积为 ．
13．（2023·福田模拟）如图8，正方形ABCD的边长为8，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在边BC，CD上，且∠MON＝90°，连接MN交OC于P，若BM＝2，则OP·OC= .
三、解答题
14．（2022七上·海阳期中）如图，在中，，垂足为点，点在上，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．请判断线段与线段的关系，并说明理由．
四、综合题
15．（2023七下·历下期末）小琳在学习等腰三角形性质“三线合一”时，发现：
（1）如图1，在中，若，可以得出．请你用所学知识证明此结论．
（2）小琳提出了一个问题：如图2，如果，能不能说明？小琳不知道这个问题如何解决，便询问老师，老师进行了指导：条件里有“”和“”，我们可以尝试将和 “变成”一条线段，将和 “变成”一条线段，为了确保的条件可以使用，和的位置最好不要改变，所以我们可以“延长至E，使，延长至F，使”．老师指导后，小琳还是没有思路．请你帮助小琳，完成问题的解答，
（3）小琳又提出了新的问题：如图3，如果，能不能说明？请你帮助小琳，完成问题的解答．
16．（2023七下·锦江期末）
（1）【操作发现】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为： （用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是 ；
（2）【灵活应用】运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值；
（3）【拓展迁移】将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．
17．（2023七下·金堂期末）在中，，，点D是AC边上一点，交于点F，交直线于点E．
（1）如图1，当D为的中点时，证明：．
（2）如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则与有何数量关系，并说明理由．
（3）连接，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
，
，
当时，，B不符合题意；
当时，，C不符合题意；
当时，，D不符合题意，
故答案为：A.
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：是的中线，
，正确；
，
，，
，正确；
，，
， 正确；
条件不足，无法判断，
故答案为：A.
【分析】先通过中线的定义判定正确，再利用平行线的性质通过AAS证得，判定正确，然后利用领补角的定义和三角形的内角和定理判定正确.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、，
，
，，
不能使，A符合题意；
B、，
，
，，
，B不符合题意；
C、，
，
，，
，C不符合题意；
D、，
，
，，
，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠F.
∵AD=CF，
∴AC=DF.
∵AC=DF，∠A=∠F，AB=EF，
∴△ABC≌△FED（SAS），故A正确，不符合题意；
∵∠B=∠E，AC=DF，∠A=∠F，
∴△ABC≌△FED（AAS），故B正确，不符合题意；
∵BC∥DE，
∴∠BCA=∠EDF.
∵∠A=∠F，AC=DF，∠BCA=∠EDF.，
∴△ABC≌△FED（ASA），故D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠F，由已知条件可知AD=CF，结合线段的和差关系可得AC=DF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠OCF=∠ODG=90°，∠COF=∠DOG，OF=OG，
∴△COF≌△DOG（AAS），
∴DG=FC=20cm，
∴小明离地面的高度是45+20=65cm.
故答案为：D.
【分析】利用AAS可证明△COF≌△DOG，得到DG=FC=20cm，据此不难求出小明离地面的高度.
6．【答案】C
【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB.
∵∠ACB=∠DBC，∠A=∠DEB，AB=DE，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE.
∵E为BC的中点，BD=8cm，
∴BE=BC=BD=4cm，
∴AC=BE=4cm.
故答案为：C.
【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠DEB，利用AAS证明△ABC≌△EDB，得到BD=BC，AC=BE，结合中点的概念可得AC=BE=BC=BD，据此求解.
7．【答案】D
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE，故乐乐的方案可行.
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=90°，∠EDC=90°.
∵∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，故明明的方案可行.
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∠BDC=∠BDA，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=BC，故聪聪的方案可行.
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定定理以及性质进行判断即可.
8．【答案】B
【知识点】图形的旋转；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：将△ABC绕着点A，顺时针旋转∠BAE度，则AB和AE重合，∵∠ABC和∠AED=90°，所以旋转后，C'E和DE在同一直线上.
∵
∴
即∠C'AD=∠CAD
又∵C'A=CA，AD=AD
∴△C'AD≌△CAD（SAS）
∴S△C'AD=S△CAD
∵
∴S五边形ABCDE的面积为20，故答案选B.
【分析】因为，AB=AE，符合“半角模型”基本特征，因此将△ABC绕着点A旋转，旋转角度为∠BAE，使得AB和AE重合到一起.又因为∠E和∠B均为90°，相加为180°，则旋转后 BC和DE必在同一条直线上。设C旋转后对应点为C'，根据半角模型性质，△AC
9．【答案】10
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：点是的中点，
，
在和中，
，
，
米，
米，
故答案为：10.
【分析】由中点的定义可得BP、CP相等，再通过SAS判定和全等，然后由全等三角形的性质即可得到AB的长度.
10．【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，AC∥DE，
∴∠B=∠F，∠ACB=∠EDF.
∵AC=DE，
∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴BC=DF，
∴BC-CD=DF-CD，即BD=CF.
∵BF=8，CD=2，
∴BD+CF=BC-CD=6，
∴BD=3.
故答案为：3.
【分析】由平行线的性质可得∠B=∠F，∠ACB=∠EDF，利用AAS证明△ABC≌△EFD，得到BC=DF，由线段的和差关系可得BD=CF，据此求解.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AE到F，使EF=AE，连接DF
∵BE=DE，∠AEB=∠FED，AE=EF，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB=DF，∠B=∠FDE.
∵CD=AB，
∴CD=DF.
∵∠BAD+∠B=90°，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴∠B+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠FDE+∠BDA，∠BAD=∠BDA，
∴∠ADC=∠ADF.
又∵AD=AD，CD=DF，∠ADC=∠ADF，
∴△ADC≌△ADF（SAS），
∴AC=AF=AE+EF=2AE.
∵AE=，
∴AC=2AE=.
故答案为：.
【分析】延长AE到F，使EF=AE，连接DF，利用SAS证明⊿ABE≌⊿FDE，得到AB=DF，∠B=∠FDE，由已知条件可知CD=AB，则CD=DF，根据∠BAD+∠B=90°结合内角和定理可得∠B+∠ADB=90°，则∠BAD=∠BDA，由外角的性质可得∠ADC=∠B+∠BAD，根据角的和差关系可得∠ADF=∠FDE+∠BDA，进而推出∠ADC=∠ADF，利用SAS证明△ADC≌△ADF，得到AC=AF=AE+EF=2AE，据此计算.
12．【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得
①当ED绕点D逆时针旋转90°时，如图所示：
由旋转得ED=FD，∠ADC=∠FDE=90°，
∴∠EDA=90°-∠CDE，
∴∠DCF=∠DAE，
∴△FDC≌△EDA（SAS），
∴∠FCD=∠EAD=∠BCD=90°，EA=FC=1，
∴，
∴，
②当ED绕点D顺时针旋转90°时，过点F作HF⊥AD于点H，如图所示：
由旋转得∠EAD=∠DHF=90°，
∴∠FDH=∠DEA，
∴△FDH≌△DEA（AAS），
∴DH=EA=1，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或，
故答案为：或.
【分析】根据题意进行分类讨论：①当ED绕点D逆时针旋转90°时，②当ED绕点D顺时针旋转90°时，过点F作HF⊥AD于点H，进而根据旋转的性质、运用三角形全等的判定与性质结合题意即可求解。
13．【答案】20
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，∠OBD＝∠OCD＝45°，
∴∠BOC＝∠MON＝90°，
∴∠MOB＝∠NOC，
∴△BOM≌△CON，
∴OM=ON，
∵∠MON＝90°，
∴∠OMN＝45°，∠OCM＝45°，
∴∠OMN＝∠OCM，
∵∠MOP＝∠COM，
∴△OPM∽△OMC，
∴OM2＝OP OC，过点O作OH⊥CB于H，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴BH=OH=4，∵BM＝2，
∴MH＝2，
∴OM2＝22+42＝20，
∴OP OC＝20．
故答案20．
【分析】过点O作OE⊥BC于点E，根据正方形的性质可得OB＝OC＝OD，∠BOC＝∠COD＝90°，∠OBC＝∠OCB＝∠OCD＝45°，再根据同角的余角相等可得∠BOM＝∠CON，以此即可通过ASA证明△OBM≌△OCN，得到BM＝CN＝2，OM＝ON，进而得到∠OMP＝∠OCM＝45°，易证明△OMP∽△OCM，根据相似三角形的性质可得OM2＝OP OC，由等腰直角三角形的性质可得OE＝BE＝4，则ME＝2，最后根据勾股定理即可求解．
14．【答案】解：且，理由如下：
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
∵为中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴且．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质证明即可。
15．【答案】（1）解：
在与中，
；
（2）解：
即
在与中，
即；
（3）解：延长至点E，使；延长至点F，使；
即
在与中，
即
又
．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定；全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明△ADB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由题意先证 DE= DF，∠ADE=∠ADF，进而证明△ADE≌△ADF，从而得到∠BAE=∠DAF，∠E=∠F，根据等边对等角可得∠BAE=∠E，∠CAF=∠F，再根据角的关系即可得出结论；
（3）由题意先证 AE= AF，进而证明△ADE≌△ADF，从而得到∠ADE=∠ADF，∠E=∠F，根据等边对等角可得∠3=∠E，∠4=∠F，再根据角的关系可得∠ADB=∠ADC，最后根据邻补角的性质可得∠ADB=90°，故而得出结论。
16．【答案】（1）；
（2）解：由（1）可得
∴，
∴，解得：；
（3）解：∵两块直角三角板全等，
∴，
∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴，
设，
∴，
∵，即
∴
∵，
∴，解得：，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）由题意得图2中的阴影部分的面积为：；
∴，
故答案为：；；
【分析】（1）直接观察图像结合题意即可求解；
（2）根据（1）可得，进而即可得到，从而解方程即可；
（3）先根据三角形全等的性质即可得到，进而根据题意设，从而得到，再根据题意即可得到，进而即可解出xy，再根据三角形的面积结合即可求解。
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，则，
∵为的中点时，，
∴，则，
在与中，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由余角的性质可得∠B=∠EAC，由平行线的性质可得， 利用线段的中点及已知，可推出AD=BC=a，根据ASA证明△ADE≌△BCA；
（2），理由：根据ASA证明△ABC≌△EFA，可得AE=AC，再根据AAS证明△EAD≌△CAM，利用全等三角形的对应边相等即得结论；
（3）过点作，根据ASA证明△DCF≌△HCF，可得DF=HF，利用三角形的面积公式可得 ， 利用角平分线相似定理可得，据此即可求解．
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