2023-2024学年初中数学八年级上册 13.4 三角形的尺规作图 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2021八上·九台期中）在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线
B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画 的角
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
2．（2022·平谷模拟）边长为1的正方形格点图中，点P为格点上一点，点M在正方形ABCD边上运动，点N在正方形EFGH边上运动，则△PMN的面积不可能是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.1
3．（2021七上·正定期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
4．（2021·桥东模拟）如图，已知钝角 ，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．
步骤1：以 为圆心， 长为半径画弧①；
步骤2：以 为圆心， 长为半径画弧②，交弧①于点 ；
步骤3：连接 ，交 的延长线于点 ．
则下列说法错误的是（ ）
A． 是 中 边上的高
B．
C． 平分
D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
5．（2021·路南模拟）下面是教师出示的作图题．
已知：线段 ， ，小明用如图所示的方法作 ，使 ， 上的高 ．
作法：①作射线 ，以点 为圆心、 ※ 为半径画弧，交射线 于点 ；②分别以点 ， 为圆心、 △ 为半径画弧，两弧交于点 ， ；③作直线 ，交 于点 ；④以点 为圆心、 为半径在 上方画孤，交直线 于点 ，连接 ， ．
对于横线上符号代表的内容，下列说法错误的是（ ）
A．※代表“线段a的长” B．△代表“任意长”
C．△代表“大于 的长” D． 代表“线段 的长”
6．（2021·滦州模拟）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．
作法：
⑴以△为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
⑵作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；
⑶以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；
⑷作 ，则∠DEF即为所求作的角．
A．△表示点E B．○表示PQ
C．*表示ED D． 表示射线EF
7．（2021·邢台模拟）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．
作法：
⑴如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
⑵画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；
⑶以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
⑷过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m－p>0 B．1－p>0 C．p= n>0 D．m=n>0
8．（2021八下·凌海期中）如图，已知线段a、h，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：
⑴作线段；
⑵作线段的垂直平分线，与相交于点D；
⑶在直线上截取线段h；
⑷联结、，为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有不正确的一步你认为是（ ）．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
二、填空题
9．（2020八上·泰州月考）如图，∠EAD为锐角，C是射线AE上一点，点B在射线AD上运动(点A与点B不重合)，设点C到AD的距离为d，BC长度为a，AC长度为b，在点B运动过程中，b、d保持不变，当a满足 条件时，△ABC唯一确定.
10．（2020九上·南昌月考）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形 ．
11．（2019八上·高邑期中）已知线段a，b，c，求作 ，使 ， ， ，下面作法的合理顺序为 (填序号)
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线 ，在 上截取 ；
③连接 ， ， 为所求作的三角形.
12．利用尺规作三角形,有三种基本类型:
⑴已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”;
⑵已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”;
⑶已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”.
三、解答题
13．（2021九上·城阳期中）已知：平行四边形ABCD，
求作：矩形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上．
四、作图题
14．（2019八上·碑林期末）Rt△ABC中，∠A＝90°，D点为AB边的中点
（1）如图1，连接CD，试判断S△ACD和S△BCD的大小关系，并说明理由.
（2）如图2，请利用尺规作图，在AB边上作出一点E，使得S△ABC＝ S△ACE（保留作图痕迹，不写作法）.
15．（2019七下·长春期中）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B在网格格点上，若点C也在网格格点上，分别在下面的3个图中画出△ABC使其面积为2(形状完全相同算一种).
五、综合题
16．（2022七下·郯城期中）已知：在下列平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点3个单位长度；点C在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度；点B坐标，
（1）在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三个点，画出．
（2）求的面积：
（3）已知点P在x轴上，以A，C，P为顶点的三角形面积为3，请直接写出P点的坐标．
17．（2022七下·津南期中）在中，三个顶点的坐标分别为，，，
（1）在直角坐标系描出、、三点．
（2）将沿轴负方向平移5个单位长度，再沿轴在正方向平移3个单位长度得到，求的三个顶点坐标．
（3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标
18．（2020九上·白云期末）如图
（1）作图：如图，已知△ABC，∠ACB＜120°，
①作等边△ACD，使得点D，B分别是直线AC异侧的两个点；
②作等边△BCE，使得点E，A分别是直线BC异侧的两个点；
（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）推理：在（1）所作的图中，设直线BD，AE的交点为P，连接PC，
①求∠APD的度数；
②猜想PA，PB，PC与AE之间的等量关系，并证明：
（3）变式：已知△ABC，∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线BD，AE的交点为P，连接PC．测得∠PAB＝15°，PA＝ ，PB＝ ，PC＝ ．求点D到直线AB的距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据尺规作图的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、如图，当点M在CD边，点N在点E处时，
，故本选项不符合题意；
B、如图，当点M在点B处，点N在点H处时，
，故本选项不符合题意；
C、如图，当点M在AB边，点N在点E处时，
，且△PMN的面积最大，故本选项不符合题意；
D、当点M在AB边，点N在点E处时或当点N在GH边，点M在点A处时，△PMN的面积最大，最大值为2，所以△PMN的面积不可能为2.1，故本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】先画出三角形，再利用三角形的面积公式及割补法求解即可。
3．【答案】D
【知识点】作图-角；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故答案为：D．
【分析】 根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
4．【答案】C
【知识点】作图-平行线；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：如图，连接 ， ，
由作图步骤可知， ， ，
由①两点确定一条直线，
②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
可知 为 的垂直平分线，即 ， ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ， ，再对每个选项一一判断求解即可。
5．【答案】B
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：正确作法如下：
①作射线 ，以点 为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线 于点 ；②分别以点 ， 为圆心，大于 DE为半径画弧，两弧交于点 ， ；③作直线 ，交 于点 ；④以点 为圆心、线段 的长为半径在 上方画孤，交直线 于点 ，连接 ， ．
故答案为：B．
【分析】根据作法求解即可。
6．【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：由图可得作法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D；
（3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
故答案为：D．
【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图方法，根据尺规作图的方法和步骤将四个步骤补充完整，然后对照各个符号对应的内容即可。
7．【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
则m=n>0．
故答案为：D．
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤做出∠A'O'B'=∠AOB，再由SSS定理得出,根据全等三角形性质即可得出。
8．【答案】C
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．所以C的说法不符合题意，符合题意.
故答案为：C．
【分析】在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．即可得到答案。
9．【答案】a=d或a≥b
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.①当点B与点F重合时，即 时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；
②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD有两个交点 、 ，
∴△ABC不是唯一的；②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD只有唯一交点 ，
∴△ABC唯一确定.
故答案是： 或 .
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.分类讨论：①当点B与点F重合时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；②当 时，如图，△ABC不是唯一的；③当 时，如图，△ABC唯一确定.
10．【答案】本题答案不唯一，下列画法供参考：
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】题中要求至少有一条边为无理数，则说明等腰三角形至少一遍不与网格线重合，可据此来做等腰三角形。
11．【答案】②①③
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：
②作直线BP，在BP上截取BC=a；
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形.
所以合理的顺序为：②①③
【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
12．【答案】SAS；ASA；SSS
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：根据SAS—两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；ASA—两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；SSS—三边分别相等的两个三角形全等.
故答案：(1)SAS、 (2)ASA 、(3)SSS
【分析】根据三角形全等的判定定理，即可得到作图依据。
13．【答案】解：如图所示，以A点为圆心，以AB的长为半径画弧与BC交于点M，分别以B、M为圆心，以大于BM的长的一半为半径画弧，两者交于点O，连接AO交BC于E，同理作出F点，连接AE，CF，四边形AECF即为所求．
【知识点】作图-垂线；尺规作图的定义
【解析】【分析】根据作矩形的方法作图即可。
14．【答案】（1）解：D点为AB边的中点.
（2）解：如图所示：
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据等底同高的三角形的面积相等即可判断出 S△ACD和S△BCD 相等；
（2）在AC的延长线上取点F，使AF=AD，然后连接DF，在AB上截取AE=DF即可。
15．【答案】解：如图所示.
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】根据三角形的面积为2构造底和高即可求解.
16．【答案】（1）解：根据题意点A（0，3），点B（2，-1），点C（4，0），
在平面直角坐标系中描点点A（0，3），点B（2，-1），点C（4，0），顺次连结，
如图三角形ABC为所求；
（2）解：将△ABC补成正方形ADEF，边长为4，
∴S△AFB=；S△ADC=，S△BEC=，
∴S△ABC=S正方形ADEF-S△AFB-S△ADC-S△BEC=16-4-6-1=5；
（3）解：∵点P在x轴上，设P点的坐标（m，0），
∵以A，C，P为顶点的三角形面积为3，
∴S△APC=，
∴，
∴，
当时，
∴m=2，
当时，
∴m=6，
∴点P（2，0）或（6，0）．
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，描点即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）根据S△APC=，可得，再求出m的值，即可得到点P的坐标。
17．【答案】（1）解：∵，，
∴在直角坐标系中描点如下：
（2）解：如图：
将沿轴负方向平移5个单位长度，再沿轴在正方向平移3个单位长度得到，
即：将点、、三点横坐标减5，纵坐标加3即可得到对应点点、、的坐标，
∴，，．
（3）解：如图：
过点作的平行线交轴于点，交轴于点，另一条平行线交轴于点，交轴于点，两条平行线和线段的距离相等，
∴，
①当点在轴上时，设，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴，
解得：或，
∴点在轴上时，点的坐标是或；
②当点在轴上时，设，
当点在轴的正半轴上时，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴
解得：
∴这时点的坐标是，
当点在轴的负半轴上时，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴，
解得：，
∴这时点的坐标是．
综上所述，点P的坐标为或或或．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标直接作出图象即可；
（2）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分两种情况：①当点在轴上时，设，②当点在轴上时，设，再分别列出方法求解即可。
18．【答案】（1）解：如图1，
①分别以A和C为圆心，以AC为半径画弧，交于点D，连接CD，AD，则△ACD即为所求作的等边三角形；
②分别以B和C为圆心，以BC为半径画弧，交于点E，连接CE，BE，则△BCE即为所求作的等边三角形
（2）解：①如图2，设BD交AC于点O，
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠BCA＝∠BCA+∠BCE，
即∠BCD＝∠ACE，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴∠CDB＝∠CAE，
∵∠COD＝∠AOP，
∴∠APD＝∠ACD＝60°；
②AE＝PA+PB+PC，理由是：
如图2，在PD上截取DM＝AP，
∵DC＝AC，∠CDM＝∠CAP，
∴△CDM≌△CAP（SAS），
∴CM＝PC，∠DCM＝∠ACP，
∵∠ACD＝∠DCM+∠ACM＝60°，
∴∠ACM+∠ACP＝60°，即∠PCM＝60°，
∴△PCM是等边三角形，
∴PM＝PC，
∵BD＝DM+PM+PB＝AE，
∴AE＝PA+PB+PC
（3）解：如图3，过点D作DG⊥AB于G，在BD上截取DM＝AP，连接CM，
由（2）同理得：△DCB≌△ACE，
∴BD＝AE，∠CAE＝∠CDB，
∵AC＝CD，AP＝DM，
∴△ACP≌△DCM（SAS），
∴PC＝CM，∠ACP＝∠DCM，
∴∠PCM＝∠ACD＝60°，
∴△PCM是等边三角形，
∴PC＝PM，
∵PA＝ ，PB＝ ，PC＝ ，
∴PA+PB﹣PC＝ ＝ ，
∵PA+PB﹣PC＝DM+PB﹣PM＝BD，
∴BD＝ ，
∵∠APD＝∠ACD＝60°＝∠PAB+∠PBA，
∴∠PBA＝60°﹣15°＝45°，
∵DG⊥AB，
∴∠DGB＝90°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
∴DG=BG，
∴DG2+BG2=BD2，即2DG2=BD2，
∴ ，
解得：DG＝ ；
即点D到直线AB的距离是 + ．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；作图-三角形
【解析】【分析】（1）①分别以A和C为圆心以AC为半径画弧，交于点D，连接CD、AD，则三角形ACD为所求的等边三角形；②分别以B和C为圆心以BC为半径画弧，交于点E，连接CE、BE，则三角形BCE为所求的等边三角形；
（2）①利用SAS证明△DCB≌△ACE，可得出∠CDB＝∠CAE，再根据三角形内角和定理可得结论；②如图2，作辅助线，构建等边三角形和全等三角形，证明△CDM≌△CAP（SAS）和△PCM是等边三角形，可得结论；
（3）作辅助线，构建全等三角形，证明△ACP≌△DCM（SAS）和△PCM是等边三角形，可得结论。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 13.4 三角形的尺规作图 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2021八上·九台期中）在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线
B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画 的角
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据尺规作图的定义逐项判断即可。
2．（2022·平谷模拟）边长为1的正方形格点图中，点P为格点上一点，点M在正方形ABCD边上运动，点N在正方形EFGH边上运动，则△PMN的面积不可能是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.1
【答案】D
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、如图，当点M在CD边，点N在点E处时，
，故本选项不符合题意；
B、如图，当点M在点B处，点N在点H处时，
，故本选项不符合题意；
C、如图，当点M在AB边，点N在点E处时，
，且△PMN的面积最大，故本选项不符合题意；
D、当点M在AB边，点N在点E处时或当点N在GH边，点M在点A处时，△PMN的面积最大，最大值为2，所以△PMN的面积不可能为2.1，故本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】先画出三角形，再利用三角形的面积公式及割补法求解即可。
3．（2021七上·正定期中）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【知识点】作图-角；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故答案为：D．
【分析】 根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
4．（2021·桥东模拟）如图，已知钝角 ，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．
步骤1：以 为圆心， 长为半径画弧①；
步骤2：以 为圆心， 长为半径画弧②，交弧①于点 ；
步骤3：连接 ，交 的延长线于点 ．
则下列说法错误的是（ ）
A． 是 中 边上的高
B．
C． 平分
D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【答案】C
【知识点】作图-平行线；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：如图，连接 ， ，
由作图步骤可知， ， ，
由①两点确定一条直线，
②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
可知 为 的垂直平分线，即 ， ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ， ，再对每个选项一一判断求解即可。
5．（2021·路南模拟）下面是教师出示的作图题．
已知：线段 ， ，小明用如图所示的方法作 ，使 ， 上的高 ．
作法：①作射线 ，以点 为圆心、 ※ 为半径画弧，交射线 于点 ；②分别以点 ， 为圆心、 △ 为半径画弧，两弧交于点 ， ；③作直线 ，交 于点 ；④以点 为圆心、 为半径在 上方画孤，交直线 于点 ，连接 ， ．
对于横线上符号代表的内容，下列说法错误的是（ ）
A．※代表“线段a的长” B．△代表“任意长”
C．△代表“大于 的长” D． 代表“线段 的长”
【答案】B
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：正确作法如下：
①作射线 ，以点 为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线 于点 ；②分别以点 ， 为圆心，大于 DE为半径画弧，两弧交于点 ， ；③作直线 ，交 于点 ；④以点 为圆心、线段 的长为半径在 上方画孤，交直线 于点 ，连接 ， ．
故答案为：B．
【分析】根据作法求解即可。
6．（2021·滦州模拟）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．
作法：
⑴以△为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
⑵作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D；
⑶以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；
⑷作 ，则∠DEF即为所求作的角．
A．△表示点E B．○表示PQ
C．*表示ED D． 表示射线EF
【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：由图可得作法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D；
（3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
故答案为：D．
【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图方法，根据尺规作图的方法和步骤将四个步骤补充完整，然后对照各个符号对应的内容即可。
7．（2021·邢台模拟）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．
作法：
⑴如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
⑵画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；
⑶以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
⑷过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m－p>0 B．1－p>0 C．p= n>0 D．m=n>0
【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
则m=n>0．
故答案为：D．
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤做出∠A'O'B'=∠AOB，再由SSS定理得出,根据全等三角形性质即可得出。
8．（2021八下·凌海期中）如图，已知线段a、h，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：
⑴作线段；
⑵作线段的垂直平分线，与相交于点D；
⑶在直线上截取线段h；
⑷联结、，为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有不正确的一步你认为是（ ）．
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】C
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．所以C的说法不符合题意，符合题意.
故答案为：C．
【分析】在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．即可得到答案。
二、填空题
9．（2020八上·泰州月考）如图，∠EAD为锐角，C是射线AE上一点，点B在射线AD上运动(点A与点B不重合)，设点C到AD的距离为d，BC长度为a，AC长度为b，在点B运动过程中，b、d保持不变，当a满足 条件时，△ABC唯一确定.
【答案】a=d或a≥b
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.①当点B与点F重合时，即 时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；
②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD有两个交点 、 ，
∴△ABC不是唯一的；②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD只有唯一交点 ，
∴△ABC唯一确定.
故答案是： 或 .
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.分类讨论：①当点B与点F重合时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；②当 时，如图，△ABC不是唯一的；③当 时，如图，△ABC唯一确定.
10．（2020九上·南昌月考）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形 ．
【答案】本题答案不唯一，下列画法供参考：
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】题中要求至少有一条边为无理数，则说明等腰三角形至少一遍不与网格线重合，可据此来做等腰三角形。
11．（2019八上·高邑期中）已知线段a，b，c，求作 ，使 ， ， ，下面作法的合理顺序为 (填序号)
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线 ，在 上截取 ；
③连接 ， ， 为所求作的三角形.
【答案】②①③
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：
②作直线BP，在BP上截取BC=a；
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形.
所以合理的顺序为：②①③
【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
12．利用尺规作三角形,有三种基本类型:
⑴已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”;
⑵已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”;
⑶已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“ ”.
【答案】SAS；ASA；SSS
【知识点】三角形全等的判定；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：根据SAS—两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；ASA—两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；SSS—三边分别相等的两个三角形全等.
故答案：(1)SAS、 (2)ASA 、(3)SSS
【分析】根据三角形全等的判定定理，即可得到作图依据。
三、解答题
13．（2021九上·城阳期中）已知：平行四边形ABCD，
求作：矩形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上．
【答案】解：如图所示，以A点为圆心，以AB的长为半径画弧与BC交于点M，分别以B、M为圆心，以大于BM的长的一半为半径画弧，两者交于点O，连接AO交BC于E，同理作出F点，连接AE，CF，四边形AECF即为所求．
【知识点】作图-垂线；尺规作图的定义
【解析】【分析】根据作矩形的方法作图即可。
四、作图题
14．（2019八上·碑林期末）Rt△ABC中，∠A＝90°，D点为AB边的中点
（1）如图1，连接CD，试判断S△ACD和S△BCD的大小关系，并说明理由.
（2）如图2，请利用尺规作图，在AB边上作出一点E，使得S△ABC＝ S△ACE（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】（1）解：D点为AB边的中点.
（2）解：如图所示：
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据等底同高的三角形的面积相等即可判断出 S△ACD和S△BCD 相等；
（2）在AC的延长线上取点F，使AF=AD，然后连接DF，在AB上截取AE=DF即可。
15．（2019七下·长春期中）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B在网格格点上，若点C也在网格格点上，分别在下面的3个图中画出△ABC使其面积为2(形状完全相同算一种).
【答案】解：如图所示.
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】根据三角形的面积为2构造底和高即可求解.
五、综合题
16．（2022七下·郯城期中）已知：在下列平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点3个单位长度；点C在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度；点B坐标，
（1）在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三个点，画出．
（2）求的面积：
（3）已知点P在x轴上，以A，C，P为顶点的三角形面积为3，请直接写出P点的坐标．
【答案】（1）解：根据题意点A（0，3），点B（2，-1），点C（4，0），
在平面直角坐标系中描点点A（0，3），点B（2，-1），点C（4，0），顺次连结，
如图三角形ABC为所求；
（2）解：将△ABC补成正方形ADEF，边长为4，
∴S△AFB=；S△ADC=，S△BEC=，
∴S△ABC=S正方形ADEF-S△AFB-S△ADC-S△BEC=16-4-6-1=5；
（3）解：∵点P在x轴上，设P点的坐标（m，0），
∵以A，C，P为顶点的三角形面积为3，
∴S△APC=，
∴，
∴，
当时，
∴m=2，
当时，
∴m=6，
∴点P（2，0）或（6，0）．
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，描点即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）根据S△APC=，可得，再求出m的值，即可得到点P的坐标。
17．（2022七下·津南期中）在中，三个顶点的坐标分别为，，，
（1）在直角坐标系描出、、三点．
（2）将沿轴负方向平移5个单位长度，再沿轴在正方向平移3个单位长度得到，求的三个顶点坐标．
（3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标
【答案】（1）解：∵，，
∴在直角坐标系中描点如下：
（2）解：如图：
将沿轴负方向平移5个单位长度，再沿轴在正方向平移3个单位长度得到，
即：将点、、三点横坐标减5，纵坐标加3即可得到对应点点、、的坐标，
∴，，．
（3）解：如图：
过点作的平行线交轴于点，交轴于点，另一条平行线交轴于点，交轴于点，两条平行线和线段的距离相等，
∴，
①当点在轴上时，设，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴，
解得：或，
∴点在轴上时，点的坐标是或；
②当点在轴上时，设，
当点在轴的正半轴上时，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴
解得：
∴这时点的坐标是，
当点在轴的负半轴上时，
，
整理得：，
∵与的面积相等，
∴，
解得：，
∴这时点的坐标是．
综上所述，点P的坐标为或或或．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标直接作出图象即可；
（2）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）分两种情况：①当点在轴上时，设，②当点在轴上时，设，再分别列出方法求解即可。
18．（2020九上·白云期末）如图
（1）作图：如图，已知△ABC，∠ACB＜120°，
①作等边△ACD，使得点D，B分别是直线AC异侧的两个点；
②作等边△BCE，使得点E，A分别是直线BC异侧的两个点；
（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）推理：在（1）所作的图中，设直线BD，AE的交点为P，连接PC，
①求∠APD的度数；
②猜想PA，PB，PC与AE之间的等量关系，并证明：
（3）变式：已知△ABC，∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线BD，AE的交点为P，连接PC．测得∠PAB＝15°，PA＝ ，PB＝ ，PC＝ ．求点D到直线AB的距离．
【答案】（1）解：如图1，
①分别以A和C为圆心，以AC为半径画弧，交于点D，连接CD，AD，则△ACD即为所求作的等边三角形；
②分别以B和C为圆心，以BC为半径画弧，交于点E，连接CE，BE，则△BCE即为所求作的等边三角形
（2）解：①如图2，设BD交AC于点O，
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠BCA＝∠BCA+∠BCE，
即∠BCD＝∠ACE，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴∠CDB＝∠CAE，
∵∠COD＝∠AOP，
∴∠APD＝∠ACD＝60°；
②AE＝PA+PB+PC，理由是：
如图2，在PD上截取DM＝AP，
∵DC＝AC，∠CDM＝∠CAP，
∴△CDM≌△CAP（SAS），
∴CM＝PC，∠DCM＝∠ACP，
∵∠ACD＝∠DCM+∠ACM＝60°，
∴∠ACM+∠ACP＝60°，即∠PCM＝60°，
∴△PCM是等边三角形，
∴PM＝PC，
∵BD＝DM+PM+PB＝AE，
∴AE＝PA+PB+PC
（3）解：如图3，过点D作DG⊥AB于G，在BD上截取DM＝AP，连接CM，
由（2）同理得：△DCB≌△ACE，
∴BD＝AE，∠CAE＝∠CDB，
∵AC＝CD，AP＝DM，
∴△ACP≌△DCM（SAS），
∴PC＝CM，∠ACP＝∠DCM，
∴∠PCM＝∠ACD＝60°，
∴△PCM是等边三角形，
∴PC＝PM，
∵PA＝ ，PB＝ ，PC＝ ，
∴PA+PB﹣PC＝ ＝ ，
∵PA+PB﹣PC＝DM+PB﹣PM＝BD，
∴BD＝ ，
∵∠APD＝∠ACD＝60°＝∠PAB+∠PBA，
∴∠PBA＝60°﹣15°＝45°，
∵DG⊥AB，
∴∠DGB＝90°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
∴DG=BG，
∴DG2+BG2=BD2，即2DG2=BD2，
∴ ，
解得：DG＝ ；
即点D到直线AB的距离是 + ．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；作图-三角形
【解析】【分析】（1）①分别以A和C为圆心以AC为半径画弧，交于点D，连接CD、AD，则三角形ACD为所求的等边三角形；②分别以B和C为圆心以BC为半径画弧，交于点E，连接CE、BE，则三角形BCE为所求的等边三角形；
（2）①利用SAS证明△DCB≌△ACE，可得出∠CDB＝∠CAE，再根据三角形内角和定理可得结论；②如图2，作辅助线，构建等边三角形和全等三角形，证明△CDM≌△CAP（SAS）和△PCM是等边三角形，可得结论；
（3）作辅助线，构建全等三角形，证明△ACP≌△DCM（SAS）和△PCM是等边三角形，可得结论。
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